2_POSa (Раздаточные материалы), страница 2

Тогда уравнение (4) распадается на два уравнения:Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 19896T&&(t ) + ω 2 T (t ) = 0,′[ EF (z)u′]+ ρω 2 F ( z )u( z ) = 0Первое из них имеет решениеT (t ) = A cos(ω t + ϕ )а второе может быть преобразовано к видуu′′ + g( z )u′( z ) + α 2 u( z ) = 0(5)где α = ω c1 - волновое число; g( z ) = F ′( z ) F ( z ) .Аналитические решения уравнения (5), как показали Меркулов Л.Г.,Харитонов А.В.[8], Макаров Л.О. [11], Эйснер Е.[9], Янг Ф.[10], возможны лишьдля ограниченного набора функций, описывающих зависимость площадипоперечного сечения волноводов-концентраторов от продольной координаты:⎧(c1z + c2 )2 ,⎪2⎪(c1 exp(β z ) + c2 exp( − β z )) ,⎨2⎪ ( c1 cos bz + c2 sin bz ) ,⎪(1 + c2 z) a ,⎩(6)где a>0.Но наибольшее распространение получили волноводы-концентраторы сэкспоненциальными, катеноидальными и коническими рупорами, а такжеволноводы постоянного сечения.

Площадь поперечных сечений этих волноводовполучается как частный случай зависимости (6):F ( z ) = F0 exp( − 2β z ) - экспоненциальный рупор,F ( z ) = FK ch 2 (l − z ) - катеноидальный рупор,(7)F ( z ) = F0 l − z - конический рупор (конус),aПостоянные β, γ и a характеризуют скорость сужения соответствующегорупора и однозначно определяются параметрами F0 , FK (площади поперечныхсечений концентратора при z=0 и z=l соответственно) и l (длина сужающегосяучастка (рупора)). Из уравнений (7) можно получить следующие соотношения:1β = 1 l ln F0 FK ; γ = 1 l ⋅ arcch F0 FK ; a =,1 − FK F0а коэффициент g(z) /см. уравнение (5)/ в зависимости от типа сужения будет равен- для экспоненциального сужения g( z ) = −2β ;()- для катеноидального сужения g( z ) = −2γ ⋅ th[ γ (l − z )] ;- для конуса g( z ) = 2 ( z − a ) .В случае, если F=const, то g(z)=0 и уравнение (5) примет видu′′( z ) + α 2 u( z ) = 0 .(8)Квашнин С.Е.

Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 19897Решение уравнения (8) будет выглядеть так:u( z ) = C1 cos αz + C2 sin αz ,(9)где C1, C2 - произвольные постоянные.Для участков концентраторов , в пределах которых площадь поперечногосечения изменяется по экспоненциальному закону, уравнение (5) имеет видU ′′ − 2β u′ + α 2 u( z ) = 0Соответствующее характеристическое уравнение запишем в формеs2 − 2β s + α 2 = 0Корни этого уравненияs1,2 = β ± β2 − α 2Решение при β > α (крутой рупор):u( z ) = exp(β z ) ⋅ (C1 ch α1z + C2 sh α1z ) ,(10)где α1 = β 2 − α 2 .При β > α (пологий рупор) s1,2 = β ± i α 2 − β 2 = β ± iα1 ,решение выражается через тригонометрические функции:u( z ) = exp(β z )(C1 cos α z z + C2 sin α 1 α 1 z )Для катеноидального сужения уравнение (5) имеет вид:α1 = β2 + α 2и(11)u ′′ ( z ) − 2 γ th γ (l − z )u ′ ( z ) + α 2 u ( z ) = 0Легко убедиться что это уравнение можно представить как″[u ch γ (l − z)] + (α 2 − γ 2 ) ch γ (l − z)u(z) = 0а используя подстановку u0 ( z ) = u( z ) ch γ (l − z ) , получитьu0′′( z ) + (α 2 − γ 2 )u0 ( z ) = 0,Решение этого уравнения в зависимости от соотношений между α и γ имеетвидu( z ) = [ch γ (l − z )] ⋅ (C1 cos α1 + C2 sin α1z );−1α1 = α − γ , α > γ .22;(12)илиu( z ) = [ch γ (l − z )] ⋅ (C1 cos α1 + C2 sin α1z );−1;(13)α1 = α − γ , α > γ .Для конического участка концентратора можно аналогичным образомполучитьu′′( z ) + 2 ( z − a ) ⋅ u( z ) + α 2 u( z ) = 0 ,(14)22Квашнин С.Е.

Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 19898u( z ) = [chγ (l − z )] ⋅ (C1 cos α1 + C2 sin α1z );−1,α1 = α − γ , α > γ .где a - расстояние до вершины конуса.Для всех вышеперечисленных случаев амплитудное значение осевого усилияN(z) связано с текущим N(z,t) очевидным соотношением~N ( z , t ) = N ( z ) cos ωtКонцентратор может содержать несколько участков, в пределах которыхзакон изменения площади поперечного сечения различны.Для каждого из участков такого концентратора решение представляется водной из форм (9)-(14).

Если концентратор содержит n участков, то количествопроизвольных постоянных в решении 2n. Данные постоянные определяются изграничных условий для конкретного концентратора, обычно это условия вида:N ( z ) z = l = 0 и N ( z ) z = 0 = 0 (свободные края концентратора)а также из так называемых условий стыковки участков, в соответствии скоторыми в силу гипотезы сплошности u − ( z ) = u + ( z0 ) , т.е. продольное смещение22u − ( z ) слева от плоскости стыковки участков равно смещению справа u + ( z0 ) отуказанной плоскости. Аналогично, в силу справедливости принципа д'Аламбера,при отсутствии сосредоточенных сил имеем N ( z0 ) = N ( z0 ) . Итак, дляконцентратора из n участков имеем 2(n-1) условий стыковки и 2 граничныхусловия, т.е. 2n условий, которые можно представить в виде однородной системыиз 2n алгебраических уравнений вида:A(αlk ) C = 0,(15)где A(αlk ) - матрица коэффициентов размера 2n × 2n ;C = (C1 , C2 ,..., C2 n ) - вектор-столбец неизвестных коэффициентов.Нетривиальное решение системы (15) находится из следующего условия:det A(αlk ) = 0 .(16)В зависимости от решаемой задачи (синтез новой колебательной системыУЗМИ или выполнение поверочного расчета УЗМИ) в уравнении (16) либоищется неизвестная резонансная частота ω (при заданной геометрии (диаметры,параметры β, γ , длины участков li , i=1,2,...,n), либо решается задача синтезанового элемента УЗМИ.

В первом случае определяются корни уравнения (16) взависимости от параметров ω , det A(ω ) = 0 , во втором - находится резонанснаядлина k-ого участка этого элемента l k (т.е. решается уравнение det A(lk ) = 0 .).При небольшом количестве участков n возможно аналитическое решениеопределителя, однако даже и в этом случае нахождение корней полученныхтрансцендентных уравнений, как правило, возможно лишь с использованиемЭВМ. Но, учитывая, что для волновода-концентратора с тремя участкамиКвашнин С.Е.

Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 19899размерность определителя равна шести, целесообразно уже на этапе раскрытияопределителя использовать ЭВМ, в программном обеспечении большинствакоторых имеются стандартные программы как для решения определителей, так идля нахождения корней трансцендентных уравнений.Чтобы решить задачу на собственные значения для выбранного элементаУЗМИ или УЗМИ в целом, удобно воспользоваться матричным вариантом методаначальных параметров [12].2.3.2.

Матричный метод расчета УЗМИРассмотрим волновод поперечного сечения длиной l (рис. 4). Общеерешение уравнения (8) для этого случая - уравнения (9) в видеu( z ) = C1 sin αz + C2 cos αz ,(16)в силу второго из соотношений (1), амплитуда осевых условий n(z)N ( z ) = EFu′( z ),и с учетом (16а)N ( z ) = EFα(C1 sin αz + C2 cos αz ).,(17)Пусть амплитуда продольного смещения при z=0 равна u0 , а амплитудаосевого усилия N 0 . Тогда соотношение (16а) и (17) примут видu( z ) = u0 cos αz + N 0 ( EFα ) ⋅ sin αz ,N ( z ) = − EFαu0 sin αz + N 0 cos αz.Значения смещения и усилия на правом торце волновода:uk = u(l ) = u0 cos αz + N 0 ( EFα ) ⋅ sin αz ,N k = N (l ) = − EFαu0 sin αz + N 0 cos αz.(18)Используявекторныеобозначения, уравнение (18) можнозаписать в более компактной формеVk = AV0 ,гдеVk = (uk , N k ) ; V0 = (u0 , N 0 ) ;Рис.

4вектора-столбца : A - матрица 2 × 2вида:( EFα ) −1 sin αl ⎞⎛ cos αl;A=⎜⎟,cos αl⎝ − EFα sin αl;⎠которую принято называть матрицей перехода. Для участков УЗМИ сКвашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198910экспоненциальными, катеноидальными и коническими переходами (7) решениеV(l ) также может быть выражено через V(l ) , а элементы матрицы перехода Aбудут равны⎛⎞ΔNdsin α1l ,a11 = N d ⎜ cos α1l − 0 sin α1l⎟ ; a12 =α1E0 F0α1⎝⎠a21 =⎤⎛ Δ 0Δ l⎞EF0 ⎡+ α1 ⎟ sin α1l ⎥,⎢( Δ l − Δ 0 ) cos α1l − ⎜Nd ⎣⎝ α1⎠⎦a22 =⎞1 ⎛ Δl⎜ sin α1l + cos α1l ⎟ .N 0 ⎝ α1⎠(20)где F0 - площадь поперечного сечения в начале участкаN d = F0 Fk ; Fk - площадь поперечного сечения в конце участка.Для волновода с экспоненциальными переходами Δ l = β, Δ l = β ;Для волноводов с катеноидальными переходами Δ l = β, Δ l = βДля волноводов с коническими переходами Δ l = β, Δ l = β , .Для крутых переходов (рупоров), когда β или γ больше α , всетригонометрические функции в матрице перехода следует заменить насоответствующие гиперболические (это не касается конических рупоров).Допустим, УЗМИ состоит из участков, в пределах каждого из которых законизменения площади поперечного сечения таков, что может бытьаппроксимирован одной их функций (7), и для каждого из участков введеналокальная система координат Oi Zi , начало каждой из которых совпадает с левым(см.

рис 4) краем соответствующего i-ого участка. Вектор решения при Z1 = 0имеет вид: V(0) = V0(1) . Тогда решение в конце первого участка будет выглядетьтак: Vk(1) = A (1) V0(1) , но силу условий сплошности и равновесия вектор решения вначале следующего участка V0(2) совпадает с Vk(1) . Решение в конце второгоучастка: Vk(2) = A (2) V0(1) , но V0(2) = Vk(1) , тогда Vk(2) = A (2) A (1) V0(1) ,.Решение в конце i-ого участка:Vk(i) = A (i) A (i −1) ...A (2) A (1) V0(1)n.

Решение в конце n-ого участка: (т.е. при Z = l = ∑ li , где li - длина i-огоi =1участка, l - полная длина ультразвуковой колебательной системы) имеет видVk(n) = B( w) V0(1)(21)nгде B( w) = ∏ A ( i ) .i =1Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198911Собственные частоты (резонансные длины) УЗМИ находятся из решениясистемы (21), при этом должны выполняться граничные условия на правом илевом краях интервала [0, 1].Рассмотрим различные варианты граничных условий:1) левый и правый края свободны (N=0), тогдаV0 = (u0 ,0); Vk = (uk ,0),в этом случае имеем следующее частотное уравнение:12⎛ uk ⎞ ⎛ b11 b ⎞ ⎛ u0 ⎞⎟ ⋅ ⎜ ⎟ или b21 (ω ) = 0.⎜ ⎟ =⎜⎝ 0 ⎠ ⎝ b21 b22 ⎠ ⎝ 0 ⎠2) Левый край свободен (N=0), правый заделан (u=0), тогдаV0 = (uk ,0); Vk = (0, u0 );в этом случае имеем следующее частотное уравнение:12⎛ 0 ⎞ ⎛ b11 b ⎞ ⎛ u0 ⎞⎟ ⋅ ⎜ ⎟ или b11 (ω ) = 0.⎜ ⎟ =⎜⎝ N k ⎠ ⎝ b21 b22 ⎠ ⎝ 0 ⎠Решение частотных уравнений вида bij ( ω ) = 0 может быть найденоизвестными способами, например методом половинного или пропорциональногоделения, методом хорд, касательных, Ньютона-Зейделя и других.2.3.3.

Расчет концентраторов продольных колебаний с пассивныминасадками.Во многих случаях, в зависимости от особенностей применения, рабочаячасть концентратора имеет сложную форму. Так, при ультразвуковом воздействиина биологические ткани используются различные окончания в виде лопаточек,бужей, пилок, скальпелей и т.п.Допустим, существует аналитическое решение уравнения (5) дляпроизвольной зависимости изменения F(z), тогда форма окончания волновода невлияет на методику расчета, в этом случае необходимо лишь задатьсоответствующую зависимость изменения площади поперечного сечения всегоинструмента-концентратора.