Глава 4 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами)

ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРИИ ЛУЧЕВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ АВЖРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ОСЯСЯаПТРИЧНОИ ОПТИЧЕСКОИ СИОТА 4.1. Связь аберрационных коэф))ициентов с координатами лучевых дифФеренциалов в плоскости изображения нормированных координат точки пересечения луча с первой поверхностью и вектор координат: Введем вектор Т, оптическлх направляющих косинусов луча в пространстве предметов зависят от нормированных координат: Н,=Н, ~Е); Т,=Т, ~Е). Зная векторы Е,,Т,, можно рассчитать ход луча через оптическую систему и определить его координаты плоскости изображения. Очевидно, что координаты зависят от вектора нормированных координат уиз уиз( Введем вектор Е, л((( й. „(( (( АЕ, — приращение координаты ~.

При бесконечно луча, соответствующего вектору Е., можно дН, (Е) + — ' АЕ. + О(АЕ. ) д Е "3 (.1 ~ Н,1Е.) = Н, ~4.1 ) где ~,,1=1,2,3,4; малом АЕ. для записать: Е„., при ьФ,1 Е + АЕ.; при 1=,1, (~( из'уиз из' уиз из из( )' Т,(Е".) = Т,(Е) + (4.2) Рассмотрим ЛД1П (бН...; бТ...), построенный на луче (Н(Е);Т(Е)).

Параметры данного ЛД1П на первой поверхности равны: дН, бН 1(55 (4.3) Тогда Формулы (4.1)„(4.2) можно переписать в виде: Н,(Е",) = Н,(Е) + бН„,, ЬЕ,. + О(ЬЕ'„); Т„(Е. ) = Т, (Е) + бТ, . АЕ. + 0(ЛЕ~) Координаты луча (Н (Е, ); Т (Е, ) ) в плоскости изображения на основании Формулы (3.16) можно представить в виде: из( ') из( ) бхиз( '5~ (Е.)=у (Е) бу . (1Е.

где буиз..., бхи .,. — параметры ЛД1П (бН, ,; бТ, ,) в плоскости изображения. Тогда х (Е.)-х (Е) ИЗ(55 уиз( 5) уиз( (4.5) д Е (55 По аналогии с Формулами (4. 4), (4.5) для линейных координат АЛД2П в плоскости изображения имеем: ИЗ(1,55 дг„~ дг„ч линейные координаты ЛД2П в дхи д Е, (55 9 д Е (~5 1~~ ЬЕ. О 1 11~~ (5Е. О 5 дТ, ЬЕ. + 0(((Е. ) д дТ, бТ 1(55 д гч (55 уиз а б у д~ д~ ИЗ(1 ° 5 5 плоскости изображения. Индексы ~,~ означают, что ЛДЯП построен на ЛД1П ~бЕ,,>;бТ...) , (бЕ...;бТ...). Аналогично д хиз из( (>„> (>> (Й> (4.7) д уиз уиз((,.>,~>' дЕ . дЗ .

дЕ (>.> (>> (Й> где б х„ .. . „,, б у„ .. . „, — линейные координаты ЛДЗП в плоскости изображения. Индексы ~,~,й означают, что ЛДЗП Геометрические аберрации луча в плоскости изображения равны ~19,59]: ЬС'=х -Н "- Ь(>'=>~ -Н >((з из (э>' ' уиз из ('>>' где Ьà — сагиттальная составляющая геометрической аберрации луча; А~' — меридианальная составляющая геометрической аберрации луча; Н„ — высота второго вспомогательного луча в плоскости изображения. Представим сагиттальную и меридианальную составляющие геометрической аберрации луча д х ЬГ=х ! + -~:-О дЕ.

( ~. > в виде степенных рядов: и д и ((.> (>> >=1 >=А построен на ЛД1П (бН,.,; бт,., ) , (бн, ,;бт, ., ), РН, „,; бт, „, ) и соответствующих ЛД2П. 4 4 ( —,ЕЕЕ д'Хиз ((.) ()) ()() 8=0 ((.) ()) + О(!Е! ); из (() Д из (() УР 0 (( ) В уиз 2 д Е д и п у р (~ (') «)) ()) д (() ()) (Е) й= ЛД, опорньлч лучом которого является оптическая ось, будем называть аксиальвым Лд (АЛД). Луч, соответствующий нулевому вектору нормированных координат (Е=О), совпадает с оптической осью осесимметричной оптической системы; его координаты в плоскости изображения: направляющих косинусов в пространстве предметов, согласно выражениям (2.1),(2.1 5)-(2.18), можно представить в виде: к„ =О„ у„ =О.

В параксиальном приближении вектор Н, линейных координат на первой поверхности и вектор Т, оптических У 6 о Т 1 — И<1. 1,1) + 0(2), (4.11) И<1)й<1) где Ь„,,Н„, — высоты вспомогательных лучей на первой поверхности; а„,, ~... — углы вспомогательньи лучей в пространстве предметов; и„ „ — показатель преломления пространства предметов. Из Формул (4.10), (4.11) следует, что значения частных производных дЕ,/дЕ „ дТ,/дЕ при Е=О равны: (1) О С а <1> <1> О 0 дТ, дТ, дй дЕ (1) дЕ С (1> С д22, дй дТ, дТ, дй "(1)"(1) дЕ„, дЕ (4.12) Н <1> О -и„, Р„, О С дТ, дТ, ) дЕ О <1> О дВ, дТ, -и (1 > ~<1> О У дЕ (4 > Д ((> В дальнейшем будет показано, чта АЛД первого порядка (АЛД1П) зквивалентен нулевому лучу.

При атом параметры АЛД1П и нулевога луча удовлетворяют равенствам: Х=бх; 3'=бу; -и~ о' =б(;(; -и~ а =бр; бз=С; б2=0. (4.13) Согласно формулам (4.12) параметры АЛД1П можно выразить через параметры вспомогательных лучей следуюпрв~ образом: 110 бх...(а)=Ь(в); бу...(в)=0; бр...(а)=-п (а)а(а); бсср...(а)=0; бх„, (а)=0; бу„,(а)=Ь(Б); бр„,(Б)=0; бо„,(я)=-п (я)сх(я); бх„, (к)=Н(к); бу„, (к)=0; бр„,(к)=-п (г)Р(к); бсср„, (к)=0; бх (а)=0; бу„, (а)=Н( ); бр,, (а)=0; бд,„, (г)= — и (я)~(а) (бн„,;бХ„,), (бв„,;бт„,), (бН„,;бт„, ), (бВ„,;Л...) Хизсз)="из' уизсз)= ' изс )= ' уизс4)="из' На основании выражений (4.3),(4.12) можно записать: из ) с изс') с') Г"3 ИЗ сэ) (4.14) В=0 "ИЗ ' "с' у ИЗ"с)) Далее будет показано, что для параметров АЛД второго порядка (АЛД2П) выполняются равенства: б'х=0; б'у=0; б'р=0; б'о=0 Следовательно: будем называть сагиттальным апертурным АЛД1П, меридиональным апертурным АЛД1П, сагиттальным полевым АЛД1П и меридиональным полевым АЛД1П соответственно.

В плоскости изображения, оптически сопряженной с предметной плоскостью, имеем: бхи 1) ~из 0 буи с) 0' бхи 0 буи из — 111 гч Е=О Перепишем выражения (4.8),(4.9) с учетом соотношений (4.14)-(4.17): ЬО' = АО' + О(~Е~ ) ; Ь~' = Ьж,' + О(~Е~ ) где (4.19) представляют собой меридиональную и сагиттальную составляющие геометрической аберрации третьего порядка в плоскости изображения. Выразим линейные координаты АЛД третьего порядка (АЛДЗП) в плоскости изображения б'х„ .. . „,,б'у„ .. . „ через аберрационные коэКпщиенты Б,. Для этого приравняем члены степенных рядов (2.19), (2.2Э), (4.18), (4.19) содержащие нормированные координаты й ,й~,У ,0~ в одинаковых степенях.

Полученные выражения сведены в таблицу 1. КозКищиенты еберреци$ третьего порядке и линейные координаты АЛДЗП в плоскости изображения — 113— 4.2. Перенос аксиальных лучевых диФФеренциалов в градиентной среде Введем в осесивиетричной оптической системе ( раздел 2.1) плоскости О...,О,',, (~=1,2,3,...,и), перпендикулярные оптической оси и проходящие через вершину поверхности Плоскость О... находится в среде ~, плоскость О,',, — в среде (+1 (рис. 4.1). Рассмотрим перенос АЛД1П, АЛД2П, АЛДЗП в среде ~ между плоскостями О,', „, О,,, В системе координат градиентной среды плоскости О,'. .., О...

описываются уравнениями в=к,, к=а„ (рис.4.2). Возведем Функцию (2.2) распределения показателя преломления градиентной среды в квадрат: и (х,у,а)=п, (я) + и, (я)(х +у )+ п,(з)(х +у ) + ... , (4.20) где п,(з) = 2п (я)п,(я); п,(з) = 2п, (я)п,(я) ~ и', (и) . Е =(О;0;е) ; т =(О;0;и (е)) (4.21 ) Параметр 1 траектории этого луче равен '=1 е и (е) (4.22) Параметры АЛД1П в среде с Функцией распределения квадрата показателя преломления (4.20) в соответствии с выражениями (3.4)-(3.6) удовлетворяют системе ди$$еренциальных уравнений: Из выражений (2.1) следует, что вектор В линейных координат и вектор Т оптических направляющих косинусов луча, совпадающего с оптической осью, имеют вид изоьоажеиия Рис.

4.1 Осесьиметричная сштическая система Рис. 4.2 Градиентная среда ~ — 116— д б,рЛП = и",(и)б„х ; а б,цЛ~ = п",(и)б,у ; дб1 1 д и (е) б,з д1 2 ди (4.23) д б,х~д~ = б,р ; дб,у~д~ = б,с; д б,яадС Инвариант (3.11) АЛД1П порядка имеет вид: Для АЛД1П в плоскости и=я, имеем: б,и(з, )=бз,=О; б, 1(з, )= =61 =О. При этих начальных условиях из выражений (4.23) следует, что б,к=О, 6,1=0, а Формулы (3.7),(3.8) примут вид: бх=б,х; бу=б,у; бр=6,р„ бо=б,с; бз=б,и+п (и)М=п.(з)6~; 1 д и,'(и) 1 д и (з) 61=6,1 + — 61 = — 6$ 2 дз 2 дз Для АЛД1 П, принадлежащего плоскости и=и„, имеем: би (и„) =О. Следовательно, 6~=0, 61(з„)=0. Так как параметры бх, бу, бр, бд не зависят от 61, то индекс "1" при их обозначении опускается. При выполнении равенств (4.13) система диФФеренциальных уравнений (4.23) эквивалентна системе диФФеренциальных уравнений (2.3)-(2.6)„ которые описывают параксиальный луч в градиентной среде.

Из выражений (3.23),(3.24) следует, что АЛД2П в градиентной среде с Функцией распределения квадрата показателя преломления (4.20) удовлетворяет системе диФФеренциальных уравнений: с1 б',р/й1 = п,(х)б,'х; й б'„ц/й1 = п,(х)б',у; б'и ' (з), бп, (х) б',к + ' (бх„бх,+бу,бу,); й1 2 де' ' де ~ б,'х Л~ = б,'р; ~ б,'ум~ = б',о; а б',хЛ~С = б',~ . Инвариант (3.30) с учетом величин, тождественно равных нулю, примет вид: 2(п, (з)б 1+бр,бр,+бц,бо, )= о( б'и +2п 1 "ж (я) (бх бх +бу бу ) Из системы диФФеренциальных уравнений (4.24) следует, что ест в плоскости я=я выполняются условия: б'х =0; б'у,=О; б р =0; б ц,=О, то параметры АЛД2П б,х, б„у, б,р, б,д равны нулю при любом значении 1: б,'х = О; б у = О; б р = О; б',ц = О АЛД2П в плоскости я=я„ в соответствии с Формулами (3.25),(3.2б) имеет вид: б'х =б,'х(е„)=О; б у=б'у(е„)=О; б'р=б',р(а„)=О; б*д =б,'д(х„)=О; б'а = б',х(а„) + п (х„)б'Ф ; 1 д и,'(х) — +- 2 де Условие (3.27) для АЛД2П, принадлежащего плоскости х=х,, имеет вид бала=О.

Следовательно, б 1 = — б е(е„)/и (е„) (4.2б) — 117— Из выражений (3.35), (3.36) следует, что АЛДЗП в градиентной среде с функцией распределения квадрата показателя преломления (4.20) удовлетворяет системе диФФеренциальных уравнений с1 б,'р „д п,(з) дз +12п,(к)бх„бх,бх +4п, (х)(бх„бу,бу +бх,бу,бу +бх,бу,бу, ); +1 гп", (з) бу„бу,бу +4п", (х) (бу„бх,бх,+бу,бх„бх,+бу.бх„бх, ); д'и,' (г) б,т.