Диссертация (Разработка расчетно-экспериментального метода оценки склонности сварных соединений к образованию горячих трещин при сварке тонколистовых металлических конструкций), страница 7

Для реализацииэтого сдвига вводятся фиктивные узлы с номерами 0 и N  1 . В области спеременным шагом разбиения сетки вдали за источником с учетом линейногоизменения температуры, расчет температур в узлах сетки выполнялся путемлинейной аппроксимации температурного поля (Рис. 2.9). Расчет температуры вузле для следующего шага по времени осуществляется по формуле:Tt 1 i, j, k  Tt i  1, j, k   Tt i, j, k   hx Tt i, j, k  .(2.10) hxПостроенные уравнения для граничных узлов сетки, а также дляs ixn3внутренних узлов n в области с постоянным шагом разбиения и узлов n~ спеременным шагом, были приведены к виду (2.9).

Коэффициенты разностныхуравнений (2.9) для различных узлов сетки представлены в Таблице 4.45Рис. 2.9. Сдвиг температурного поля при движении сварочной ванныТаблица 4.Коэффициенты разностных уравнений при разбивке конечно-разностной сеткивдоль оси X№A11  2nn 1  nn1  10B2ch 2 С  sol  n1 10n1n~Nn 1  sns  123n~ 1  sn~( s  1) 2002ch 2 j 1T1n 1  n2ch 2 j 1Tnn  2  n 12ch 2 j 1Tn1 1  sol  n1 1 Tsol12302chn2  1 n 2  2  n 2 1  A  sol  n2 1n3D2ch 2A2ch 2 ACCn1 1 sol34n~  sn~ 1 s~ch 2 s 2 n 2 n3 AC2( s  1) 22ch 2 j 1 2ch 2Tn1 Tsol СTsoln 1  n32ch 2 j 1Tn2 1  sol  n2 1 Tsol0ch 2 AC2ch 2 s 2 N 2 n3C21ch 2 j 1Tn2 3~ch 2 s 2 n 2 n3 j 1Tn~2N 1  sN( s  1) 2(  sN 1 ) s N( s  1) 2ch 2 s 2 N 2 n3 j 1TN246Движение сварочной ванны реализуется путем сдвига температурногополя вдоль оси X на шаг, равный шагу сетки разбиения h .Разбивка конечно-разностной сетки вдоль оси YРассмотрим уравнение теплопереноса и теплового баланса для конечноразностной сетки с переменным шагом по оси Y аналогично разбиению по осиX в виде (2.9).

Схема разбиения сетки по оси Y представлена на Рис. 2.10.Рис. 2.10. Разбиение конечно-разностной сетки вдоль оси YВ узле 1 сетки граничное условие задается согласно выражению (2.6), вузле N – согласно (2.5). Начиная с узла n3 шаг разбиения сетки начинает растив геометрической прогрессии с коэффициентом s .В случае пересечения линии узлов со сварочной ванной (Рис. 2.11), вточке n2 являющейся ее границей, граничное условие задается согласно (2.4).Рис. 2.11. Разбиение конечно-разностной сетки вдоль оси Y в областипересечения со сварочной ваннойПостроенные уравнения для граничных узлов сетки, а также длявнутренних узлов n в области с постоянным шагом разбиения и узлов n~ спеременным шагом, также как и для разбиения вдоль оси X, были приведены к47виду (2.9).

Коэффициенты разностных уравнений (2.9) для данного случая вразличных узлах сетки представлены в Таблице 5.Таблица 5.Коэффициенты разностных уравнений при разбивке конечно-разностной сеткивдоль оси Y№A11  2nn 1  nBn2  1 n 2  2  n 2 1n3n~Nn 1  sn3s  123n~ 1  sn~( s  1) 20CchA2ch 2 AC2ch 2 A  sol  n2 12ch 2 j 1T12ch 2 j 1Tn0n 1  nch 2 AC22 2 n~  2 n3Dch s AC2 yN hs N  n3c h 2 s 2 N  2 n3C 4 22ch 2 j 1Tn2 1  sol  n2 1 Tsol0n 1  n3ch 2 j 1Tn2 334n~  sn~ 1 s( s  1) 2N  sN 1s( s  1) 2~ch 2 s 2 n 2 n3 j 1Tn~2c  h 2 s 2 N  2 n3 j 1 hs N n3 zN TосTN 42Разбивка конечно-разностной сетки вдоль оси ZРассмотрим уравнение теплопереноса и теплового баланса вдоль оси Z.Так как тепловые процессы исследуются в тонких пластинах, для конечноразностной сетки по оси Z был выбран постоянный шаг разбивки по оси Z.Схема разбиения сетки по оси Z представлена на Рис.

2.12.Рис. 2.12. Разбиение конечно-разностной сетки вдоль оси ZВ узлах 1 и N сетки граничное условие задается согласно выражению(2.6).48В случае пересечения линии узлов со сварочной ванной (Рис. 2.13) вточке n1 , являющейся ее границей, граничное условие задается согласно (2.4).Рис. 2.13. Разбиение конечно-разностной сетки вдоль оси Z в областипересечения со сварочной ваннойПостроенные уравнения для граничных узлов сетки, а также длявнутренних узлов n были приведены к виду (2.9).

Коэффициенты разностныхуравнений (2.9) для данного случая в различных узлах сетки представлены вТаблице 6.Таблица 6.Коэффициенты разностных уравнений при разбивке конечно-разностной сеткивдоль оси Z№AB11  2nn 1  nN0Длярешениярасщеплениепротеканиеch A  2h z12ch 2 AC2c  h 2 A  sol  n1 1c h2 C  2 zN hn1  1 n1  2  n1 1C2потрехмерной0n 1  nN  N 1задачипроцессовc  h j 1T1  2h z1Tос2ch 2 j 1Tn2c  h 2 j 1Tn1 1  sol  n1 1 Tsolc  h2 j 1TN  2h zN Tос0пространственнымодномерныхD2теплопроводностииспользуетсяпеременным,т.е.последовательноедляизпространственныхкаждойкоординат. Применение неявной схемы для решения одномерных задачобеспечивает устойчивость.

Решение задачи методом прогонки определяетпропорциональность общего числа арифметических действий числу узловых49точек и, следовательно, малые затраты машинного времени на каждом шаге повремени.2.3. Программная реализация численной моделиДискретное описание формы сварочной ванныДля задания граничного условия 2.4, соответствующего поверхностисварочной ванны, осуществляется переход от аналитического представленияповерхности 2.3 к дискретному виду.На первом этапе формируется трехмерный массив POOL, ячейка [i, j, k]которого содержат 1, если соответствующий узел (xi, yj, zk) принадлежитповерхности сварочной ванны, и 0, если не принадлежит (Рис.

2.14).Рис. 2.14. Определение узлов поверхности сварочной ванныДалее для оптимизации поиска узлов поверхности ванны на каждом шагерешения и снижения временных затрат, на основании построенного напредыдущем этапе трехмерного массива, формируются двумерные массивыPOOLX, POOLY и POOLZ для каждого направления локально-одномернойсхемы решения.Для случая решения одномерной задачи для направления Y, массивPOOLY имеет размер Nx х Nz. Ячейка массива [i, k] соответствует прямой синдексами по направлению X – i, по направлению Z – k.

В случае пересечениянаправления [i, k] с поверхностью ванны, соответствующая ячейка содержитномер узла j конечно-разностной сетки, соответствующий поверхности солидус50сварочной ванны по направлению Y. Если пересечения не было, то ячейкасодержала значение 0.Аналогично формируются массив для направления Z: POOLZ [i, j ]  k , если POOL i, j, k   1,.(2.10)POOLZ[i,j]0,еслиPOOLi,j,k0Для направления X формируется два массива: POOLXf для передней частисварочной ванны и POOLXb для хвостовой части: POOLX f [j , k]  k, если POOLi,j,k   1 и xi  xc ,, POOLX f [j , k]  0, если POOLi,j,k   0 и xi  x c ;(2.11) POOLX b [j, k]  k, если POOLi,j,k   1 и xi  xc ,.(2.12),0если0и;POOLX[jk],POOLi,j,kxxbicПараметр xc определяет смещение центра двойного эллипсоида,относительно начала координат.Таким образом, при решении одномерных задач для каждой изпространственных координат используются индексированные двумерныемассивы, содержащие номера узлов, соответствующие поверхности ванны стемпературой солидус.Предложенный алгоритм для задания поверхности солидус сварочнойванны, определяемой выражением 2.3 и 2.4, был реализован в видепрограммного модуля с использованием Delphi 7.0 (Рис.

2.15).Рис. 2.15. Интерфейс программного модуля формирования массива51Программа позволяет формировать необходимые данные для заданияисточника тепла при расчете температурных полей.Пользователем определяется:- параметры двойного эллипсоида, описывающего источник (af, ab, b, c);- величина шагов разбиения сетки по пространственным переменным (dx,dy, dz),;- толщина пластины (d).Возможно, задание как одного источника, так и группы источников, сизменяющимися одним или несколькими геометрическими параметрамиэллипсоида, описывающего источник.

Для этого в программе предусмотренозадание шага изменения данных параметров.В зависимости от задаваемых параметров, возможна реализацияследующих вариантов схематизации рассматриваемых процессов:- тонкая пластина (плоский случай, полное проплавление, параметр cэллипсоида игнорируется);- толстый слой (задается толщина пластины, полное или частичноепроплавление);- толстая пластина (полубесконечное тело, параметр толщина пластиныне задается).Расчет температурных полейРазработанная численная модель теплопереноса при сварке в пластинахбыла программно реализована на языке Compaq Visual Fortran. Программаимеет модульную структуру, блок-схема которой приведена на Рис. 2.16.Для идентификации геометрических параметров сварочной ванныиспользовалосьрешениеобратнойзадачитеплопроводности[56-60].Обозначим неизвестные параметры сварочной ванны вектором x:x  a f , a b , b, c.(2.13)52Рис.

2.16. Блок-схема программы расчета температурных полей53Рис. 2.16. Блок-схема программы расчета температурных полей (продолжение)54Вкачествеоткликаy  y1 , y 2 ,, y N используютсяизмеренныеэкспериментально термические циклы в околошовной зоне. Термическиециклы представляются в виде векторов из N измерений для моментов времени,определяемыхt  t1 , t2 ,, t N .векторомИспользуемоеоборудованиепозволяет проводить запись точек термического цикла с шагом от 0,01секунды.

Для сравнения расчетных и экспериментальных термических цикловвыполнялось их совмещение по моменту времени достижения максимальнойтемпературы (Рис. 2.17).Рис. 2.17. Сравнение экспериментального и расчетного термических цикловПараметры сварочной ванны определялись из условия минимизацииразницы между расчетными и экспериментальными данными. Таким образом,задача поиска неизвестных параметров p представляется в виде минимизациифункции цели [61]:NFx    yi  yˆ i 2 min ,(2.14)Ni 1где yi , yˆ i - i-ый элемент вектора отклика измеренного экспериментально иполученного расчетно соответственно.55Для решения обратной задачи теплопроводности используется методНьютона.

Необходимо найти минимум функции многих переменных Fx   min .Данная задача равносильна задаче поиска нуля градиента: Fx   0 .(2.15)Для решения этой задачи используется итерационный метод Ньютона:x i 1  x i  H 1 ( x i ) F( x i ) ,где H – матрица Гессе функции F(x) .(2.16)Формула 2.16 можно представить в виде:x i 1  x i  x i ,(2.17)1где x i  H ( x i ) F( x i ) - приращение аргумента на i-ом шаге итерации.Однако использование уравнения 2.16 или 2.17 затрудненно вследствиевычислительных трудностей поиска обратной матрицы Гессе. Поэтому 2.16преобразуем к виду:H( x i ) x i   F(x i ) .(2.18)Выражение 2.18 представляет из себя систему из K линейных уравнений,относительно неизвестных приращений аргумента x i ( K – размерностьвектора x ).