Диссертация (Разработка метода расчета сопротивления качению и теплообразования в массивных шинах при стационарных режимах движения), страница 5

Для более эффективной процедуры счета Свенсон [149] предложил использовать феноменологический потенциал, содержащийдробные степени первых двух инвариантов тензора деформаций Коши-Грина,[︂]︂1+[︂]︂1+¯ − 33 ∑︁ ¯ − 33 ∑︁ +.Ψ =2 =1 1 + 32 =1 1 + 3(1.37)Однако, как показано в работе [98], использование второго инварианта ¯в выражении для упругого потенциала в общем случае приводит к сильномурасхождению с экспериментом.Стремясь получить наиболее простой вид упругого потенциала для саженаполненных резин, который позволил бы провести инженерный анализ резиновых конструкций при помощи метода конечных элементов не прибегая предварительно к сложному экспериментальному исследованию поведения резины,Йох [170] предложил сохранить в потенциале Ривлина (1.30) только слагаемые, содержащие первый инвариант ¯ .

Основанием для этого послужили работы [34, 77], в которых было найдено простое соответствие между экспериментальными данными, полученными для резин, содержащих разные наполнители,при одноосном растяжении, сжатии и простом сдвиге. Экспериментальные результаты, получаемые в этих испытаниях, укладывались на одну кривую, име-27ющую вид параболы в координатах /( − −2 ), / и ¯ − 3, где – условноенапряжение, отнесенное к недеформированной площади поперечного сеченияобразца, – напряжение сдвига, – деформация сдвига.

Это проиллюстрировано на Рисунке (1.7), заимствованном из работы [170]. Видно, что расхождениемежду экспериментальными данными наблюдается только при сравнительномалых деформациях. Как указано в работе [170] такое поведение резины возможно только в случае, если Ψ /¯ ≫ Ψ /¯ и Ψ /¯ не зависит от¯ . Для ненаполненных резин в области малых деформаций эти условия несоблюдаются [140], но в области больших деформаций величина Ψ /¯ значительно превосходит Ψ /¯ и практически не зависит от ¯ . Поведение саженаполненных резин в области умеренных деформаций сходно с поведениемненаполненных резин при больших деформациях [99].

Анализ экспериментальных данных, приведенных в работе [99], показал, что Ψ /¯ для наполненныхрезин в области умеренных деформаций не только значительно меньше Ψ /¯ ,но и близко к нулю.В результате было предложено выражениеΨ = 1 (¯ − 3) + 2 (¯ − 3)2 + 3 (¯ − 3)3 ,(1.38)которое считается наиболее удачным из всех предлагаемых ранее потенциалов [98].

Здесь следует отметить, что его вид совпадает с первыми тремя слагаемыми потенциала Бидермана, опубликованного гораздо раньше [16]. Из Рисунка 1.7 видно, что теоретическая кривая, построенная на основе зависимости (1.38), хорошо подтверждается экспериментальными данными.Для описания поведения материала в области малых деформаций Йох [171]предложил к сумме (1.38) прибавить экспоненциальное слагаемое [156]:Ψ =(1 − exp [− (¯ − 3)]) + 1 (¯ − 3) + 2 (¯ − 3)2 + 3 (¯ − 3)3 .

(1.39)Каким бы простым не казался феноменологический подход по сравнению скинетическим описанием поведения молекулярной структуры материала, дальнейшие попытки усовершенствовать феноменологические модели опять приводят к длительным, зачастую не имеющим развития, поискам.

В этой связи модели материала, основанные на физических предположениях о поведении материала, более ценные и эффективные. К таковым относятся модели, получен-st, , МПаl-l-2 gs , МПаl-l-228IC-3(а) Растяжение (∘), сжатие (∙)IC-3(б) Растяжение (∘), сдвиг (∙)Рисунок 1.7. Экспериментальные результаты (показаны точками), полученныедля образцов, изготовленных из натурального каучука и содержащих 70 м.ч. (а) и 40 м.ч. (б) черной сажи [170]. Сплошной линиейпоказана теоретическая зависимость Йоха (1.38)ные авторами, пытавшимися усовершенствовать классическую кинетическуютеорию поведения полимеров при помощи введения стерических ограничений,действующих на субцепи макромолекул.Модели поведения материалов, основанные на концепции стерических ограничений, довольно разнообразны [15].

Их вид определяется прежде всего способом учета ограничений. В работах [62—65, 67] стерические ограничения накладывались только на флуктуации узлов полимерной сетки. В работах [59, 60]моделировались зацепления между соседними субцепями макромолекул. Этизацепления представлялись в виде жестких колец, позволяющих свободно проскальзывать субцепям макромолекул относительно друг друга. В работах [71—73] стерические ограничения учитывались при помощи модели прямой трубки. Для этого реальная полимерная сетка была представлена в виде системытрех взаимно перпендикулярных субцепей, помещенных в прямые трубки квадратного поперечного сечения и ориентированные вдоль направлений главныхдеформаций. При деформации материала трубки деформировались аффинно,сохраняя неизменным свой объем.Все обозначенные подходы хорошо описывают экспериментальные результаты по одноосному растяжению-сжатию образцов материала [75], несмотря нато, что стерические ограничения учтены в них далеко не полностью.29Наиболее детальный подход к описанию стерических ограничений былпредложен в работах Присса [133] и Присса и Попова [15].

Присс [133] отказался от модели прямой трубки, заменив действие стерических ограничений насубцепь макромолекулы гармоническим потенциалом, возрастающим при удалении субцепи от среднего по времени положения в трубке (от оси трубки) иприближении ее звеньев к поверхности трубки. При этом флуктуации субцепи вдоль трубки ничем не ограничивались. Функция распределения конформаций осей трубки предполагалась аналогичной изолированной субцепи. Придеформации материала контур трубки изменялся аффинно.

Теоретические результаты, полученные на основе предложенной модели поведения материла,оказались не пригодными для описания процесса сжатия резины. В работе [15]была предложена модифицированная теория Присса, в которой учитывалосьаффинное изменение радиуса трубки в процессе деформации. В результате было получено хорошее соответствие с опытом, как в области растяжения, таки в области сжатия.

Аналогичный подход использовался в работах Генриха,Штраубе и Гельмиса [82—85]. В работе [82] приведен вид упругого потенциала,полученного на основе модели трубки,Ψ =2 *1(¯ − 3) + (−) ,2(−)(1.40)где 1 , 2 – положительные постоянные материала, выражаемые через молекулярные характеристики полимерной сетки; * () – первый инвариант девиаторатензора деформаций Огдена)︁1 (︁ ¯ /2¯ −1 ; =(1.41), 0 6 6 1 – параметры, определяющие закон деформирования поперечногосечения трубки¯ , ¯ , = ¯ , = 1, 3 , = 0 (1.42),где 0 – среднее отклонение статистического сегмента субцепи макромолекулыот оси трубки в недеформированном положении, – измененный размер 0 внаправлении -й главной деформации. Параметр позволяет учесть изменениесо временем положения узлов полимерной сетки и стерических ограничений¯ и микро ¯ ,после деформирования системы, т.

е. различие между макро 30деформацией полимера. Этот параметр зависит от количества растворителя,от дефектов полимерной сетки и является индикатором степени вулканизациирезины. Для фантомных сеток значение близко к нулю. Для не набухшей,хорошо сшитой полимерной сетки, изначально состоящей из длинных макромолекулярных субцепей ≃ 1 (например, натуральный каучук, вулканизованныйпри помощи серы). Однако, несмотря на физический смысл параметра , дляприближения теории к эксперименту в работах [82, 95] он варьировался произвольно.

Параметр определяет степень отклонения деформации трубки отаффинной ( = 1). Отметим, что в случае = = 1 потенциал (1.40) совпадаетс потенциалом Муни-Ривлина. Однако, в работах [83—85] отмечается, что близкое соответствие теории с экспериментом достигается при < 1. В работах [82,84] показано, что этот параметр близок к 0,5.Для моделирования поведения саженаполненных резин в работах [95, 102]по аналогии с работой [59] было получено выражение для свободной энергии помодели «трубки» с учетом конечной растяжимости субцепей макромолекулΨ =12[︃ (︀]︃)︀)︀(︀1 − 2 (¯ − 3)2 *+ ln 1 − 2 (¯ − 3) + (−) ,21 − (¯ − 3)(−)(1.43)где параметр = /0 выражается через отношение длины сегмента субцепимакромолекулы к диаметру трубки и отражает конечную растяжимость субцепей макромолекул.

Для наполненных резин параметры модели 1 , 2 в соотношении (1.43) по физическому смыслу отличаются от параметров, входящихв соотношение (1.40), поскольку содержат информацию о влиянии объемногосодержания наполнителя [86]. Но если эти постоянные определять как феноменологические параметры модели, то соотношение (1.43) можно использовать идля ненаполненных резин при больших кратностях удлинений.На Рисунке 1.8 [95] сопоставлены экспериментальные данные Трелоара [154]и результаты расчета по моделям (1.43) и (1.38).