Диссертация (Разработка и исследование способа деформационного упрочнения поверхностей деталей методом деформирующего резания), страница 24

3.2). С учетом того, что вектор i1и вектор DA являются сонаправленными векторами, вектор i1 винструментальнойсистемекоординатможетбытьвыраженчерезкоординаты вектора DA следующим образом: x A  xD  DA y A  yD  ,i1   DA  z A  zD DA (П.23)204где DA xA  xD 2   y A  yD 2  z A  zD 2 – длина вектора DA .Для определения координат точки D используется каноническоеуравнение прямой для деформирующей кромки, заданной вектором a1 :xyz.a1x a1 y a1zКоординатаyDвсистемекоординат(П.24)OXYZравнавысотеформируемого макрорельефа hp, определяемой по формуле (П.19).

Тогда сучетом уравнения (П.24) координаты точки D примут вид:xD a1x  yD a1xhp ,a1 ya1 yyD  hp ,zD (П.25)a1z  yD a1zhp .a1 ya1 yВектор j1 является единичным направляющим вектором оси Y1,которая образует правую систему координат с осями X1 и Z1, а единичныйвектор j1 определяется следующим векторным произведением:  j1  k1  i1 .(П.26)kВектор 1 является единичным направляющим вектором оси Z1 ипередней поверхности Aγ. Тогда в инструментальной системе координатOXYZ координаты вектора k1 выражаются через координаты вектора a  : ax    a    ay k1     ,a   az    a  222где a  ax  ay  az – модуль вектора a  .(П.27)205Положение системы координат O2X2Y2Z2 в инструментальной системекоординат OXYZ определяется положением точки O2 и единичными  направляющими векторами i2 , j2 , k 2Координаты xO2, yO2, zO2 точки O2:xDx,O22yD yO 2  ,2zD zO 2  2 .(П.28)Ось X2 направлена противоположно единичному вектору a1 .

Так какa1  1 , то единичный вектор i2 имеет следующие координаты: sin 1 i2  a1   cos 1  . 0 (П.29)Ось Y2 направим вдоль деформирующей кромки, а направляющийвектор j2 сонаправлен с вектором a1 , определяемому по формуле (П.8).Тогда координаты единичного вектораj2 в инструментальной системекоординат: a1j2  a1 a1x    a1 a   1 y  a1   a1z a  1 (П.30)Ось Z2 образует правую систему координат с осями X2 и Y2, и вектор k 2 определяется как векторное произведение векторов i2 и j2 :  k2  i2  j2(П.31)206П.1.4.

Определение неизвестной константы Cυ1 в выражении дляскорости течения материала υ1xДля определения неизвестной константы Cυ1 в выражении дляскорости течения материала υ1x в области пластической деформации 1используется равенство расходов материала проходящего через границыобластиРасход1.материалапрошедшегоQ,черезпроизвольнуюповерхность, вычисляется как поверхностный интеграл функции нормальнойскорости течения υn:Q   n dS ,(П.32)Sгде S – некоторая поверхность, через которую вычисляется расход.Так как заданные в области 1 скорости течения материала не зависятот координаты y1, то для упрощения вычисления постоянной Cυ1поверхностныйинтегралможнозаменитьлинейным.Дляэтогорассматривается сечение, лежащее в координатной плоскости X1O1Z1(Рис. П.3),пересекающейкоординатнойплоскостиобластьX1O1Z1пластическойвыражениедеформации(П.32)можно1.Взаменитьследующим:Q   n dl ,(П.33)lгде l – кривая интегрирования.Деформируемыйматериалпоступаетвобластьпластическойдеформации 1 через линию A1B1 (Рис.

П.3). Далее материал деформируется вподобласти 1а и покидает ее через линию B1С1. Так как за один и тожеинтервал времени через линии A1B1 и B1C1 проходит одинаковый объемдеформируемого материала, то расход материал Q1 через границу A1B1 равенрасходу Q2 через границу B1C1:Q1  Q2 .(П.34)Так как через границу A1B1 поступает недеформированный материал, тонормальная скорость течения материала υn1 на границе A1B1 являетсявеличиной постоянной и равна граничной скорости υ1Bz. С учетом того, что207A-AZ1KNφ1BγNNφB1H12X11GO2A1C1O1ИнструментAγВид на переднюю поверхностьY1DИнструментEA1O2C1X1O1AAOРис. П.3. К расчету расхода материала для определения константы Cυ1208длина границы A1B1 равна величине EA , определяемой по формуле (П.62),выражение (П.33) для определения расхода материала Q1 через линию A1B1преобразуется к следующему виду:Q1  1Bz  EA .(П.35)Для вычисления расхода материала Q2 через границу B1С1 требуетсявычислить криволинейный интеграла по линии B1С1:Q2   n 2 x1 , z1 d B1C1  ,(П.36)BCгде υn2(x1, z1) – нормальная скорость в произвольной точке на границе BC.Нормальная скорость υn2(x1, z1) в произвольной точке на границе B1С1в выражении формуле (П.36) определяется как проекция скорости теченияматериала на единичный направляющий векторnплоскости N:n 2 x1 , z1   1x x1   nx1  1z z1   nz1(П.37)где nx1, nz1 – координаты x1 и z1 единичного направляющего вектораплоскости N в системе координат O1X1Y1Z1, которые определяются поформуле (П.69), полученной в приложении П.1.6.Для вычисления криволинейного интеграла (П.36) необходимополучить уравнение прямой B1С1 в системе координат O1X1Y1Z1.

Прямая B1C1определяется как линия пересечения координатной плоскости X1O1Z1 иплоскости N, и для ее нахождения требуется найти уравнение плоскости N всистеме координат O1X1Y1Z1. Уравнение плоскости N получено в приложенииП.1.6 и определяется выражением (П.73). Из выражения (П.73) выводитсяискомое уравнение границы B1C1, которое для плоской системы координатX1O1Z1 имеет следующий вид:nx1  x1  nz1  z1  nx  Sn  0(П.38)После определения уравнения границы B1C1 (Рис. П.3) может бытьнайден расход Q2 по формуле (П.36). Для этого общее выражение (П.36)приводится к следующему виду:209H1Q2    n 2 g z1 , z1  1  g z1  dz1 ,2(П.39)0где g(z1) – функция координаты x1 от координаты z1, задающая кривую покоторой осуществляется интегрирование (в данном случае прямая B1C1);g z1  – производная функции g(z1).Функция g(z1) в выражении (П.39) выражается из уравнения прямойB1C1 (П.38) следующим образом:nz1n z1  x  Sn .nx1nx1g z1   (П.40)Производная g z1  является константой:g  z1   n z1.n x1(П.41)1  g z1  в выражении (П.38) также2С учетом (П.41) множительявляется константой:21   g z1   1 nz21.nx21(П.42)С учетом выражений (П.37) и (П.41) формула (П.39) для определениярасхода Q2 преобразуется к следующему виду:n z21Q2  1  2n x1H1 H1  n x1  1x  g z1 dz1  n z1  1z z1 dz1  .0 0(П.43)В выражении (П.43) введем следующие обозначения для входящих в еесостав определенных интегралов:I1 H1 1x g z1 dz1 ;(П.44)0H1I 2   1z  z1 dz1 .(П.45)0Тогда выражение (П.43) примет следующий вид:nz21Q2  1  2  nx1I1  nz1I 2  .nx1(П.46)210В формулу (П.44) подставляются выражения (3.41) и (П.40), послечего выражение для определенного интеграла I1 (П.44) принимаетследующий вид: I1     1BzH10H1 nn   z1  z1  x  S n   C1 dz1n x1 n x1(П.47)В результате получим формулу для определения интеграла I1:I1 nn11Bz  z1  H 1  1Bz  x  S n  C1  H 12n x1n x1(П.48)Для вычисления интеграла I2 в формулу (П.45) подставляетсявыражение для скорости течения материала υ1z (Таблица 7):I2 H101Bzz1dz1 .H1(П.49)Решение для интеграла I2 имеет следующий вид:I2 1Bz H1.2(П.50)Выражения (П.48) и (П.50) подставляются в формулу (П.46), чтопозволяет получить выражение для расхода Q2:n z21Q2  1  2n x11nn H   n x1   1Bz  z1  H 1  1Bz  x  S n  C1  H 1   n z1  1Bz 1  (П.51)n x1n x12 2Полученные выражения (П.35) для расхода материала через границуA1B1 Q1 и (П.51) для расхода материала через границу B1C1 Q2 подставляютсяв равенство (П.34), и из полученного уравнения определяется искомаяконстанта Cυ1 для функции скорости υ1x (3.41):EAC 1  1Bz  nHnSz11xn .n x1  H 1 n z21 1 n2x1(П.52)211П.1.5.

Определение неизвестной константы Cυ2 и граничной скоростиυ2Gx в выражении для скорости течения материала υ2zНеизвестная константа Cυ2 в формуле (3.42) для скорости теченияматериала υ2x в области пластической деформации 2 определяется из условияравенства расхода материала Q3 через границу области 2 O2C2 и расхода Q4через границу E1E2 проходящей в материале ребра вне зоны пластическойдеформации (Рис. П.4).Расхода Q3 определяется с использованием формулы для вычислениялинейного интеграла (П.33) и приводится к следующему виду:Q3 0 2 z 0dx2 .(П.53)a pZ2A2υ2GxH2Nφ1BγAγGПередняя поверхностьB22X2C2Kυ2z(0)O2F2E2υnEAα1apВспомогательная задняя поверхностьРис.

П.4. К расчету расхода материала для определения константы Cυ2212С учетом формулы (3.42) для скорости течения υ2z выражение (П.53)для расхода Q3 через границу области 2 O2C2 примет следующий вид:Q3  C2 a p .(П.54)Расход материала Q4 через линию E1E2 (Рис. П.4) определяется поформуле:Q4  nE  a p ,(П.55)где υnE – нормальная скорость к линии E1E2 в плоскости X2O2Z2.Скорость υnE определяется как проекция вектора  0 скорости главногодвижения на ось O2Z2:nE  0  k2 z .(П.56)Таким образом, выражение (П.55) для расхода Q4 принимает вид:Q4  0  k2 z  a p(П.57)Из равенства расходов Q3 и Q4 определяется искомая константа Cυ2:C  2   0 k 2 z .(П.58)Скорость течения υ2Gx определяется из условия равенства расходаматериала Q5 через границу O2A2 и расхода материала Q4 через границу E1E2(Рис.

П.4). Так как скорость течения материала υ2x вдоль оси X2 принимаетсяравной граничной скорости течения υ2Gx во всех точках плоскости Nφ1 то,расход Q5 через границу определяется следующим выражением:Q5  2Gx H 2 .(П.59)Правая часть выражения (П.59) приравнивается к правой частивыражения (П.57) и из полученного уравнения выражается скорость υ2Gx:2Gx  0  k 2 z  a pH2.(П.60)Из сопоставления выражения (П.58) для константы Cυ2 и выражения(П.60) для скорости υ2Gx следует, что константу Cυ2 можно выразить черезвеличину скорости υ2Gx:C2   2GxH2.ap(П.61)213П.1.6.

Определение вспомогательных геометрических параметров длянеизвестной константы Cυ1В выражение (П.52) для определения константы Cυ1 входит ряднеизвестных величин, который включает длинуEAвектораEAикоординаты nx1, nz1 единичного направляющего вектора n плоскости N(Рис. П.3) в системе координат O1X1Y1Z1.Длина вектора EA определяется по формуле:EA xA  xE 2   y A  yE 2  z A  zE 2(П.62)где xE, yE, zE – координаты точки E, xA, yA, zA – координаты точки А.Координаты точки A найдены в приложении П.1.3 и определяются поформулам (П.22), поэтому для определения длины EA требуется найтитолько координаты точки E. Точка E определяется как точка пересеченияпрямой AD и плоскости N (Рис.

П.3).Прямая AD в инструментальной системе координат OXYZ задаетсяканоническим уравнением:x  xDy  yDz  zD,x A  xD y A  y D z A  z D(П.63)где xA, yA, zA и xD, yD, zD – координаты точек A и D, определяемые поформулам (П.22 ) и (П.25) соответственно.Плоскость N в инструментальной системе координат OXYZ задаетсяследующим уравнением:nx ( x  Sn )  ny y  0 ,(П.64)где nx, ny – координаты единичного направляющего вектора плоскости N,определяемые по формуле (П.68).Таким образом, координаты искомой точки E определяются изрешения системы уравнений:214 xE  x A y E  y Ax  x  y  y ,DAD A xE  x A z E  z A,xxzzADADnx ( xE  S n )  n y yE  0.(П.65)Тогда выражения для искомых координат xE, yE, zE точки E винструментальной системе координат OXYZ примут следующий вид:S n nx  x A  xD   n y  x A y D  xD y A , xE  nxxnyyxADyADn x S n  y A  y D   x A y D  x D y A , yE  nxxnyyxADyADS n  z  z   nx  x A z D  xD z A   n y  y A z D  y D z A  zE   n x A D.nx  x A  x D   n y  y A  y D (П.66)Для определения координат xE, yE, zE по формулам (П.66) требуетсянайти координаты nx, ny единичного направляющего вектора n винструментальной системе координатOXYZ.

Так как плоскость Nпараллельна плоскости Nφ, то координаты ее единичного направляющеговектора n совпадают с координатами вектора a , являющимся единичнымнаправляющим вектором плоскости Nφ: n  a .(П.67)Таким образом, с учетом (П.1) координаты вектора n в системекоординат OXYZ определяются по следующим выражениям:nx  sin ,n y   cos , . n z  0.(П.68)Для получения уравнения плоскости N в системе координат O1X1Y1Z1,используемого при выводе выражения (П.52), и для проведения расчетовтребуется найти координаты nx1, ny1, nz1 вектора n в системе координат215O1X1Y1Z1.