Программа_Модуль_1 (Теория модуля 1 - Кратные интегралы)

ТЕОРИИ 1.Дайте определение двойного интеграла и сформулируйте теорему о его существовании. Геометрический и физический смысл двойного интеграла от положительной функции. Определение двойного интеграла: это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как  ,   ,  Теорема существования двойного интеграла: Если подынтегральная функция   ,  непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области. Необходимое: Если  , интегрируема в D, то она ограничена в этой области  Достаточное: Если выполняются условия: 1) область D – квадрируемая 2)  ,  ограничена в области D и непрерывна всюду , то  ,  интегрируема в области D. Геометрический смысл двойного интеграла. С геометрической точки зрения {при  , ≥0} интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями s( ) и высотами ( ). Если  , ⩾0, то ( )⋅ s( ) ‐ объём прямого цилиндра с основанием   высоты  ( ). вся интегральная сумма ∑( )⋅ s( ) ‐сумма объёмов таких цилиндров. Физический смысл двойного интеграла Двойной интеграл от функции  ,  численно равен массе плоской пластины, если подынтегральная функция  ,  считать плотностью этой пластины в точке  ;  , т.е.        2. Сформулируйте свойства двойного интеграла: линейности, аддитивности и интеграла от константы. Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании неравенств, об оценке и о среднем для двойного интеграла. Свойства двойного интеграла Линейности: Если функции  , ,  ,  интегрируемы по области D, то их линейная комбинация  , ,  тоже интегрируема по области  D , и  , , , ,  Аддитивности: Если область D является объединением двух областей   и   , не имеющих общих внутренних точек, то  , , ,  Интеграла от константы: Двойной интеграл от константы по области D равен произведению этой константы на площадь области D:  .

 Если C=const, S(D)‐ площадь области D Интегрировании неравенств: Если для всех точек  , ∈  верно неравенство  , ,  то  , ,  Док‐во: В любой точке   выполняется неравенство f(M)⩽g(M), поэтому       Теоремы об оценке интеграла: Если функция  ,  интегрируема по области D и для ∀ , ∈D выполняется  , , то Док‐во: ,  =>  , => ∬        Теорема о среднем: Если функция   , непрерывна на области D, то существует точка  , ∈ , такая что    Док‐во: Непрерывная на ограниченной замкнутой области D функция  ,  принимает в некоторых точках этой области своё минимальное m и максимальное M значения.  ,  то  или 1    Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между  m  и  M в частности, значение ∬  Следовательно, ∃ , ∈ |        ∬  3.Дайте определение и приведите примеры двумерной области, правильной в направлении оси  (оси ). Сформулируйте теорему о сведении к повторному интегралу двойного интеграла по правильной области. Нахождение двойного интеграла по неправильной области. Область  ⊂ ‐ правильной в направлении оси  : если всякая прямая, параллельная оси   пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных  ).     Теорему о сведении к повторному интегралу двойного интеграла по правильной области: двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:  , ,  Если область D – правильная в направлении оси Oх   , ,  Нахождение двойного интеграла по неправильной области: Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла:  , ∪      , ,  4.

Сформулируйте общую теорему о замене переменных в двойном интеграле. Дайте определение полярных координат, укажите связь между декартовыми и полярными координатами. Напишите формулу вычисления двойного интеграла в полярной системе координат. Теорема о замене переменных в двойном интеграле: Пусть на плоскости  задана область G, и пусть отображение  преобразует эту область в область D на .   Пусть:1. F взаимно однозначно отображает G на D.2. функции , , , непрерывно дифференцируемы на G3. , ,,Есть:  , , , , .

| , |  Определение полярных координат: Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.  Связь между декартовыми и полярными координатами  ,       Формулу вычисления двойного интеграла в полярной системе координат.  ,  cos sin sin    cos , , cos , sin  ,5.Напишите формулы для вычисления с помощью двойного интеграла: (а) площади плоской фигуры, (б) объема цилиндрического тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями  ;  и  ; соответственно, и (в) площади поверхности. Для вычисления с помощью двойного интеграла Площади плоской фигуры Двойной интеграл ∬  численно равен площади плоской фигуры  (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице:  , 1  Объема цилиндрического тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями  ;  и  ;  Если  ; 0 в области интегрировании R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью  ; :  ,  Если в области R выполняется неравенство  ; ; , то объем цилиндрического тела между поверхностями ими с основанием R:  , , Площади поверхности  Предположим, что поверхность задана функцией определения R: 1  ; , имеющей область  Площадь и объем в полярных координатах Пусть S является областью, ограниченной линиями Площадь этой области определяется формулой:  ,    Объем тела, ограниченного сверху поверхностью  , с основанием S, выражается в полярных координатах в вид   ,   , ℎ  ,   6.

Напишите формулы для вычисления с помощью двойного интеграла: (а) массы неоднородной плоской пластины, (б) координат её центра масс и (в) её моментов инерции. Массы неоднородной плоской пластины Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости . Пусть плотность пластины в точке , вобласти равна , , Координат её центра масс Область R в плоскости  с плотностью, распределенной по закону  ,  1 ,  1 ,  и С  ,  Моменты инерции пластины Момент инерции пластины относительно оси   ;  Момент инерции пластины относительно оси   ;  Полярный момент инерции пластины (относительно O)      ;  7. Дайте определение тройного интеграла и сформулируйте теорему о его существовании. Физический смысл тройного интеграла. Тройные интегралы – это аналог двойного интеграла для функции трёх переменных, заданной как  ; ;  Тогда тройной интеграл от функции ; ;  в произвольной области :  , ,  Теорема о его существовании:  Необходимое условие – Если функция  ; ;  интегрируема в области , то она ограничена в этой области. Достаточное условие – Если выполняются условия:  1) Область V – кубируемая 2)  ; ; ограничена в области V 3)  ; ; непрерывна в области V всюду , то  ; ; интегрируема в области V Физический смысл тройного интеграла. Из задачи о массе тела и определения тройного интеграла следует, что если  ; ; 0 и непрерывна на , то есть тройной интеграл от неотрицательной непрерывной функции ; ;  выражает массу тела (), плотность которого в каждой его точке равна  ; ;    , ,            8.

Сформулируйте свойства тройного интеграла: линейности, аддитивности, значения интеграла от константы. Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании неравенств, об оценке и о среднем для тройного интеграла. Свойства тройного интеграла Линейности: если  , ,  и  , ,  интегрируемы по области , то их линейная комбинация  , , , ,  тоже интегрируема по   , , , , , , , ,  Аддитивности: если область  ‐ является объединением двух областей  и   , не имеющих общих внутренних точек, то  , , , , , ,  Значения интеграла от константы: если С‐const, то  , , , ,  Теоремы об интегрировании неравенств: Если в любой точке  , ,  выполняется неравенство  , , , ,  и  , , , , , интегрируема по области , то  , , Док‐во:  ∑ =∭ , , → , ,  ∭ , ,   Для  , ,  и  , , , в любо точке , , , → , ,    →    , , , ,  или  , ,   , ,  Теоремы об оценке:Если функция  , ,  интегрируема по области  и для ∀ , ,  выполняется  , то  Док‐во: , , , ,  =>  , , , ,        Теоремы о среднем: Если функция   непрерывна на области  .то существует точка  , такая что ∭ =  Док‐во:  Непрерывная на ограниченной области V функция  , ,  принимает в некоторых точках этой области своё минимальное m и максимальное M значения.  , , то  или , , 1 , , Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между  m  и  M в частности, значение∭ , ,  Следовательно, ∃ , , ∈ | ∭ , ,         9.

Дайте определение и приведите примеры трехмерной области, правильной в направлении оси OZ. Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному в декартовых координатах. Определение правильной трёхмерной области : Область  трёхмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью , называется правильной, если она удовлетворяется: 1) Всякая прямая, параллельная оси  , проведённая через точку области  , пересекает поверхность σ не более чем в двух точках 2) Вся область  проектируется на плоскость в правильную двумерную область  3) всякая часть области  отсечённая плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей ( xOy , xOz , yOz ) обладает свойствами 1 и 2 (внутри области V нет дырок) Формулы сведения тройного интеграла к повторному:  , , , , ,  , Если область  , является областью типа I, ограничена линиями:  ,   ,  , ,  , , , , , ,  ,Если область  , является областью типа II, ограничена линиями:  ,   , , , , ,  ,      10. Сформулировать общую теорему о замене переменных в тройном интеграле. Дать определения цилиндрических и сферических координат. Указать связь между декартовыми и сферическими координатами. Вывести формулы для вычисления тройного интеграла (а) в цилиндрической и (б) сферической системах координат Общая теорема о замене переменных в тройном интеграле Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U  , ,  Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w  , , ,  , ,  ,  , ,  Выполнены следующие условия: 1) Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными 2) Существует взаимно-однозначное соответствие между точками областиинтегрирования U в пространстве  и точками области U′ в пространстве  3) Якобиан преобразования  , , :  , , , ,   , , отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U Тогда формула замены переменных в тройном интеграле:  , , , , , , , , , , | , , |  Определения цилиндрических и сферических координат Цилиндрическая система координат ‐ трёхмерная система координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.  ,    ,  (ρ≥0,0≤φ≤2π,−∞<z<+∞) Сферические координаты‐ положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел  r, φ  и  θ, где  r – расстояние от начала координат до точки  M ;  φ – угол, образованный проекцией радиус‐вектора    на плоскость Оху с положительным направлением оси  Ох;  θ – угол между положительным направлением оси  и радиус‐вектором точки М  , ,  02, 0, 0∞ Формулы для вычисления тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат Цилиндрическая система координат  , , 00(ρ≥0,0≤φ≤2π,−∞<z<+∞)00 ,||1 ,   ,   , , , , , ,Сферическая система координат  , , 0   2, 0 , 0 ∞    0, ,|| sin sin  , , , , ,  ,          11.

Напишите формулы для вычисления (а) массы неоднородного тела; (б) координат его центра масс и (в) моментов инерции этого тел. Массы неоднородного тела Пусть тело занимает объем  и его объемная плотность в точке  , ,  задана функцией  , , . Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла: , ,  Статические моменты тела относительно координатных плоскостей , ,  выражаются формулами ∭ , ,   ∭ , , , ,  Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам  ∭ , , ∭ , , ∭ , , ∭ , , ∭ , ,  ∭ , , Моменты инерции тела Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей , ,  определяются выражениями  , , , , , , а моменты инерции тела относительно координатных осей вычисляются по формулам  , , , ,   , ,  Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл     , ,  .