maall (Все лекции), страница 4

Если существуют числа c1 и c2 такие, что c1 6 f (x) 6 c2 для всех x ∈ A, то функция fназывается ограниченной на A.Рассмотрим теперь функцию f , определённую на симметричном относительно началакоординат множестве X. Симметричность в данном случае означает, что если x ∈ X,то и −x ∈ X. Функция f называется чётной, если для любого x ∈ X выполняется3равенство f (x) = f (−x). Если в этом определении f (x) = −f (−x), то функция fназывается нечётной.Пусть T — некоторое ненулевое действительное число (обычно его считают положительным), и пусть X ⊂ R таково, что из x ∈ X следует включение x + kT ∈ Xдля любого k ∈ Z; Z — множество целых чисел.

Функция f : X → R называетсяT -периодической, если f (x + T ) = f (x) для любого x ∈ X.Обратимся снова к общей теории функций. Пусть f : X → Y − биективное отображение. Поскольку в этом случае f сюръективно, то для любого y ∈ Y существуетэлемент x ∈ X, для которого f (x) = y, а поскольку f инъективно, то такой элементровно один.Таким образом определено отображение f −1 : Y → X, которое произвольному элементу y ∈ Y ставит в соответствие тот единственныый элемент x множестваX, для которого y = f (x).

Отображение f −1 называется обратным по отношению кf . Нетрудно проверить, что f −1 : Y → X также является биективным отображением,обратным для которого служит отображение f.Чтобы применить эти общие соображения к числовым функциям, заметим, что возрастающая или убывающая (т.е. строго монотонная) функция f : X → Y осуществляетбиективное отображение множества X на свою область значений f (X) ⊂ Y . В самом деле, сюръективность здесь очевидна, а инъективность следует из того, что разнымчислам x1 и x2 из X cтавятся в соответствие разные числа f (x1 ) и f (x2 ) из f (X). Действительно, если x1 6= x2 , и, например, x1 < x2 , то f (x1 ) < f (x2 ) или f (x1 ) > f (x2 ) в зависимости от того, возрастает или убывает функция f , но в обоих случаях f (x1 ) 6= f (x2 ).Таким образом, для строго монотонной функцииобратная функция f −1 : f (X) → X.f : X → Yвсегда существуетОсновными элементарными функциями называются следующие функции: степенннаяy = xα , α ∈ R ; показательная y = ax , a > 0 ; логарифмическая y = loga x, a > 0, a 6= 1 ;тригонометрические y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ; обратные тригонометрические y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Рассмотрим графики этихфункций и некоторые их свойства. Пусть дана степенная функция y = xα , и пусть α −натуральное число. Такая функция определена при всех действительных x; она являетсячётной при α = 2k и нечётной при α = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . . .Пусть α − отрицительное целое число; в этом случае степенная функция не определенапри x = 0.41, то функция y = xα определена при всех x; если α = 2k — то2k − 1лишь при неотрицательных x (k = 1, 2, . .

.).Если α =Для других дробных показателей рассмотрим лишь случаи α =22и α=− .33Для показательной функцииy = ax , a > 0,важно различать случаи0 < a < 1 и a > 1. Случай a = 1 не представляет интереса.Логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a 6= 1, определена при x > 0 и являетсяобратной по отношению к соответствующей показательной функции. Ясно, что если точка(x, y) лежит на графике функции y = y(x), то точка (y, x) лежит на графике соответствующей обратной функции (и наоборот). Поэтому графики взаимно обратных функций5симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Зная,как выглядит график показательной функции, нетрудно, пользуясь указанным свойством,нарисовать график логарифмической функции.Поскольку функции y = sin x и y = cos x являются 2π-периодическими, тодостаточно изобразить графики этих функций на каком-либо отрезке длины 2π, например на [0, 2π],а затем продолжить эти графики «по периодичности». Тождествоπcos x = sin x +показывает, что график косинуса получается из графика синуса сдви2гом влево на π/2 единиц.Тангенс и котангенс являютсяпериодическими функциями; их графики изобразим π−π πсоответственно на интервалах − ,, (0, π), а затем продолжим «по периодично2 2сти».Обратимся вновь к общей теории функций.

Пусть дано отображение f : X → Y, гдеX и Y − произвольные множества, и пусть A ⊂ X. Ограничением f |A отображения fна множество A называется отображение f |A : A → Y, для которого f |A (x) = f (x) длялюбого x ∈ A. Поскольку функция y = sinмонотонной, то мы рассмотримh x πнеπявляетсяiограничение этой функции на отрезок − ,, т.е. в обозначениях общей теории2 2функций, рассмотрим функциюsinh π πi:− ,−→ [−1, 1].2 2[− π2 , π2 ]6Эта функция возрастает наh π πi, и для неё существует обратная функция− ,2 2h π πiarcsin : [−1, 1] −→ − ,,2 2причемарксинуса в точке x ∈ [−1, 1] служит то единственное числоh πзначениемπi, для которого x = sin y. График арксинуса можно построить, пользуясьy ∈ − ,2 2тем, что он симметричен графику синуса относительно биссектрисы первого и третьегокоординатных углов.

Аналогично для получения функции, обратной косинусу, рассматривают ограничение косинуса на отрезок [0, π]. На этом отрезке косинус убывает, иобратная функция существует.Для получения арктангенса и арккотангенсаограничения тангенса и π рассматриваютπкотангенса соответственно на интервалы− ,и (0, π), на которых указанные2 2функции строго монотонны.Всякая функция, которая может быть задана с помощью формулы y = f (x), содержащей конечное число арифметических действий (сложения, вычитания, умножения,деления) над основными элементарными функциями и композиций, называетсяэлеменp22тарной.

Примерами таких функций могут служить y = sin x , y = x + arctg x и т.п.7кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 4.Числовая последовательность и её предел. Основные свойства пределов последовательностей (предел постоянной, единственность предела). Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Ограниченность сходящейся последовательности.

Признакисходимости последовательностей. Критерий Коши, фундаментальная последовательность. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Число e.ОЛ-1 гл. 6.Последовательностью называется числовая функция натурального аргумента. Еслинатуральному числу n при этом поставлено в соответствие число xn , то это числоназывается n-м элементом последовательности; n называют номером элемента xn .Последовательность можно задать, выписав все её элементыx 1 , x 2 .

. . , xn , . . . ;используется и краткая запись {xn }.Напомним известные свойства неравенств, связанных с абсолютными величинами.Неравенство|x| < aравносильно двойному неравенству−a < x < a;для любых двух действительных чиселx и yвыполняются неравенства||x| − |y|| 6 |x ± y| 6 |x| + |y|; модуль суммы нескольких чисел не превосходит суммыих модулей: |x1 + x2 + . . . + xn | 6 |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |.Рассмотрим теперь понятие предела последовательности.Число a называется пределом последовательности {xn }, если для любого положительного ε существует номер N = N (ε) такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство |a − xn | < ε. При этом пишут lim xn = a, или xn −→ a при n −→ ∞.n→∞Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Поскольку неравенство|a − xn | < ε эквивалентно неравенству a − ε < xn < a + ε, то все элементы сходящейся последовательности за исключением конечного их числа при любом ε > 0 лежат вε-окрестности точки a.Примеры. 1. Не всякая последовательность имеет предел. Пусть, например, xn = n.Ясно, что за пределами 1-окрестности (a − 1, a + 1) любого числа a лежит бесконечномного элементов данной последовательности. Поэтому ни одно число не может служитьеё пределом, предел lim xn не существует.n→∞12. Пусть 0 < q < 1, и пусть xn = q n . Докажем, чтоlim xn = 0.

Предвари-n→∞тельно рассмотрим понятие целой части числа. Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Из этого определения следует, что[x] 6 x < [x] + 1. Вернёмся к последовательности xn = q n . Неравенство q n < ε, очевидно,lg ε.

Поэтому при выполнении последнего неравенстваэквивалентно неравенству n >lg qnnимеем |0− q | = q < ε. В качестве номера N из определения предела можно взятьlg εN=+ 1.lg qРассмотрим теоремы об основных свойствах сходящихся последовательностей.Теорема (о пределе постоянной).

Если xn = c, n = 1, 2, . . . , то lim xn = c.n→∞Доказательство. Пусть задано положительное ε. Возьмём N = 1. Тогда при n > Nимеем |c − xn | = |c − c| = 0 < ε. В соответствии с определением предела получаем отсюда,что lim xn = c. Теорема доказана.n→∞Заметим, что в последней теореме на деле N от ε не зависит.Теорема (о единственности предела). Последовательность может иметь не болееодного предела.Доказательство.Пусть последовательность{xn }имеет два предела:|a − b|> 0 найдется ноlim xn = a и lim xn = b, причем a 6= b.

Тогда для ε =n→∞n→∞3мер N1 такой, что при всех n > N1 выполняется неравенство |a − xn | < ε; найдетсятакже номер N2 такой, что при всех n > N2 выполняется неравенство |b−xn | < ε. Пусть2|a − b|n > max(N1 , N2 ). Тогда |a−b| = |a−xn +xn −b| 6 |a−xn |+|xn −b| < ε+ε = 2ε =,32т.е. |a − b| < |a − b| — противоречие. Теорема доказана.3Выше мы рассматривали ограниченные числовые функции.

Напомним соответствующие понятия применительно к последовательностям (которые являются функциями натурального аргумента). Последовательность {xn } называется ограниченной снизу, еслисуществует число c1 такое, что xn > c1 при всех n = 1, 2, . . . . Последовательность{xn } называется ограниченной сверху, если существует число c2 такое, что xn 6 c2при всех n = 1, 2, . . . . Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной. Пользуясь тем, что неравенство |xn | 6 c равносильно двойномунеравенству −c 6 xn 6 c, нетрудно проверить, что последовательность {xn } ограниченатогда и только тогда, когда последовательность {|xn |} ограничена сверху.

Последнее замечание относится и к произвольным числовым функциям: ограниченность функции f (x)на некотором множестве равносильна ограниченности сверху функции |f (x)| на этом множестве.Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаясяпоследовательность ограничена.Доказательство. Пусть {xn } сходится, и пусть a = lim xn .