Условия Домашнего задания по теории вероятностей для ИБМ, 3-й сем

Условия Домашнего задания по теории вероятностей, для ИБМ, 3-й сем.Часть 1 (к модулю 1 «случайные события»)Задача 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. В вариантах 1-10найти вероятность того, что сумма выпавших очков: (а) равна k ; (б) меньше k  1;(в) больше k  1 ; (г) заключена в промежутке  ;   . В вариантах 11-30 найтивероятность того, что произведение выпавших очков: (а) равно k ; (б) меньше k  1;(в) больше k  1 ; (г) заключено в промежутке  ;   .Задача 2. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждаяможет поступить в любой момент времени в течение Т минут.

Время обслуживанияпервой заявки  1 минут, второй –  2 минут. При поступлении заявки на занятоеустройство она не принимается. При поступлении заявки на свободное устройстводаже в последний момент времени Т , она обслуживается. Найти вероятность того,что: (а) обе заявки будут обслужены; (б) будет обслужена ровно одна заявка.Задача 3. Задана структурная схема надежности системы, состоящей из пятиэлементов. Событие Аi – отказ i -го элемента за некоторый промежуток времени.Вероятности безотказной работы элементов заданы:( Ai )  0,95, i  1, 3, 5;( A j )  0,9, j  2, 4.Событие В состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемыйпромежуток времени (события Аi независимы в совокупности).

Требуется:(а) выразить событие В через Ai или Аi ( i =1, 2, 3, 4, 5); (б) найти вероятность ( B )безотказной работы системы.Задача 4. Из партии, содержащей n изделий, среди которых k – высшего сорта, дляконтроля последовательно выбирают наугад m изделий. Найти вероятность того, чтосреди выбранных изделий окажется ровно  изделий высшего сорта при условии,что выборка производится: (а) с возвращением (выбранное изделие после проверкивозвращается обратно в партию); (б) без возвращения (выбранное изделие в партиюне возвращается).Задача 5.

На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. Наi -ом станке изготовлено Ri % деталей ( i  1, 2, 3 ). Вероятность выпускабракованных деталей на i -м станке равна Pi (i  1, 2, 3) .(а) Определить вероятность того, что деталь, наудачу взятая со склада, оказаласьбракованной. (б) Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятностьтого, что она изготовлена на j-м станке.Задача 6. В отдел технического контроля поступает партия, содержащаяN изделий, среди которых имеется M бракованных. Контролер для контроляотбирает три изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак свероятностью Р. Партия бракуется, если среди трех отобранных для проверкиизделий обнаружено хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, чтоданная партия изделий будут забракована.Часть 2 (к модулю 2 «случайные величины»)Задача 7.

Произведено n независимых выстрелов по мишени с вероятностьюпопадания p . Пусть случайная величина  – число попаданий в цель. Дляслучайной величины  найти: (а) распределение вероятностей; (б) функциюраспределения и построить ее график; (в) вероятность попадания случайнойвеличины в интервал  ;   ; (г) математическое ожидание, дисперсию исреднеквадратическое отклонение.Задача 8. Непрерывная случайная величина  имеет плотность распределениявероятностей f ( x ) (см. таблицу ниже). Для случайной величины  : (а) найти еефункцию распределения F ( x ) ; (б) построить графики функции распределения F ( x )и плотности распределения вероятностей f ( x ) ; (в) найти вероятность попаданияслучайной величины в интервал  ;   ; (г) найти математическое ожидание,дисперсию и среднеквадратическое отклонение.Варианты 1 – 10Варианты 11 – 20Варианты 21 – 30Гамма- распределениеЭкспоненциальное(  3 )Распределение Лапласараспределение1  x 1 3 2  x  x,    x  f ( x )   e , x  0 f ( x )   2  x e , x  0 f ( x )  2 ex0x0 0, 0,Задача 9.

Плотность распределения вероятностей случайной величины  имеет видk x, x  [0; c]f ( x)  . Случайная величина  связана со случайной величиной  0, x  [0; c ]функциональнойзависимостью  a 2  b . Найти: (а) константуk;(б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины  , используяплотность распределения вероятностей случайной величины  ; (в) функциюраспределения и плотность распределения вероятностей случайной величины  ипостроить их графики; (г) математическое ожидание и дисперсию случайнойвеличины  , используя найденную плотность распределения вероятностей.Задача 10. Дана система двух дискретных случайных величин  ,  , законраспределения которой задан таблицей pij     xi ,   y j , i  1, 2, 3; j  1, 2, 3, 4. ,гдеx1  2, x2  3, x3  5, y1   1, y2  0, y3  1, y4  2 .Найти:(а)законыраспределения случайных величин  и  ; (б) математические ожидания и дисперсиислучайных величин  и  ; (в) коэффициент корреляции r ; (г) условныераспределения   xi y2  и  y j x2 ; (д) условные математические ожидания  y 2  ,  x2  .Задача 11.

Система непрерывных случайных величин  ,   распределенаравномерно в области D , расположенной в полуплоскости  и ограниченнойлиниями x  a , y  b, y   x . Найти: (а) совместную плотность распределенияf ( x , y ) , предварительно построив область D ; (б) плотности вероятности случайныхвеличин  и  ; (в) математические ожидания и дисперсии случайных величин  и ; (г) коэффициент корреляции r ; (д) условные плотности распределения f  x y иf  y x  ; (е) условные математические ожидания   y  и   x  ;(ж) уравнения линий регрессии и построить их графики.Задача 12. (а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины  a  b  c , где  ,  – система случайных величин из задачи 11;(б) Найти функцию распределения, плотность распределения и математическоеожидание площади прямоугольника с вершинами в точках (0,0), (0, ), (  ,0), (  , ),где  ,  – система случайных величин из задачи 11.Варианты Домашнего задания по теории вероятностейТаблицы к задачам 1, 2, 4 и 7Задача 1Задача 2Задача 4Задача 7Вар№kT12nkmlnp12345678910111213141516171819202122232425262728293034567891021145678910111213141516171819202124254232333498425810203021152019242821171522101236576548712121081712132835261823242831362219281518810010010010010010010010010010015015015015015015015015015015020020020020020020020020020020055555101010101015151515152020202020252525252530303030305101520251015202530152025303520253035402530354045303540455012121212121212121212121212121212121212121212121212121212121266667777788889910666777788889996666666666666666555555555555555432543215432544432432143214324444444455555555566666666633330,20,30,40,50,60,70,80,90,10,20,30,40,50,60,70,80,90,10,20,30,40,50,60,70,80,90,10,20,30,5-10,51,51,50,51,3210,5-10,50,51,50,51,321321,51240,5-1-200,5-120,532,53223,5340,532,53223,53464677343231,54Схемы к задаче 3Таблицы к задачам 5, 6 и 9Задача 5Задача 6Задача 9Вар.№R1R2R3P1P2P3jNMPabc1234567891011121314151617181920212223242526272829301030103060602020353545452525404035354040151545451010555535353010606010303545204520354035352540251545404515405535103510556060301030104535452035203540253525404515454040153555351055100,010,010,020,030,020,010,010,020,030,020,020,030,030,050,050,020,030,030,030,050,050,030,040,040,010,040,010,040,010,040,020,040,040,010,050,030,030,030,050,010,030,010,040,010,010,010,010,040,020,030,020,020,010,020,030,030,050,030,050,030,030,030,030,050,010,020,040,040,030,050,010,040,020,030,020,030,020,010,040,010,010,010,030,030,050,020,030,020,020,021231231231231231231231231231232020201616161515151818181717172525252424242222222121212323236544566545644567658645547657650,850,900,950,850,900,950,850,900,950,850,900,950,850,900,950,850,900,950,850,900,950,850,900,950,850,900,950,850,900,9542153242153242153242153242153252–643–534–425–3–1–11–2–22–3–33–4–44–4–5–6600123123123123123123123123123123Таблицы к задачам 8, 11 и 12Вар.№123456789101112131415161718192021222324252627282930Задача 80,50,40,30,20,10,60,70,80,911231231231123123123111234111112111111212–2–1–1–1–2–1–1–1–2–2Задача 113467124354354545455641112121212a111111110000000–1–1–1–1–1–1–1–10000000b000000002222–2–2–2000000002222–2–2–2121231212312123121212123121231212312122222–2–2–2–32222–2–2–22222–2–2–2–22222–2–2–2x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0Задача 12abc2–712–6–12–522–4–22–33–27–3–264–25–4–245–23–53–663–5–63–47–7333–28–36–8–357–34–7–336–32–64–554–4–54–344–2–44–13–45–3–442–43–2–421–41–1Таблица к задаче 10Задача 10Вар.№p11p12p13p14p21p22p23p24p31p32p33p341234567891011121314151617181920212223242526272829300,050000,180,050,0500,0400,040,150,0750,060,030,090,0150,020,0300,060,120,0500,080,080,100,180,0500,100,0800,180,060,150,1200,100,120,100,060,050,0750,060,040,120,0350,030,0450,0450,100,080,180,040,0500,120,040,0500,120,180,100,050,080,100,080,180,060,120,020,100,060,040,010,030,0250,070,1050,0750,180,120,060,100,1000,150,060,100,120,100,1000,100,1000,1800,100,100,080,200,090,040,020,060,0250,080,1200,1200,080,100,120,050,120,060,100,150,040,060,100,060,150,180,040,040,120,150,0800,100,060,0750,060,090,090,0450,070,0500,04000,120,120,040,180,040,120,1000,000,150,120,150,120,150,040,040,050,060,150,020,0750,060,120,120,1050,1050,0750,03000,050,180,120,120,080,080,180,180,000,120,040,080,120,080,100,120,120,040,050,040,060,040,030,030,0750,2450,1750,050,150,1800,100,150,150,050,120,100,100,180,040,060,1000,100,060,0600,050,200,080,090,040,060,060,0750,280,2000,080,100,060,100,150,060,100,120,100,150,120,040,120,100,040,0600,100,100,100,180,060,090,100,180,180,120,090,0100,020,1000,040,150,1500,100,0400,1000,050,060,100,050,120,050,180,150,080,180,150,090,030,100,180,240,160,210,0150,030,0750,060,120,040,120,180,08000,080,180,150,050,080,120,100,0600,0500,120,030,060,080,120,060,040,150,0350,070,1250,120,100,100,0600,050,0600,060,040,120,080,12000,120,120,120,150,080,120,120,120,120,120,080,150,0400,080,2000,050,040,08000,120,100,180,120,15.