1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (А.А. Васильев, А.П. Ершов - Общая физика. Курс лекций)

ОБЩАЯ ФИЗИКАКурс лекций для ММФА.А. Васильев, А. П. Ершов2 семестрВОЛНЫ. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА16 марта 2007 г.В этой части курса мы попробуем понять, как устроены окружающие нас предметы. Понаслышке все мы знаем, что все сделано из атомов, кроме света, сделанного изфотонов. Но что такое атомы, пока не ясно.Когда-то существование атомов нужно было доказывать. Сейчас каждый слышитпро атомы почти с рождения. Это словно бы и неплохо, но все имеет свои теневые стороны. Привыкнув к идее атома, труднее сформулировать для себя вопрос: почему атомыименно такие? На самом грубом уровне просматривается загадка атомного масштаба1 Å, или 10−8 см. Чем определяется этот размер? Почему бы, например, электрону нелетать раз в сто ближе к ядру (или вообще во сколько угодно раз ближе)?В англоязычных странах популярен отрывок из «Рапсодии» Дж.

Свифта:So, naturalists observe, a fleaHas smaller fleas that on him prey;And these have smaller still to bite ’em;And so proceed ad infinitum.т.е. на блохах живут более мелкие блошки, на тех свои паразиты, еще меньше, и так далее до бесконечности. Цитируют эти стихи обыкновенно в глубокомысленном тоне и безкомментариев, как бы подразумевая, что умному достаточно.

Должно быть, тут отражено восхищение сложностью и неисчерпаемостью мироздания. Эта-то идея бесконечного ряда матрешек и оказалась неверна1 . Действительно, блохи страдают от паразитов:клещей, червей, бактерий. Современный микроскоп показывает душераздирающие картины, например, кишечник блохи, паразитирующей на грызунах, полностью забитыйпалочками чумы2 . «Червь, терзающий блоху, сам может быть поражен клещом, в своюочередь зараженным жгутиковыми, в клетках которых живет болезнетворный вирус».Но это и все: никакой организм не может быть меньше, скажем, ста атомных размеров.Прогрессия масштабов быстро доходит до предела, раз всякий паразит значительноменьше хозяина.

Всего есть шесть уровней, считая человека, а вовсе не бесконечность3 .Если подумать, то это гораздо интереснее, чем примитивная («дурная») бесконечная иерархия уровней. Мы увидим, что с уменьшением масштаба возникает совершенноновая физика, которую мудрецы прошлого и вообразить не могли.Это – волновая физика. Атомы такие, как они есть, потому, что они построены изопределенных типов волн и сами тоже являются волнами.

По сравнению со всем, чтоу нас было раньше, это – страна чудес. Для того, чтобы их понять, следует начать собщих закономерностей волновых процессов.1На русском языке близким эквивалентом культурной ситуации является стихотворение Пушкина«Движенья нет, сказал мудрец брадатый...».2Rotshild M., Shlein Y., Ito S. A colour atlas or insect tissues via the flea. Science Book, N.Y., 1986. См.резюме: В мире науки (Scientific American), 1987, №1.3Свифт вообще живо интересовался масштабным фактором, вспомним его лилипутов и великанов.Ряд интересных подробностей см.

в: Н. Винер. Я – математик. РХД, Москва – Ижевск, 2001, стр. 84.Глава 1ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКАВ этой главе мы рассмотрим основные характеристики волн. Хотя бо́льшая часть выводов имеет общий характер и применима ко всем волнам, чаще всего мы будем иллюстрировать изложение примерами из оптики.

Как видимый свет мы воспринимаемдовольно узкую часть известного диапазона длин волн, приблизительно от 4 · 10−5 до7 · 10−5 см. Практическая важность этой малой доли спектра электромагнитных волн– именно в том, что на нее настроено наше зрение.1.1Волны. Основные параметры. Сложение волн.Плоская волна есть решение волнового уравнения1 ∂2F∂2F=.∂x2c2 ∂t2Из курса математической физики известно, что общее решение описывается выражением F = f (x − ct) + g(x + ct) . Функции f и g в принципе произвольны (на практике естьограничения), и могут выражать распределение давления (звук), высоты поверхности(морские волны), электрического или магнитного полей (свет).

При x = ct + constвеличина f (x − ct) постоянна: это состояние переносится со скоростью волны c вправо.Волна, двигающаяся влево, описывается зависимостью g(x + ct) .В пространстве волновое уравнение имеет вид∆F =1 ∂2F.c2 ∂t2Его решение можно представить в виде набора всевозможных плоских волн:F =fn ((nr) − ct) ,nгде n – единичный вектор в направлении распространения элементарной волны, формакоторой задается функцией fn .1.1. Волны.

Основные параметры. Сложение волн.3Важен случай синусоидальных, или монохроматических волн, например:f = A · cos(k(x − ct) − ϕ) .Здесь A – амплитуда волны. Аргумент косинуса называется фазой волны, а постоянная ϕ – начальной фазой. Подбирая ϕ, можно получить чистый косинус или чистыйсинус более простого аргумента k(x − ct), а в общем случае выходит их смесь:f = A · (cos(k(x − ct)) cos ϕ + sin(k(x − ct)) sin ϕ) = B1 · cos(k(x − ct)) + B2 · sin(k(x − ct)) .Волновое число k имеет размерность 1/см.

В пространстве вводят волновой вектор kвдоль направления распространения волны и пишут (kr) вместо kx . Длина волны λесть интервал, на котором значение функции повторяется: kλ = 2π; k = 2π/λ . Волназаметно меняется на размере 1/k = λ/2π . Сама длина волны слишком велика, чтобыслужить характерным масштабом: на ней существенное изменение функции происходитне менее 4 раз (а точнее, λ отличается от 1/k коэффициентом 6,28...).Другая запись: f = A · cos(kx − ωt − ϕ) , где ω = ck . Величина ω называется частотой волны. Если период волны T , то ωT = 2π; ω = 2π/T .

За время 1/ω = T /6,28 вданной точке пространства будут происходить заметные изменения. В XIX веке пользовались частотой ν = ω/2π = 1/T (число колебаний в секунду), а ω, под именемкруговой частоты, встречалась реже. Теперь больше употребляется ω, как более удобная и лучше определяющая временны́е характеристики. Для сравнения можно сказать,что k – это как бы пространственная частота, а λ – пространственный период.Частота (и соответствующая длина волны) определяют цвет, почему волну с определенной частотой и называют монохроматической (греч.: одноцветной). Например, зеленый свет с длиной волны λ = 5,5 · 10−5 см имеет частоту ω = 2πc/λ ≈ 3,4 · 1015 1/с,период T = λ/c = 1,8 · 10−15 с и характерное время 1/ω ≈ 3 · 10−16 с.Скорость c = ω/k называется фазовой.

С этой скоростью передвигаются гребнии нули синусоиды, то есть точки, в которых фаза косинуса постоянна.Сложением двух встречных волн получаем стоячую волну:A · cos(kx − ωt) + A · cos(kx + ωt) = 2A · cos(kx) · cos(ωt) .Хотя в каждой точке происходят колебания, они никуда не распространяются. Нули(узлы) и максимумы (пучности) не передвигаются, а стоят на месте. Обычно вторуюволну получают отражением. Хорошие стоячие двумерные волны можно наблюдать впрямоугольной ванночке с водой, если ее потрясти1 .Для отдельной монохроматической волны нельзя указать ее определенного положения: она присутствует во всем пространстве.

Теперь сложим две близкие волны, укоторых есть малые отличия волновых векторов (2δk) и частот (2δω):A · cos((k − δk)x − (ω − δω)t) + A · cos((k + δk)x − (ω + δω)t) =1Например, годится емкость для овощей из холодильника.Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА4= 2A · cos(δk · x − δω · t) · cos(kx − ωt) .Получаем (рис. 1.1) «основную» волну (второй cos) c медленно меняющейся (на размереРис. 1.1.Рис. 1.2.∼ 1/δk ) амплитудой: (первый cos).

На расстоянии π/(2δk) от максимума накапливается разность фаз двух исходных волн, равная π , и составляющие гасят друг друга. Наеще бо́льших расстояниях фазовый сдвиг приближается к 2π и амплитуда опять растет,и т.д. Получается множество областей, в которых волны складываются, разделенныхучастками нулей, где происходит взаимное гашение. Заметим, что области большой амплитуды перемещаются со скоростью δω/δk .

Такая волна локализована в пространствеуже несколько лучше монохроматической. Это достигнуто ценой небольшого нарушения монохроматичности: исходная пара волн имела слегка различные часто́ты.Из большого количества почти одинаковых волн, у которых k немного (в пределахδk) отличаются, можно собрать волновой пакет, или цуг волн (рис. 1.2), у которого амплитуда огибающей практически нулевая (точнее, быстро убывает) вне областиразмера ∼ 1/δk . При малом δk в таком пакете много (∼ k/δk) гребней, и он распространяется подобно частице. Можно с точностью до размера 1/δk говорить о егоположении в пространстве. Скорость перемещения пакета – это скорость его огибающей: cg = δω/δk = dω/dk.Эта групповая скорость может отличаться от фазовой.

Например, для волн на√глубокой воде ω ∼= gk; c = g/k , а cg = dω/dk = (1/2) · g/k . Мы будем видетьэту группу (то есть ее медленную огибающую) распространяющейся со скоростью cg .Отдельные же гребни будут вылезать из хвоста пакета, достигать максимума в егосередине, а затем уменьшаться и пропадать в передней части, двигаясь со скоростью c,вдвое большей. Бывает, что cg > c , и даже возможны разные знаки этих скоростей.Смысл различия в том, что волне нельзя приписать единственной «правильной»скорости, как какой-нибудь материальной точке. Известна аналогия с облаком (Л.И.Мандельштам): капли воды обычно падают вниз, а граница облака может перемещатьсяи вверх при испарении этих капель; что такое скорость облака, не ясно.

Сидя в лодке,1.2. Интенсивность. Интерференция. Принцип Гюйгенса5раскачиваемой набегающими волнами, мы интересуемся фазовой скороcтью, а ожидаяприхода на берег волн от катера, надо прикинуть групповую скорость. С групповойскоростью переносится информация и энергия (кроме патологических случаев).К счастью, в акустике и оптике обычно выполняется линейный закон дисперсии:ω = ck при фиксированной c. Тогда cg = c : групповая и фазовая скорости совпадают.Отклонения возможны, когда ω близка к частотам внутренних процессов в среде.Задача. Сложить бесконечное число волн одинаковой амплитуды, волновые векторы которых находятся в интервале k0 −δk . .