PFA lection 9 (А.С. Терсенов - Лекции (2021г))

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра прикладной математикиКурс лекций по прикладномуфункциональному анализу. ЛЕКЦИЯ 9А.С. Терсеновв рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на2009-2018 г.2017Существование и единственность отображения двойственности.Теорема о существовании и единственности отображениядвойственности.Пусть V — банахово пространство,Φ : R+ 7−→ R+— непрерывная, строго возрастающая функция такая, чтоΦ(0) = 0,Φ(r ) −→ ∞ при r → ∞.Тогда(i) существует отображение двойственности J относительно Φ,(ii) это отображение единственно, если пространство V ∗ выпукло.Существование и единственность отображения двойственности.Доказательство теоремы существования и единственностиДоказательство.

(i) Пусть S — единичная сфера в V . По теореме о существовании нетривиальных линейных функционаловимеем, что∀u ∈ S∃u ∗ ∈ V ∗ : ||u ∗ ||V ∗ = 1,hu ∗ , ui = 1.Определим оператор J : V 7−→ V ∗ следующим образомwJ(w ) = J||w ||V = Φ(||w ||V )u ∗ ∀ w ∈ V .||w ||VЗдесь u ∗ выбирается по векторуwu ,||w ||V∗w||w ||V= 1,∈ S, т.е.||u ∗ ||V ∗ = 1.Существование и единственность отображения двойственности.Доказательство теоремы существования и единственностиДокажем, что J(w ) является отображением двойственностиотносительно Φ.

Действительно,hJ(w ), w i = Φ(||w ||V )hu ∗ , w i =w∗Φ(||w ||V ) u ,||w ||V = Φ(||w ||V )||w ||V .||w ||VИз того, что J(w ) = Φ(||w ||V )u ∗ следует, что||J(w )||V ∗ = Φ(||w ||V )||u ∗ ||V ∗ = Φ(||w ||V )=⇒J(w ) — отображение двойственности относительно Φ.(ii) Докажем теперь единственность этого отображение приусловии строгой выпуклости пространства V ∗ .Существование и единственность отображения двойственности.Доказательство теоремы существования и единственностиПредположим, что существуют два различных отображениядвойственности J1 (w ) и J2 (w ), соответствующие функции Φ.Из определения отображения двойственности следует||J1 (w )||V ∗ = ||J2 (w )||V ∗ = Φ(||w ||V ) ∀ w ∈ V .(1)Для произвольного λ ∈ [0, 1] и для любого w ∈ V верно:hλJ1 (w ), w i + h(1 − λ)J2 (w ), w i =λ||J1 (w )||V ∗ ||w ||V + (1 − λ)||J2 (w )||V ∗ ||w ||V = (1) =[λΦ(||w ||V ) + (1 − λ)Φ(||w ||V )] ||w ||V = Φ(||w ||V )||w ||V .

(2)С другой стороны имеет место неравенство ∀ v ∈ VhλJ1 (w ), v i + h(1 − λ)J2 (w ), v i ≤ λ||J1 (w )||V ∗ ||v ||V +(1 − λ)||J2 (w )||V ∗ )||v ||V = (1) = Φ(||w ||V )||v ||V .(3)Существование и единственность отображения двойственности.Доказательство теоремы существования и единственностиИз (??), (??) следует, что||λJ1 (w ) + (1 − λ)J2 (w )||V ∗ = Φ(||w ||V ) ∀ λ ∈ [0, 1].(4)Условия теоремы предполагают выпуклость пространства V ∗ .Используя ее, получаемΦ(||w ||V ) = (4) = ||λJ1 (w ) + (1 − λ)J2 (w )||V ∗ <λ||J1 (w )||V ∗ + (1 − λ)||J2 (w )||V ∗ = (1) = Φ(||w ||V ).Из полученного противоречия следует утверждение теоремы оединственности отображения двойственности.

Замечание. Из (??) и (??) вытекает, что множествоотображений двойственности относительно некоторойфиксированной Φ является выпуклым.Свойства отображения двойственности.Лемма 9.1.Всякое отображение двойственности монотонно.Доказательство.hJ(u)−J(v ), u −v i = hJ(u), ui+hJ(v ), v i−hJ(u), v i−hJ(v ), ui =||J(u)||V ∗ ||u||V + ||J(v )||V ∗ ||v ||V − hJ(u), v i − hJ(v ), ui.Заметим, чтоhJ(u), v i ≤ ||J(u)||V ∗ ||v ||V ,hJ(v ), ui ≤ ||J(v )||V ∗ ||u||V=⇒hJ(u) − J(v ), u − v i ≥ ||J(u)||V ∗ ||u||V + ||J(v )||V ∗ ||v ||V −||J(u)||V ∗ ||v ||V − ||J(v )||V ∗ ||u||V .Свойства отображения двойственности.Доказательство Леммы 9.1Положим для удобства ||u|| = a, ||v || = b, тогдаhJ(u) − J(v ), u − v i ≥ Φ(a)a + Φ(b)b − Φ(a)b − Φ(b)a =(Φ(a) − Φ(b)) (a − b) ≥ 0,в силу того, что Φ возрастающая функция.Отсюда сразу вытекает, что J — монотонный оператор.Замечание. Можно доказать, что если пространство V строговыпукло, то оператор двойственности J — строго монотонный.Свойства отображения двойственности.Лемма 9.2.Пусть V — сепарабельное, рефлексивное банахово пространство, V ∗ — строго выпуклое сопряженное с ним.

Тогда отображение двойственности J относительно Φ семинепрерывно.Доказательство. По предыдущей теореме существует толькоодно отображение двойственности для заданной Φ, котороеопределяется конструкцией, описанной в этой же теореме.Пусть u, v ∈ V . Тогда для любого λ > 0 имеемJ(u + λv ) = Φ(||u + λv ||V )uλ∗ ,||uλ∗ ||V ∗ = 1.Очевидно, отображения λ 7−→ ||u + λv ||V и r 7−→ Φ(r )непрерывны, следовательно,Φ(||u + λv ||V ) −→ Φ(|u||V ) при λ → 0.(5)Свойства отображения двойственности.Доказательство Леммы 9.2Легко видеть, что для λ ∈ [0, 1]Φ(||u + λv ||V ) ≤ Φ(||u||V + ||v ||V ) ≤ C0 ,где C0 не зависит от λ.

Заметим, что||J(u + λv )||V ∗ = Φ(||u + λv ||V )||u ∗ ||V ∗ ≤ C0 ,следовательно по теореме Алаоглу имеем, что ∃ χu ∈ V ∗ ипоследовательность {λk } → 0 при k → ∞ такие, чтоJ(u + λk v ) −→ χu*-слабо при k → ∞.Соотношение (??) означает, что при u 6= 0u + λk vuJ(u + λk v ),−→ χu ,.||u + λk v ||V||u||V(6)(7)Свойства отображения двойственности.Доказательство Леммы 9.2С другой стороныu + λk v1J(u + λk v ),=Φ(||u+λk v ||V )||u+λk v ||V||u + λk v ||V||u + λk v ||V= Φ(||u + λk v ||V ) −→ Φ(||u||V ) при k → ∞.(8)Из (??), (??) вытекает, чтоhχu , ui = Φ(||u||V )||u||V .Оценим левую часть в (??)hχu , ui ≤ ||χu ||V ∗ ||u||Vи, учитывая (??), получаем Φ(||u||V ) ≤ ||χu ||V ∗ .Заметим, что {J(u + λk v )} слабо сходится к χu при k → ∞.(9)Свойства отображения двойственности.Доказательство Леммы 9.2Следовательно,||χu ||V ∗ ≤ lim inf ||J(u+λk v )||V ∗ = lim Φ(||u+λk v ||V ) = Φ(||u||V ),k→∞k→∞откуда ||χu ||V ∗ = Φ(||u||V ).

Таким образом, имеемhχu , ui = Φ(||u||V )||u||V ,||χu ||V ∗ = Φ(||u||V ),т.е. χu — отображение двойственности относительно Φ. В силуединственности такого отображения получаем χu = J(u), а значитJ(u + λv ) −→ J(u) λ → 0,т.е. оператор J(u) семинепрерывен.Теорема об обратимости отображения двойственности.Теорема об обратимости отображения двойственности.Пусть V — сепарабельное, рефлексивное банахово пространство, строго выпуклое вместе со своим сопряженным.

ПустьJ : V 7−→ V ∗— отображение двойственности относительно некоторой строговозрастающей функции Φ, удовлетворяющей условиямΦ(0) = 0,Φ(r ) → ∞ при r → ∞.Тогда для любого f ∈ V ∗ существует единственное решениеоператорного уравненияJ(u) = f .Теорема об обратимости отображения двойственности.Доказательство теоремы об обратимостиДоказательство.Из определения отображения двойственности имеемhJ(u), ui = ||J(u)||V ∗ ||u||V ,||J(u)||V ∗ = Φ(||u||V ),откуда сразу следует ограниченность J(u).ДалееhJ(u), ui= ||J(u)||V ∗ = Φ(||u||V ) −→ ∞,||u||V||u||V −→ ∞,в силу свойств функции Φ. Т.е. J – коэрцитивен.J(u) монотонен и семинепрерывен (по доказанному в Леммах 9.1, 9.2) =⇒ по теореме о разрешимости операторныхуравнений с монотонными операторами, ур-ние J(u) = fимеет по крайней мере одно решение.Теорема об обратимости отображения двойственности.Доказательство теоремы об обратимостиЗаметим, что равенство J(u) = J(v ) влечет за собойравенство Φ(||u||V ) = Φ(||v ||V ).Из строгой монотонности Φ =⇒ ||u||V = ||v ||V .Из теоремы существования и единственности решенияоператорного уравнения с монотонным оператором =⇒J(u) = f имеет единственное решение.Следствие.Пусть V — сепарабельное, рефлексивное банахово пространство, строго выпуклое вместе с V ∗ .

Пусть J : V 7−→ V ∗ — отображение двойственности относительно строго возрастающейфункции Φ, удовлетворяющей условиям Φ(0) = 0, Φ(r ) → ∞при r → ∞. Тогда J −1 : V ∗ 7−→ V , которое ∀ f ∈ V ∗ сопоставляет единственное решение уравнения J(u) = f , является отображением двойственности относительно функции Φ−1 ..