PFA lection 8 (А.С. Терсенов - Лекции (2021г))

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра прикладной математикиКурс лекций по прикладномуфункциональному анализу. ЛЕКЦИЯ 8А.С. Терсеновв рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на2009-2018 г.2017Перейдем к исследованию единственности операторного уравнения. Для начала, рассмотрим простой вариант теоремы единственности, который звучит следующим образом.Теорема единственности.Пусть A : V 7−→ V ∗ — строго монотонный оператор.

Тогдауравнение A(u) = f имеет не более одного решения.Доказательство. Пусть существует два решения u и v . Этозначит A(u) = f , A(v ) = f . ТогдаhA(u) − A(v ), u − v i = 0и, в силу строгой монотонности, это имеет место только приu = v. Перейдем теперь к более сильному варианту теоремы единственности, не предполагающей строгой монотонности.

Дляэтого введем несколько понятий, которые понадобятся нам вдальнейшем.Предварительные сведенияОпределение 8.1.Пространство V называется строго выпуклым, если для любыхu, v , u 6= λv , λ ∈ (0, 1) имеет место неравенство||λu + (1 − λ)v ||V < λ||u||V + (1 − λ)||v ||V .Определение 8.2.Пусть α ∈ R фиксировано, B — банахово пространство, g ∈ V ∗— фиксированный линейный функционал над V . МножествоS = {u ∈ V , hg , ui ≥ α}называется полупространством в V .Замкнутость этого множества очевидна, а выпуклость проверяется непосредственно.Теорема существования и единственности решенияоператорного уравнения.Пусть V — рефлексивное, сепарабельное банахово пространство.

A : V 7−→ V ∗ — ограниченный, семинепрерывный, монотонный и коэрцитивный оператор. Предположим, что пространство V — строго выпукло и справедливо следующее условие:из A(u) = A(v ) =⇒ ||u||V = ||v ||V .Тогда уравнение A(u) = f имеет единственное решение.Проведем доказательство в четыре этапа. На первых трех этапах мы докажем вспомогательные леммы, а четвертый этап будет заключаться в непосредственном доказательстве результата, сформулированного в теореме.I этап. Лемма о вариационном неравенстве. Лемма,связывающая решения операторного уравнения срешением некоторого неравенстваII этап. Свойство выпуклости и замкнутости решенийоператорного уравненияIII этап.

Доказательство принадлежности решенийнекоторой сфере.IV этап. Доказательство от противного при помощипредыдущих этапов.Доказательство теоремы существования и единственностиI этап. Лемма о вариационном неравенстве.Лемма о вариационном неравенстве.Элемент u ∈ V является решением операторного уравненияA(u) = f тогда и только тогда, когда он служит решениемвариационного неравенстваhA(v ) − f , v − ui ≥ 0 ∀ v ∈ V .Необходимость. Если A(u) = f , то в силу монотонностиоператора A, мы имеемhA(v ) − f , v − ui = hA(v ) − A(u), v − ui ≥ 0.(1)Доказательство теоремы существования и единственностиДостаточность.

Пусть теперь имеет место (??). Положимv = u + λw , λ > 0, ∀ w ∈ V . ТогдаhA(u + λw ) − f , λw i ≥ 0 ∀ w ∈ V .Разделив на λ и переходя к пределу при λ → 0, получаемhA(u) − f , w i ≥ 0 ∀ w ∈ V .Откуда стандартно следует A(u) = f .Следующие леммы проясняют структуру множества решенийоператорного уравнения.Доказательство теоремы существования и единственностиII этап.Лемма 8.3.Множество решений операторного уравнения A(u) = f выпуклои замкнуто.Доказательство. ПустьE = {u ∈ V , A(u) = f }.Фиксируем v и определяемSv = {u ∈ V : hA(v ) − f , v − ui ≥ 0}.ПоложимS=\v ∈VSv = {u ∈ V , hA(v ) − f , v − ui ≥ 0, ∀ v ∈ V }.Доказательство теоремы существования и единственностиЛегко видеть, что таким образом определенное множество Sесть определение решения операторного уравнения черезвариационное неравенство (см.

лемму о вариационном неравенстве). Следовательно, E = S = ∩v ∈V Sv .Рассмотрим Sv при фиксированном v и обозначимA(v ) − f = g ∈ V ∗ ,v − u = w ∈ V.Тогда Sv примет видSv = {u ∈ V : hg , w i ≥ 0},т.е. Sv является полупространством, т.е. замкнутым, выпуклыммножеством.

Тогда и E также является замкнутым и выпуклымкак пересечение замкнутых и выпуклых множеств. Доказательство теоремы существования и единственностиIII этап.Лемма 8.4.Множество решений E уравнения A(u) = f принадлежит сфере{||u||V = ρ} с подходящим радиусом ρ.Доказательство. Если A(u) = A(v ) = f , тогда из условий теоремы немедленно вытекает ||u||V = ||v ||V = ρ(f ). IV этап. Пусть операторное уравнение A(u) = f допускает дварешения u1 и u2 .

Тогда из Леммы 8.3 =⇒w = λu1 + (1 − λ)u2 ∈ E ,λ ∈ [0, 1],Из леммы 8.4 вытекает, что ||u1 ||V = ||u2 ||V = ||w ||V = ρ. Всилу строгой выпуклости пространства B, имеемρ = ||w ||V = ||λu1 + (1 − λ)u2 ||V < λ||u1 ||V + (1 − λ)||u2 ||V = ρ.Откуда и вытекает утверждение теоремы. .Свойства отображения двойственности.Пусть V — банахово пространство, V ∗ — сопряженное с V ,Φ : R+ 7−→ R+ — непрерывная, строго возрастающая функциятакая, что Φ(0) = 0, Φ(r ) −→ ∞ при r → ∞.Определение 8.5.Отображение J : V 7−→ V ∗ называется отображением двойственности относительно Φ, если выполнены следующие соотношенияhJ(u), ui = ||J(u)||V ∗ ||u||V∀u ∈ V,||J(u)||V ∗ = Φ(||u||V ) ∀ u ∈ V .(2)(3)Замечание.

Ясно, что это определение зависит от нормы, определенной в пространстве V .Свойства отображения двойственности.Пример. Пусть Ω — ограниченная область в Rn и1pZpV = Lp , ||u|| =  |u| dx  , Φ(r ) = r p−1 ,ΩZhJ(u), v i =|u|p−2 uvdx,∀ v ∈ Lp .ΩЗаметим, что|hJ(u), v i| ≤ ||J(u)||L∗p ||v ||Lp .ZhJ(u), ui = |u|p−2 u 2 dx = ||u||pLp = ||u||p−1Lp ||u||Lp .ΩИз (??), (??) вытекает, что||J(u)||L∗p = ||u||p−1Lp = Φ(||u||Lp ),=⇒ J — оператор двойственности относительно Φ.(4)(5)Свойства отображения двойственности.Пример.

Пусть V = W1,p (Ω), Ω — ограниченная в Rn область сгладкой границей. Классическая норма в W1,p (Ω) имеет вид1||u||W1,p (Ω) = X Zpαp|D u| dx  ,1 ≤ p < ∞.|α|≤1 ΩЭквивалентная ей норма может быть задана следующимобразом1||u||W1,p (Ω) = X Zpαp|D u| dx  ,1 ≤ p < ∞.|α|=1 Ω0 (Ω) — множество функций из W (Ω), которыеW1,p1,pобращаются в ноль на границе Ω. Они образуют замкнутоеподпространство в W1,p (Ω).Свойства отображения двойственности.Если положить Φ(r ) = r p−1 , то выбрав соответствующим обра0 (Ω), можно построитьзом норму в пространстве W1,pдвойственное отображение относительно Φ, которое имеет видhJ(u), v i =Z Xn|∇u|p−2 uxi vxi dx0∀ v ∈ W1,p(Ω).Ω i=1Это отображение мы будем использовать в дальнейшем приисследовании задачи Дирихле для одного уравнения математической физики, часто встречающего в прикладных задачах..