PFA lection 4 (А.С. Терсенов - Лекции (2021г))

Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра прикладной математикиКурс лекций по прикладномуфункциональному анализу. ЛЕКЦИЯ 4А.С. Терсеновв рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на2009-2018 г.2017Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Компактные множестваОпределение 4.1.Пусть B — нормированное пространство и K ⊂ B. МножествоK называется -сетью множества K , если ∀ x ∈ K ∃ x ∗ ∈ K ,такой что ||x − x ∗ || ≤ .Определение 4.2.Множество K называется вполне ограниченным, если ∀ > 0существует конечная -сеть K .Заметим, что если множество K вполне ограничено,тогдаSN∀ > 0 ∃ x1 , x2 , .

. . , xN ∈ K , такие, что K ⊂ k=1 B(xk , ),где B(xk , ) — открытые шары с центром в xk радиуса .Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Компактные множестваОпределение 4.3.Пусть B — нормированное пространство и K ⊂ B. Если излюбой последовательности {xn } ∈ K можно выделить сходящуюся в B подпоследовательность {xnk }, то K называют относительно компактным (предкомпактным) множеством.

Еслик тому же limk→∞ xnk = x ∈ K ∀ {xnk } ∈ K , то множество Kназывают компактным.Теорема 4.4. (Критерий компактности.)Следующие утверждения являются эквивалентными1. K ⊂ X — компактное множество,2. из любой последовательности {xn } ∈ K можно выделитьсходящуюся в K подпоследовательность {xnk },3. K ⊂ X замкнуто и вполне ограничено.Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Нелинейный проектор ШаудераПусть B — вещественное банахово пространство, K ⊂ B —компакт, а f (x) : K 7−→ K непрерывное отображение. Изкомпактности множества K вытекает его полная ограниченность.

Полная ограниченность предполагает существованиеконечной -сети для множества K , а значит ∀m ∈ N найдетсяконечное подмножество (конечная -сеть) {yl , l = 1, . . . , M(m)}такое, чтоM(m) [1K⊂B yl ,.ml=1Для каждого m определим функции 11mm − ||f (x) − yl ||, ||f (x) − yl || ≤ mβl (x) =10,||f (x) − yl || > m .Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Нелинейный проектор ШаудераЗаметим, что для любого x ∈ K существует по крайней мереодин номер l такой, что βlm (x) 6= 0. Действительно, если это нетак, тогда существует x ∗ ∈ K такой, что1||f (x ∗ ) − yl || ≥∀ l = 1, . . . , M(m), =⇒mM(m) [1∗=⇒ f (x ) ∈/B yl ,⊃ K =⇒ f (x ∗ ) ∈/ K.ml=1Определение 4.5.

(Проектор Шаудера)Отображение fm : K 7−→ span{yl , l = 1, . . . , M(m)}, где span —линейная оболочка, задаваемое формулойM(m)fm (x) =Xl=1βlm (x)yl −1M(m)Xβlm (x)l=1называется нелинейным проектором Шаудера.(1)Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Нелинейный проектор ШаудераСвойства проектора ШаудераСвойство непрерывностиM(m)fm =Xl=1M(m)βlm (x)yl X−1βlm (x)непрерывно на K .l=1Действительновсе βlm непрерывны и, следовательно, непрерывна любаяих конечная сумма,т.к.

для любого x ∈ K существует по крайней мере одинM(m)P mномер l такой, что βlm (x) 6= 0, мы имеемβl (x) > 0l=1=⇒ непрерывной функцией является частноенепрерывна и сама функция fm (x).βlm (x)ylM(m)P mβl (x)l=1=⇒Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Нелинейный проектор ШаудераСвойства проектора ШаудераСвойство аппроксимацииПоследовательность {fm } → f при m → ∞ равномерно на K .Действительно,−1 M(m)M(m)X X mm ≤||fm (x) − f (x)|| = βl (x)(yl − f (x))βl (x) l=1l=1M(m)XM(m)βlm (x)||yl − f (x)|| l=1так как если ||yl − f (x)|| ≥X−1βlm (x)l=11m,то βlm (x) = 0.≤1,mТеорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераПервая теорема Шаудера.

План доказательства.Построение проектора ШаудераСведение с помощью проектора Шаудера исходной задачик задаче нахождения неподвижных точек в конечномерномпространствеПрименение Теоремы Брауэра для проекторов ШаудераИспользование свойств проектора Шаудера дляпостроения неподвижной точки исходного отображенияпри помощи предельного перехода.Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераПервая теорема ШаудераПервая теорема Шаудера.Пусть B — вещественное банахово пространство, K ⊂ B —непустое компактное и выпуклое множество.

Пусть f : K 7−→ K— непрерывное отображение. Тогда найдется точка x0 такая,что f (x0 ) = x0 .Доказательство.Рассмотрим проектор ШаудераM(m)Pfm (x) =βlm (x)yll=1M(m)Pl=1,βlm (x)m ∈ N,x ∈ K.Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераПервая теорема ШаудераЛегко заметить, чтоM(m)fm (x) =βlm (x)Xl=1M(m)Pl=1βlm (x)M(m)yl ,гдеXl=1βlm (x)M(m)Pl=1=1βlm (x)и, следовательно,fm (x) : K 7−→ Km ,где Km — замкнутая выпуклая линейная оболочка множества {yl , l = 1, .

. . , M(m)}.Заметим, что так как K выпукло, то Km ⊂ K .Это вытекает из определения замкнутой выпуклой оболочки как наименьшего из всех замкнутых выпуклыхмножеств, содержащих данное множество, а{yl , l = 1, . . . , M(m)} ⊂ K .Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераПервая теорема ШаудераРассмотрим сужение fm (x) на множество Km .Имеем, что непрерывное отображениеfm (x) : Km 7−→ Kmпереводит непустое компактное выпуклое множество конечномерного пространства span{yl , l = 1, . . . , M(m)} всебя.Всякое конечномерное пространство изоморфно пространству Rn и, следовательно, по теореме Брауэрасуществует xm ∈ Km ⊂ K такая, что fxm (xm ) = xm .Так как K является компактом, то последовательность{xm } содержит сходящуюся подпоследовательностьxmj → x0 ∈ Kпри j → ∞.Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераПервая теорема ШаудераЗаметим, что||f (x0 ) − x0 || ≤||f (x0 ) − f (xmj )|| + ||f (xmj ) − fmj (xmj )|| + ||fmj (xmj ) − x0 || =||f (x0 ) − f (xmj )|| + ||f (xmj ) − fmj (xmj )||+||xmj − x0 ||.Первая норма может быть сделана сколь угодно маленькой, в силу того, что f — непрерывное отображение.Вторая норма может быть сделана сколь угодно маленькой, в силу того, что fmj → f при j → ∞ равномерно по x(см.

свойство проекторов Шаудера).Третья норма может быть сделана сколь угодно маленькой, в силу того, что xmj → x0 ∈ K при j → ∞.Отсюда сразу вытекает, что f (x0 ) = x0 . Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераВторая теорема ШаудераОпределение 4.6.Оператор U действующий из одного нормированногопространства X в другое нормированное пространство Yназывается компактным, если он преобразует каждоемножество, ограниченное в X , в множество предкомпактное вY.Определение 4.7.Если компактный оператор U еще к тому же и непрерывен, тоон называется вполне непрерывным.Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераВторая теорема ШаудераПервая теорема Шаудера.Пусть B — вещественное банахово пространство, K ⊂ B —непустое компактное и выпуклое множество.

Пусть f : K 7−→ K— непрерывное отображение. Тогда найдется точка x0 такая,что f (x0 ) = x0 .Вторая теорема Шаудера.Пусть B — вещественное банахово пространство, K ⊂ B —непустое замкнутое ограниченное и выпуклое множество. Пустьf : K 7−→ K — вполне непрерывное отображение. Тогда найдется точка x0 такая, что f (x0 ) = x0 .Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераВторая теорема Шаудера. План доказательстваИспользуя вполне непрерывность отображения f , доказываем компактность выпуклой оболочки множества f (K )Рассматриваем отображение f как отображениеf : Co(f (K )) 7−→ Co(f (K ))Применяем первую Теорему ШаудераТеорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераВторая теорема Шаудера. ДоказательствоИз того, что f (K ) ⊂ K и K — замкнутое множество =⇒ f (K )предкомпактно =⇒ f (K ) компактно.

Рассмотрим Co(f (K )) —замкнутую выпуклую оболочку множества f (K ). Покажем, чтоCo(f (K )) есть компакт.Рассмотрим последовательность точек {zn } ⊂ Co(f (K )).Для любого n можно записать(1)(2)zn = λn xn + (1 − λ)xn ,λn ∈ [0, 1],(1)(2)xn , xn∈ f (K ).Отрезок [0, 1] и множество f (K ) компактны в R и B =⇒ ∃подпоследовательность {nk } такая, чтоλnk −→ λ ∈ [0, 1],(1)xnk −→ x (1) ,(2)xnk −→ x (2)k −→ ∞.Следовательно,znk −→ λx (1) + (1 − λ)x (2) ∈ Co(f (K )) при k −→ ∞.Откуда вытекает, что Co(f (K )) является компактом.Теорема Шаудэра о неподвижной точке.Теоремы ШаудераВторая теорема Шаудера. ДоказательствоИз того, что f (K ) ⊂ K и K — выпуклое множество =⇒Co(f (K )) ⊂ K .

Рассмотрев сужение f на множество Co(f (K )),получаем, что f : Co(f (K )) 7−→ Co(f (K )) — непрерывное отображение, переводящее выпуклый компакт в себя =⇒ по первой теореме Шаудера имеет неподвижную точкуx0 ∈ Co(f (K )) ⊂ K .Следствие из теоремы Шаудера.Пусть K — замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве B и f : K 7−→ K — непрерывное отображение такое,что f (K ) является предкомпактным множеством. Тогда найдется точка x0 такая, что f (x0 ) = x0 .Замечание. Мы ничего не говорим об ограниченности множества K , но вместо этого требуем, чтобы f (K ) было предкомпактным..