PFA lection 2 (А.С. Терсенов - Лекции (2021г))

Теорема Брауэра о неподвижной точке.Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра прикладной математикиКурс лекций по прикладномуфункциональному анализу. ЛЕКЦИЯ 2А.С. Терсеновв рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на2009-2018 г.2017Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Вспомогательные сведенияОпределение 2.1.Функция f : Rn 7−→ Rn дифференцируема в точке a ∈ Rn , еслисуществует такое линейное отображение L : Rn 7−→ Rn , чтоlimh→0||f (a + h) − f (a) − L(h)||= 0,||h||h ∈ Rn .Линейное отображение L называется производной функцииf в точке a.

Если отображение L еще и непрерывно, то fназывается непрерывно дифференцируемой функцией.Если f : Rn 7−→ Rn непрерывное отображение, то прообразом любого открытого множества является открытое множество.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Вспомогательные сведенияПоложим f = (f1 (x), . . . , fn (x))T .

ТогдаL = f 0 (x) =∂f∂f,...,∂x1∂xn∂f1∂x1∂f1∂x2=  ······∂fn∂x1∂fn∂x2...···...∂f1∂xn··· .∂fn∂xnФункция f : Rn 7−→ Rn дифференцируема тогда и толькотогда, когда дифференцируема каждая координатнаяфункция fi (x) i = 1, . . . , n.Если функция f : Rn 7−→ Rn дифференцируема в точке a,∂fiтогда ∂x, i, j = 1, . . . , n существуют и f 0 (x) есть указаннаяjвыше матрица Якоби.Если f : Rn 7−→ Rn такова, что все частные производные∂fi∂xj , i, j = 1, .

. . , n существуют в окрестности точки a и непрерывны в a, тогда f дифференцируема в точке a.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Вспомогательные сведенияТеорема об обратной функции.Пусть f : Rn −→ Rn непрерывно дифференцируемая функцияна некотором открытом множестве, содержащем точку a иdet f 0 (a) 6= 0.Тогда существует открытое множество V ⊃ a и открытоемножество W ⊃ f (a) такие, что отображение f : V −→ W(i) имеет непрерывное обратное f −1 : W −→ V ,(ii) которое является непрерывно дифференцируемым(iii) и ∀ y ∈ W удовлетворяет соотношениям(f −1 )0 (y ) = [f 0 (f −1 (y ))]−1 .Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Вспомогательные сведенияТеорема о замене переменных в кратном интегралеПусть g : Ω 7−→ ∆, где Ω и ∆ открытые множества в Rn .

Предположим, что g взаимнооднозначное отображение класса C1 ,причем det g 0 (x) 6= 0, где g 0 матрица Якоби. Пусть A ⊂ Ω иB = g [A] ⊂ ∆. Пусть f (y ) — заданная на B измеримая функция. Тогда f суммируема на B тогда и только тогда, когдафункция f (g (x))|det g 0 (x)| суммируема на A. При этом имеетместо следующее равенствоZZf (y )dy =f (g (x))|det g 0 (x)|dx.BAВ частности, при f ≡ 1 будем иметьZµ(B) = µ(g [A]) =|det g 0 (x)|dx.AТеорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Определение 2.2.Пусть X — банахово пространство, A, B — замкнутые множества такие, что A ⊂ B ⊂ X . Множество A называется ретрактом множества B, если существует непрерывное отображение f : B 7−→ A, такое, что f (x) = x для всех x ∈ A.

Отображение f называется ретракцией B на A.Лемма 2.3. (О несуществовании гладкой ретракции.)Не существует отображения f ∈ C1 такого, чтоf : B(0, 1) 7−→ ∂B(0, 1)f (x) = x∀ x ∈ ∂B(0, 1),∂B(0, 1) = {x : ||x|| = 1}.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.План доказательства (от противного)Введение вспомогательной функцииft (x) = (1 − t)x + tf (x),t ∈ [0, 1]Свойства функции ft(i) ft : B(0, 1) 7−→ B(0, 1)(ii) ft (x) = x для ∀x ∈ ∂B(0, 1)(iii) ft – биективное отображениеОпределяем F (t) : [0, 1] 7−→ RZF (t) =det f0t (x)d xB(0,1)Доказываем, что F (t) ≡ F (1) > 0Используя тот факт, что f1 ≡ f осуществляет ретракцию,доказываем, что F (1) = 0, что противоречит F (1) > 0Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Доказательство леммыДоказательство будем вести от противного.

Предположим, чтосуществует такое отображение f : B(0, 1) 7−→ ∂B(0, 1).Положим для t ∈ [0, 1]ft (x) = (1 − t)x + tf (x) = x + tg (x),g (x) = f (x) − x.Заметим, что для x ∈ B(0, 1) выполняется||ft (x)|| ≤ (1 − t)||x|| + t||f (x)|| ≤ 1 =⇒ ft : B(0, 1) 7−→ B(0, 1).Для ∀ x ∈ ∂B(0, 1) имеемft (x) = (1 − t)x + tf (x) = (1 − t)x + tx = x,так как f (x) = x,следовательно, отображение ft (x) оставляет неподвижными всеточки единичной сферы.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Отображение f ∈ C1 , следовательно, и функция g обладает тойже гладкостью.

Из определения дифференцируемого отображения сразу вытекает, что существует постоянная C > 0 такая,что||g (x1 ) − g (x2 )|| ≤ C ||x1 − x2 || ∀ x1 , x2 ∈ B(0, 1).Предположим, что существуют точки x1 6= x2 ∈ B(0, 1) такие,что ft (x1 ) = ft (x2 ), тогдаx2 − x1 = ft (x2 ) − tg (x2 ) − ft (x1 ) + tg (x1 ) = t(g (x1 ) − g (x2 )),откуда сразу вытекает||x2 − x1 || = t||g (x1 ) − g (x2 )|| ≤ Ct||x2 − x1 ||.Так как мы предположили, что x1 6= x2 , следовательно, длятого, чтобы это неравенство имело место необходимо, чтобыCt ≥ 1.

Таким образом, если t < C1 , то отображение ft при этихзначениях t инъективно.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Положим Gt = ft [B(0, 1)]. Легко видеть, что якобиан ft можетбыть представлен следующим образомf0t (x) = I + tg 0 (x), I − единичная матрица в Rn .Заметим, что f0t (x)= I , а g 0 — матрица с элементами,t=00непрерывными по x. Следовательно, det ft (x)=1>0иt=0det f0t (x) — полиномом от t с непрерывными по x коэффициентами на B(0, 1), следовательно, существует такое t0∗ ∈ [0, 1],что det f0t (x) > 0 для всех t ∈ [0, t0∗ ] и всех x ∈ B(0, 1). Дляэтих значений t, в силу теоремы об обратном отображении, су1ществует f−1t ∈ C .

Отсюда вытекает, что Gt является открытым множеством на [0, t0∗ ] как прообраз открытого множества:B(0, 1) = f−1 [Gt ].Положим теперь t0 = min t0∗ , C1 , тогда при t ∈ [0, t0 ]ft — инъективно и Gt — открытое множество.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Докажем, что Gt = B(0, 1) ∀ t ∈ [0, t0 ].Предположим противное.Тогда граница ∂Gt множества Gt будет пересекать B(0, 1)в некоторой точке y0 ∈ ∂Gt , т.к. G t ⊂ B(0, 1), Gt 6= B(0, 1)по предположению.Т. к. y0 ∈ ∂Gt , =⇒ ∃ {yk } ∈ Gt −→ y0 при k → ∞.В силу того, что {yk } ∈ Gt и ft [B(0, 1)] = Gt , существует{xk } ∈ B(0, 1) такая, что ft (xk ) = yk .Т.

к. B(0, 1) компакт, ∃ x0 ∈ B(0, 1) такой, чтоlim xk = x0 .k→∞Из непрерывности ft (x) получаемlim ft (xk ) = ft (x0 ) = y0 .k→∞Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Т. к. Gt — открытое множество и y0 ∈ ∂Gt =⇒y0 ∈/ Gt = ft [B(0, 1)].Откуда сразу следует, что x0 ∈ B(0, 1) \ B(0, 1) = ∂B(0, 1).Но ∀ x0 ∈ ∂B(0, 1), в силу сделанных предположений,выполнено ft (x0 ) = x0 .Следовательно, x0 = y0 и, таким образом, y0 должно принадлежать единичной сфере, что противоречит нашемупредположению о том, что y0 ∈ B(0, 1).Таким образом ∀ t ∈ [0, t0 ] отображениеft : B(0, 1) 7−→ B(0, 1) биективно,ft [B(0, 1)] = B(0, 1).Кроме того, ∀ x ∈ ∂B(0, 1) мы имеем ft (x) = x.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Определим функцию F : [0, 1] 7−→ R следующим образомZF (t) =det(I + tg 0 (x))dx.B(0,1)det(I + tg 0 (x)) — полином от t =⇒ F (t) — полином.На [0, t0 ] функция ft : B(0, 1) 7−→ B(0, 1) — непрерывнодифференцируемая биекция =⇒ по теореме о заменепеременых в кратных интегралахZF (t) =det f0t (x)dx = µ(ft [B(0, 1)]) = µ(B(0, 1)) > 0.B(0,1)Таким образом, F (t) = const на [0, t0 ] =⇒ F (t) = const на[0, 1], т.к.

многочлен равный постоянной на отрезке, тождественно равен постоянной везде, где определен. Значит,F (1) = объем шара > 0, т.е.ZF (1) =det f01 (x)dx > 0.B(0,1)Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Заметим, чтоf1 (x) = f (x) ∈ ∂B(0, 1) ∀ x ∈ B(0, 1),т.к. f осуществляет ретракцию. Следовательно, ∀ x ∈ B(0, 1)(f1 (x), f1 (x)) = (f (x), f (x)) = ||f ||2 =nXfk2 ≡ 1.(1)Продифференцируем тождество (1) по xi , i = 1, . . . , n иполучимf1 f1xi + · · · fn fnxi ≡ 0, i = 1, .

. . , n.(2)k=1Легко видеть, что равенства (2) можно записать в видеf1x1 f2x1 · · · fnx1f1 f1x2 f2x2 · · · fnx2   f2  · · · · · · · · · · · ·   · · ·  = 0 ∀ x ∈ B(0, 1).f1xn f2xn · · · fnxnfn(3)Теорема Брауэра о неподвижной точке.Лемма о несуществовании гладкой ретракции.Учитывая тот факт, что ||f (x)|| =6 0, из (3) вытекает, чтоdet f 0 = 0 ∀ x ∈ B(0, 1).А из последнего соотношения следует, чтоZF (1) =det f01 (x)dx = 0,B(0,1)что противоречит предположению F (1) > 0 и =⇒ доказываетлемму.

Теорема Брауэра о неподвижной точке.Доказательство теоремы Брауэра в слабой форме.Формулировка теоремыПереходим теперь к доказательству теоремы Брауэра в слабойформе, где будет доказано существование неподвижной точки унепрерывного отображения, переводящего шар в шар.Теорема Брауэра в слабой форме.Пусть f ∈ C и f : B(0, 1) 7−→ B(0, 1). Тогда существует точкаx0 ∈ B(0, 1) такая, что f (x0 ) = x0 . Т.е. у любого непрерывногоотображения шара в себя существует неподвижная точка.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Доказательство теоремы Брауэра в слабой форме.План доказательства1) Доказательство существования неподвижных точек уфункций φm (x) ∈ C∞0 , таких, что φm ⇒ f .

Доказательствоосновано на лемме о несуществовании C1 ретракции.2) Доказательство существования неподвижной точки уфункции f с помощью предельного перехода.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Доказательство теоремы Брауэра в слабой форме.Доказательство теоремы Брауэра в слабой формеПусть f ∈ C и f : B(0, 1) 7−→ B(0, 1).Из леммы об аппроксимации вытекает, что существует последовательность бесконечно дифференцируемых функций{φm } : B(0, 1) 7−→ B(0, 1), равномерно сходящаяся наB(0, 1) к функции f (x).Докажем, что каждая из функций φm (x), m = 1, 2, . . .имеет неподвижную точку в B(0, 1).Рассмотрим φm (x) при некотором произвольном фиксированном m.

Предположим, что φm (x) 6= x ∀ x ∈ B(0, 1).Рассмотрим следующее отображение:ψm (x) : x 7−→ ψm (x) = точка пересечения луча, выходящего из φm (x), соединяющего φm (x) и x, со сферой ∂B(0, 1).Легко видеть, чтоψm (x) : B(0, 1) 7−→ ∂B(0, 1),ψm (x) = x∀ x ∈ ∂B(0, 1).Теорема Брауэра о неподвижной точке.Доказательство теоремы Брауэра в слабой форме.Таким образом, мы имеем, что ψm (x) является ретракциейшара на свою границу.Теперь надо показать, что функция ψm (x) ∈ C1 и воспользоваться леммой о не существовании C1 ретракции.Луч, выходящий из φm (x) и проходящий через точку x ,имеет вид L = {y (µ) = φm (x) + µ(x − φm (x)), µ ≥ 0}.Луч L пересекает сферу в точкеλ2 ||x − φm (x)||2 + 2λ(φm (x), x − φm (x))+||φm (x)||2 − 1 = 0.(4)Т.е.

относительно λ имеем квадратное уравнение с дискриминантомD = (φm (x), x − φm (x))2 + (1 − ||φm (x)||2 )||x − φm (x)||2 .||φm (x)||2 ≤ 1, следовательно D ≥ 0.Теорема Брауэра о неподвижной точке.Доказательство теоремы Брауэра в слабой форме.Рассмотрим положительные корни уравнения (4) какфункции от x:p−(φm (x), x − φm (x)) + D(x)λ(x) =.||x − φm (x)||2Функцию ψm (x) можно представить в видеψm (x) = φm (x) + λ(x)(x − φm (x)).Заметим, что x и φm (x) являются непрерывно дифференцируемыми функциями, следовательно, остается показать,что λ(x) также непрерывно дифференцируема.В силу предположения о том, что φm (x) не имеет неподвижных точек, заключаем, что знаменатель в определенииλ(x) не обращается в нуль.

Скалярное произведение(φm (x), x − φm (x)) непрерывно дифференцируемо и, следовательно, осталось показать, что дискриминант D(x) необращается в нуль..