PFA lection 10 (А.С. Терсенов - Лекции (2021г))

Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра прикладной математикиКурс лекций по прикладномуфункциональному анализу. ЛЕКЦИЯ 5А.С. Терсеновв рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на2009-2018 г.2017Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Постановка задачиВ ограниченной области Ω ⊂ Rn с гладкой границей ∂Ω требуется найти функцию u = u(x), удовлетворяющую нелинейномууравнению диффузии− div (|∇u(x)|p−2 ∇u(x)) = f (x),x ∈Ω(1)и краевому условиюu∂Ω= 0,(2)где 1 < p < ∞ — фиксированная постоянная, f = f (x) — заданная функция.

Развернутая запись (1) имеет вид p−2 2nnX ∂  X2uxi  = f (x).uxj−∂xii=1j=1Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Предварительные замечанияИнтерес к исследованию уравнений, содержащих операторp-лапласиана, обусловлен огромным количеством приложенийв различных областях механики.Они и их эволюционные аналоги широко применяются1при моделировании течения неньютоновских жидкостей(i) псевдопластичных (1 < p < 2)(ii) дилатантных (p > 2).2при моделировании течения жидкостей через пористыесреды3в теории нелинейной упругости4при обработке сигналов и изображений.Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Предварительные замечанияОпределение 10.1.Оператор∆p : u 7−→ div (|∇u|p−2 ∇u)называется p-лапласианом.Пусть V = W01,p (Ω).

Известно, что V ∗ = W −1,q (Ω), гдеpq = p−1. Для определенности положим p ≥ 2, тогдаLp ⊂ (Lp )∗ = Lq иW01,p ⊂ Lp ⊂ Lq ⊂ W −1,q ,Норма в W −1,q задается следующим образом||u||W −1,q (Ω) =sup||v ||W 1,p (Ω) =1{|hu, v i|, v ∈ W 1,p (Ω)}.Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Предварительные замечанияПеречислим некоторые свойства пространства W −1,q (Ω):1. W −1,q (Ω) — банахово пространство.2.

Если 1 < p < ∞, то W −1,q (Ω) — сепарабельное, рефлексивное банахово пространство.Дадим теперь характеристику пространства W −1,q (Ω). Пустьp ∈ (1, ∞), тогда u ∈ W −1,q (Ω) равносильно тому, что ∃ функции u0 , u1 , . . . , un из Lq такие, чтоu = u0 +nX(ui )xiв D 0 (Ω),i=1где D 0 (Ω) — пространство линейных функционалов над пространством D(Ω) — бесконечно дифференцируемых финитныхфункций.

Это представление для u не единственно.Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Предварительные замечанияЗаметим, что пространство D 0 (Ω) является пространствомобобщенных функций и производная от ui ∈ Lq понимается всмысле производной от обобщенной функции, т.е.∂ui , v = −hui , vxi i.∂xiТо есть, для u ∈ W −1,q (Ω) и v ∈ W01,p (Ω) имеемZhu, v i =u0 vdx +u0 vdx +i=1 ΩΩтак как ui v n ZX∂Ω= 0.(ui )xi vdx =Ω i=1ΩZZ XnZu0 vdx −vd(ui ) =Ωn ZXi=1 Ωui vxi dx,Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Корректность задачиОпределение 10.2.Функция u(x) называется обобщенным решением задачи (1),(2)−div (|∇u(x)|p−2 ∇u(x)) = f (x), x ∈ Ω(1)(2)u = 0,∂Ωгде f ∈W −1,q (Ω),(i) u ∈еслиW01,p (Ω).(ii) Для любого ϕ ∈ W01,p (Ω) выполняетсяZ|∇u|p−2 ∇u · ∇ϕdx = hf , ϕi.Ω(3)Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Корректность задачиДля ϕ ∈ W01,p (Ω) положим||ϕ||W 1,p (Ω) = ||∇ϕ||Lp (Ω) .(4)0|| · ||W 1,p (Ω) = || · || удовлетворяет всем аксиомам нормы.0Действительно,||ϕ1 + ϕ2 || ≤ ||ϕ1 || + ||ϕ2 ||, ||λϕ|| = |λ|||ϕ||,||ϕ|| = ||∇ϕ||Lp (Ω) ≥ 0,ϕ = 0 ⇐⇒ ||ϕ|| = 0.Последнее соотношение вытекает из неравенства Пуанкаре:Неравенство Пуанкаре.Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченная область с C1 границей, тогдадля любого u ∈ W01,p (Ω) существует постоянная C такая, что||u||Lp (Ω) ≤ C ||∇u||Lp (Ω) .Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Теорема существования и единственностиТеорема 10.3.При любом заданном f ∈ W −1,q (Ω) задача (1), (2) имеет единственное обобщенное решение в смысле определения, данноговыше.Доказательство.

Рассмотрим J : W01,p (Ω) 7−→ W −1,q (Ω),которое действует по законуZhJ(u), ϕi = |∇u|p−2 ∇u · ∇ϕdx, ∀ ϕ ∈ W01,p (Ω).ΩИз оценкиZp−2 |∇u| ∇u · ∇ϕdx ≤ ||∇u||p−1 ||∇ϕ||LpLpΩследует ограниченность оператора J(u).(5)Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Теорема существования и единственностиНеравенство (5) можно переписать в следующем видеhJ(u), ϕi ≤ ||u||p−11,pW0 (Ω)||ϕ||W 1,p (Ω) .0Интегральное равенство (3) можно записать в видеhJ(u), ϕi = hf , ϕi ∀ ϕ ∈ W01,p (Ω).Таким образом, в силу произвольности ϕ, заключаем, что (3)эквивалентно операторному уравнению J(u) = f .Известно, что пространства W01,p (Ω) и W −1,q являются рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами,строго выпуклыми относительно нормы (4) и соответствующейнормы пространства W −1,q , порожденной нормой (4).

Следовательно, осталось показать, что оператор J(u) является отображением двойственности.Задача Дирихле для уравнения p-лапласиана.Теорема существования и единственностиΦ(r ) = r p−1 удовлетворяет всем условиям для построения относительно нее функции двойственности. ДалееZZhJ(u), ui = |∇u|p−2 ∇u · ∇u dx = |∇u|p dx =ΩΩ||∇u||pLp = ||∇u||Lp−1p ||∇u||Lp .(6)Учитывая (5), из (6) вытекает, чтоp−1||J(u)||W −1,q (Ω) = ||∇u||Lp−1p (Ω) = ||u||1,pW0 (Ω)= Φ(||u||W 1,p (Ω) ),0hJ(u), ui = Φ(||u||W 1,p (Ω) )||u||W 1,p (Ω) ,00Следовательно, J(u) является оператором двойственности относительно функции Φ(r ) = r p−1 и, следовательно, уравнениеJ(u) = f , как и задача (1), (2), однозначно разрешимы потеореме об обратимости отображения двойственности..