PFA lection 1 (А.С. Терсенов - Лекции (2021г))

Теорема БрауэраНовосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра прикладной математикиКурс лекций по прикладномуфункциональному анализу. ЛЕКЦИЯ 1А.С. Терсеновв рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на2009-2018 г.2017Теорема БрауэраСодержание дисциплины1Теорема Брауэра о существовании неподвижной точкинепрерывных отображений в конечномерных пр-вах.Применение теоремы Брауэра к задаче о существованииположительного собственного числа у матрицы сположительными элементами.2Принцип неподвижной точки Шаудера.Применение принципа Шаудера к разрешимости задачиДирихле для обыкновенного нелинейного диффер-ногоуравнения второго порядка.3Монотонные операторы и отображения двойственности.Приложение теории монотонных опер-ров и отображенийдвойственности к изучению корректности задачи Дирихледля уравнения p-лапласиана.Теорема БрауэраПринцип сжимающих отображений.Пусть в банаховом пространстве B действует оператор Φ(x) собластью определения D(Φ) и с областью значений R(Φ) ⊂ B.Предположим, что D(Φ) ∩ R(Φ) 6= ∅.Определение 1.1.x ∗ называется неподвижной точкой Φ, если Φ(x ∗ ) = x ∗ .Определение 1.2Пусть задано некоторое множество Q ⊂ D(Φ).

Будем говорить,что оператор Φ является сжимающим оператором на Q, еслисуществует q ∈ (0, 1) такое, что ∀ x 0 , x 00 ∈ Q выполняется неравенство||Φ(x 00 ) − Φ(x 0 )|| ≤ q||x 00 − x 0 ||.Число q называется коэффициентом сжатия.Теорема БрауэраТеоремы существования неподвижной точки у сжимающихотображенийТеорема 1.3.Пусть Φ отображает замкнутое множество Q ⊂ B в себя иявляется на Q оператором сжатия с коэффициентом q. Тогда вQ оператор Φ имеет единственную неподвижную точку x ∗ .Теорема 1.4.Пусть оператор Φ отображает замкнутое множество Q ⊂ B всебя, и при некотором натуральном m оператор Φm является наQ оператором сжатия. Тогда в Q оператор Φ имеетединственную неподвижную точку x ∗ .Теорема БрауэраТеорема Брауэра.

Вспомогательные утвержденияЛемма об аппроксимации.f : B(0, 1) 7−→ B(0, 1) – непрерывное отображение, гдеB(0, 1) = {x ∈ Rn , ||x|| ≤ 1}. ∃ {gm } −→ f при m → ∞,gm ∈ C∞0 , gm : B(0, 1) 7−→ B(0, 1),gm (x), m = 1, 2, . . . сходится равномерно.Лемма о несуществовании гладкой ретракцииОпределение 1.5.Пусть A ⊂ B ⊂ X – замкнутые мн-ва банахова прост-ва. Aретракт B, если ∃ непр-ное отобр-ние f : B 7−→ A, такое, чтоf (x) = x, ∀x ∈ A.

f называется ретракцией B на A.Лемма о ретракцииНе существует отображения f ∈ C1 такого, чтоf : B(0, 1) 7−→ ∂B(0, 1) и f (x) = x∀ x ∈ ∂B(0, 1).Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Лемма об аппроксимации.Пусть f : B(0, 1) 7−→ B(0, 1) является непрерывным отображением, где B(0, 1) = {x ∈ Rn , ||x|| ≤ 1}.Для k ≥ 1 положим 11kxkf (x) = 1 −f, x ∈ B 0, 1 +.k1+kk kx Если x ∈ B 0, 1 + k1 , то 1+k ≤ 1 и, следовательно, f k (x),k = 1, 2, . . .

корректно определены. Легко видеть, что111||f k (x)|| ≤ 1 − =⇒ f k (x) : B 0, 1 +7−→ B 0, 1 −.kkkОтображения f k (x), k = 1, 2, . . . непрерывны и более тогоf k (x) −→ f ,при k → ∞ равномерно наB(0, 1).Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Действительно, т.к. отображение f (x) непрерывно, то накомпакте B(0, 1) будет равномерно непрерывно, т.е. ∀ > 0∃ δ() > 0 такое, что||f (x)−f (y )|| < как только ||x −y || < δ() ∀ x, y ∈ B(0, 1).Далее, рассмотрим норму разности 1kxkf− f (x) ≤||f (x) − f (x)|| = 1 −k1+k 1 kxkx ≤f−f(x)f+ k 1+k1 + k 1kxf− f (x) + .1+kk(1)Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Положим y =kx1+kи заметим, что k kx1− x = − 1 ||x|| ≤||x − y || = 1+k1+k1+k∀ x ∈ B(0, 1),1следовательно, при k > δ()имеем ||x − y || < δ(epsilon), откудаследует 1kxk− f (x) + < ε + δ().

(2)||f (x) − f (x)|| ≤ f1+kkЭто означает, чтоf k (x) −→ f (x) равномерно на B(0, 1).Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Рассмотрим теперь регуляризирующее ядро(1−cm e 1−||mx||2 , ||x|| <ωm (x) =0,||x|| ≥1m,1m,где постоянная cm определяется из соотношенияZZ11−ωm (x)dx = 1 =⇒ cm ne 1−||t||2 dt = 1.m ||t||<1RnЛегко заметить, что supp ωm (x) = B(0, m1 ), ωm (x) ∈ C∞0 иZZωm (x − y )dy = (z = y − x) =ωm (−z)dz =RnRnZ(в силу четности ωm ) =ωm (z)dz = 1.Rn(3)Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Положимkgm(x) =Zгде B k = B 0, 1 +ωm (x − y )f k (y )dy∀ x ∈ B(0, 1),Bk1k.

Заметим, чтоZ1k||gm(x)|| ≤ max ||f k (y )||ωm (x − y )dy = 1 − ,kkny ∈BRт.к.1f :B −7 → B k = B 0, 1 −.kkkТаким образом, мы получаем, что отображениеkgm(x) : B(0, 1) 7−→ B kбесконечно дифференцируемо, как свертка бесконечнодифференцируемой функции и непрерывного отображения.Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Покажем, чтоkgm(x) −→ f k (x) равномерно по x ∈ B(0, 1).Так как f k (x) является непрерывным отображением,kследовательно оно равномерно непрерывно на B , т.е.

∀ > 0∃ δk > 0 такое, что||f k (x) − f k (y )|| < как только ||x − y || < δkk∀ x, y ∈ B .Рассмотрим норму разностиZkkkk||gm (x) − f (x)|| = ωm (x − y )f (y )dy − f (x) .(4)BkБудем рассматривать только те m, для которых m ≥ k, тогдаmksupp ωm (x − y ) ⊂ B ⊂ B , т.к. при m ≥ k имеем1 + m1 ≤ 1 + k1 .Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Отсюда вытекает, чтоZωm (x − y )f k (x)dy =BkkZf (x)1||x−y ||< mωm (x − y )dy = f k (x).(5)Из (4), (5) вытекаетk(x)||gmZ− f (x)|| = kBkωm (x − y )[f (y ) − f (x)]dy =kkZωm (x − y )[f k (y ) − f k (x)]dy . ||x−y ||< 1m(6)Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Положим в (6) m >1δk .Тогда из (6) получаемk||gm(x) − f k (x)|| ≤Zkk||f (y ) − f (x)||ωm (x − y )dy =sup1||x−y ||< m1||x−y ||< m<δksup||f k (y ) − f k (x)|| < .(7)1||x−y ||< m<δkТаким образом, мы получили, что ∀ > 0 ∃ δk > 0 такое, что1kk||gm (x) − f (x)|| < как только max k,<mδk∀ x ∈ B(0, 1), следовательно,kgm(x) −→ f k (x) равномерно по x ∈ B(0, 1).Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.k (x),Покажем теперь, что из построенных нами функций gmk, m = 1, 2 .

. . можно выделить подпоследовательность, которая будет аппроксимировать функцию f (x) равномерно в единичном шаре. Действительно,kk||gm(x) − f (x)|| = ||gm(x) − f k (x) + f k (x) − f (x)|| ≤k||gm(x) − f k (x)|| + ||f k (x) − f (x)||.В то же время имеем, что ∀ > 0 ∃ δ0 > 0 такое, что при k >||f k (x) − f (x)|| < ∀ x ∈ B(0, 1),noдалее ∀ > 0 ∃ δk > 0 такое, что при m > max k, δ1kk||gm(x) − f k (x)|| < ∀ x ∈ B(0, 1).1δ0Теорема БрауэраЛемма об аппроксимации.Следовательно, ∀ > 0 ∃ δ0 > 0, ∃ δk > 0 такие, что при11k > , m > max k,δ0δkвытекает, чтоk||gm(x) − f (x)|| < 2,∀ x ∈ B(0, 1),k (x), k, m = 1, 2 . . . можно выделить подпослеа, значит из gmдовательность, которая будет равномерно в единичном шареаппроксимировать функцию f (x).Таким образом, мы построили последовательность {gmk } −→ fпри k → ∞, обладающую следующими свойствами1.

gmk ∈ C∞0 ,2. gmk : B(0, 1) 7−→ B(0, 1),3. gmk (x), k = 1, 2, . . . равномерно в единичном шареаппроксимируют функцию f (x)..