Группы симметрий фокусных особенностей, критерий свободности действия конечных групп Галуа на фокусных особенностях, страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Группы симметрий фокусных особенностей, критерий свободности действия конечных групп Галуа на фокусных особенностях", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дипломы и вкр" из 12 семестр (4 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîðÿäîê îáõîäà îñîáûõäîëæåí ñîõðàíèòüñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà. Ïðîíóìåðóåì îñîáûå òî÷êè ïî÷àñîâîé ñòðåëêå îò 1 äîk.Êàê äåéñòâóåògíà ìíîæåñòâå îñîáûõ òî÷åê?Ðàññìîòðèì ëþáîé èíòåãðàë ñèñòåìû, ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûé ñf2 .Òðàåêòîðèè åãî êîñîãî ãðàäèåíòà çàäàþò íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå îáõîäàîñîáûõ òî÷åê. Ïîñêîëüêógñèìïëåêòîìîðôíî è òîæäåñòâåííî íà áàçå, îíîñîõðàíÿåò íàø èíòåãðàë è òðàåêòîðèè åãî êîñîãî ãðàäèåíòà, à çíà÷èò èíàïðàâëåíèå îáõîäà îñîáûõ òî÷åê. Çíà÷èòåò ïîâîðîòàìè, ò.å. ïåðåâîäèò îñîáóþ òî÷êóÂûáåðåì ýëåìåíòg íà ýòîì ìíîæåñòâå äåéñòâói â òî÷êó i+r, r - ôèêñèðîâàííî.g èç Sym ïîâîðà÷èâàþùèé ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê íàr. Ýòîò ýëåìåíò äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâåìèíèìàëüíóþ íåíóëåâóþ âåëè÷èíó5îñîáûõ òî÷åê öèêëè÷åñêè, ïðè÷åìräåëèò ÷èñëî îñîáûõ òî÷åên.Äîêàæåìýòî:Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü r íå äåëèò k , ïîäåëèì k íà r ñ îñòàòêîì: n = rq+r1 .g r+1 ïîâîðà÷èâàåò ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê íà r − r1 ÷òî ìåíüøå r -Òîãäàïðîòèâîðå÷èå.Ýëåìåíògqîñòàâëÿåò íà ìåñòå îñîáûå òî÷êè, ñëåäîâàòåëüíî îí ëåæèò â] , à çíà÷èò g q ýòî ñäâèã âäîëü sgrad f . Äîìíîæèì g q íà h−q ãäå h ñäâèãSym−q qâäîëü 1/q(sgrad f ): hg = (h−1 g)q = id. Ýëåìåíò h−1 g ïîðîæäàåò ãðóïïóZq , äåéñòâóþùóþ íà Fk ïîâîðîòàìè íà r ïî φ. Òàê êàê g = h(h−1 g), òî]ëþáîé ýëåìåíò Sym ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè ýëåìåíòîâ èç Sym] , Zq ∩ Sym] = id.è Zq . Âñå ýëåìåíòû Zq êîììóòèðóþò ñ ýëåìåíòàìè Sym]Çíà÷èò Sym = Zq × Sym.Ò.ê. ãðóïïàSymàáåëåâà, òî ãðóïïàSym0ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêàèìååò âèä:Òåîðåìà 3.2.Sym0 ∼= Zq × Q/Z.] ýëåìåíòû êîíå÷íîãî ïîðÿäêà îáðàçóþòÄîêàçàòåëüñòâî.  ãðóïïå SymQ/Z â ãðóïïå ñäâèãîâ ïî òðàåêòîðèÿì sgrad f2 .
 ãðóïïå ñäâèãîââäîëü òðàåêòîðèé sgrad f1 íå ñóùåñòâóåò ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà.ïîäãðóïïó4Ãðóïïû Ãàëóà ôîêóñíûõ îñîáåííîñòåé, êðèòåðèé ñâîáîäíîñòè äåéñòâèÿF = Fm1 × · · · ×Fmk . Ïóñòü òåïåðü ó íàñ åñòü ìíîãîìåðíàÿ ÷èñòî ôîêóñíàÿ îñîáåííîñòü. Îíàïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ Fm1 × · · · × Fmk /G.
Äåéñòâèå GÐàññìîòðèì ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ôîêóñíûõ îñîáåííîñòåéñèìïëåêòè÷åñêîå, ñâîáîäíîå è ïîêîìïîíåíòíîå.Óòâåðæäåíèå 4.1.· · · × (Zmk × Q/Z).G åñòåñòâåííî âêëàäûâàåòñÿ â Se0 = (Zm1 × Q/Z) ×Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ïîäãðóïïû âSe0 .Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïîä-ãðóïïà äåéñòâóåò íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ôîêóñíûõ îñîáåííîñòåé ñâîáîäíî?G äåéñòâóåò ñâîáîäíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíà íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïîäãðóïïîé Q/Z × · · · × Q/Z (k ðàç).Óòâåðæäåíèå 4.2.Äîêàçàòåëüñòâî. =⇒ Ïóñòü êàêîé-òî íåòðèâèàëüíûé ýëåìåíò g ∈ G ïðèíàäëåæèò Q/Z × · · · × Q/Z (k ðàç). Âîçüìåì íà êàæäîì ñîìíîæèòåëå Fmiîñîáóþ òî÷êó xi , g(x1 , .
. . , xk ) = (x1 , . . . , xk ) çíà÷èò äåéñòâèå íå ñâîáîäíî.6⇐=Çíà÷èò õîòÿ áû íà îäíîì ñîìíîæèòåëåíûé ýëåìåíò èçZq ,Fmiäåéñòâóåò íåòðèâèàëü-êîòîðûé íå îñòàâëÿåò íåïîäâèæíûõ òî÷åê íà ýòîì ñî-ìíîæèòåëå.Èìååòñÿ ïðîãðàììà, ïðîâåðÿþùàÿ êðèòåðèé ñâîáîäíîñòè äåéñòâèÿ ãðóïïû íàGíàF.Ìåõàíèçì ðàáîòû ïðîãðàììû ñëåäóþùèé: Ðàññìàòðèâàåòñÿïåðåñå÷åíèå îáðàçóþùèõG ñ ãðóïïîé Zm1 × · · · × Zmk .
Äàëåå ïðîãðàììà ïå-ðåáèðàåò âñå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè äåéñòâèÿ îáðàçóþùèõ, äî òåõ ïîð, ïîêàíå íàéäåò íåíóëåâóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ îáðàçóþùèõ ïåðåñåêàþùóþñÿñ ãðóïïîéZm1 × · · · × Zmkïî òðèâèàëüíîìó ýëåìåíòó. Åñëè òàêîé íåíóëåâîéýëåìåíò áûë íàéäåí, òî îí àâòîìàòè÷åñêè ëåæèò âQ/Z × · · · × Q/Z(k ðàç).Çíà÷èò äåéñòâèå íå ñâîáîäíî. Åñëè òàêîé ýëåìåíò íå áûë íàéäåí, òî ãðóïïàäåéñòâóåò ñâîáîäíî.Òàê êàê äåéñòâèåG íà ìíîæåñòâå îñîáûõ òî÷åê ñâîáîäíî è çàìêíóòî, òîâåðíî ñëåäóþùåå:Óòâåðæäåíèå 4.3.Ïóñòü s - ñëîæíîñòü îñîáåííîñòè F/G. Òîãäà|G| =m1 .
. . mk.sÑïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðóèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû:Ãåîìåòðèÿ, òîïîëîãèÿ, êëàññèôèêàöèÿ. Ðåäàêöèÿ æóðíàëà "Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà èçäàòåëüñêèé äîì "Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò 1999[2] EliassonL.H.,NormalformsforHamiltoniansystemswithPoissoncommuting integrals - elliptic case, Comm. Math. Helv., 65(1990), 4-35[3] Nguyen Tien Zung, A note on focus-focus singularities, Dierential geomertyand applications, 7: 123-130, 1997[4] Nguyen Tien Zung, Another note on focus-focus singularities, Lett.
Math.Phys. 60(2002), no. 1, 87-99[5] Nguyen Tien Zung, Symplectic topology of integrable hamiltonian systems,I: Arnold-Liouville with singularities, Compositio Mathematica, 101(1996),179-215[6] Williamson J., On the algebraic problem concerning the normal forms oflinear dynamical systems, Amer. J. Math., 58:1(1936), 141-1637.
