Группы симметрий фокусных особенностей, критерий свободности действия конечных групп Галуа на фокусных особенностях

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâàìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÄèïëîìíàÿ ðàáîòàñòóäåíòà ïÿòîãî êóðñàêàôåäðû Äèôôåðåíöèàëüíîé Ãåîìåòðèè è ÏðèëîæåíèéÊóçèíà ÏåòðàÃðóïïû ñèììåòðèé ôîêóñíûõ îñîáåííîñòåé,êðèòåðèé ñâîáîäíîñòè äåéñòâèÿ êîíå÷íûõ ãðóïï Ãàëóà íà ôîêóñíûõ îñîáåííîñòÿõÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: Ïðîôåññîð Áîëñèíîâ À.Â.Ìîñêâà, 20081ÂâåäåíèåÏóñòü(M 2n , ω) ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëè-óâèëëþ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîésgrad H , è f1 , .

. . fn åå íåçàâèñèìûå èíâî-ëþòèâíûå èíòåãðàëû. Ýòîé ñèñòåìå ñîîòâåòñòâóåò ñëîåíèå Ëèóâèëëÿíà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿf1 , . . . fn .M 2nÌû áó-äåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå ñëîè ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ êîìïàêòíû.Îïðåäåëåíèå 1.1. Ãëàäêîå îòîáðàæåíèå(f1 (x), . . . fn (x))FÏóñòüåñëè ðàíãKãäåF (x) =íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà.Îïðåäåëåíèå 1.2. Òî÷êàìîìåíòàF : M 2n → Rn ,dF (x)x∈Míàçûâàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿìåíüøån. ñîâîêóïíîñòü âñåõ îñîáûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà âM.KïðèÎïðåäåëåíèå 1.3. Áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé íàçûâàåòñÿ îáðàçîòîáðàæåíèè ìîìåíòà, ò.å. ìíîæåñòâîΣ = F (K) ⊂ Rn .Ñëîé ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ íàçûâàåòñÿ íåîñîáûì, åñëè íà íåì íåò íè îäíîé îñîáîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.

Îêðåñòíîñòü íåîñîáîãî ñëîÿ ñèìïëåêòîìîðôíà ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ òîðà íà äèñê.  îêðåñòíîñòè íåîñîáîãî ñëîÿ âñå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ óñòðîåíû îäèíàêîâî. Ïîýòîìó ñòðóêòóðàñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ â îñíîâíîì îïðåäåëÿåòñÿ åãî îñîáåííîñòÿìè.Äàäèì îïðåäåëåíèå íåâûðîæäåííîé îñîáîé òî÷êè: Ðàññìîòðèì èíòåãðè-sgrad H íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèèx ðàíãà i.

Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî, ëèíåéíî ïîðîæäåííîå ôóíêöèÿìè f1 , . . . , fn , êàê êîìóòàòèâíóþ àëãåáðó Ëè. È ðàññìîòðèìâ íåé ñòàöèîíàðíóþ ïîäàëãåáðó Kx ñîñòîÿùóþ èç f òàêèõ, ÷òî df (x) = 0.Ïóñòü L - êàñàòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ê îðáèòå â òî÷êå x, ò.å. ïîäïðî0ñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå âåêòîðàìè sgrad f1 , . . . , sgrad fn , à L åãî êîñîîððóåìóþ ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìóM 2n ,è îñîáóþ òî÷êóòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå.Îïðåäåëåíèå 1.4. Îñîáàÿ òî÷êàxðàíãàiíàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé,åñëè:1. Äëÿ ëþáîéf ∈ Kx ,îòëè÷íîé îò íóëÿ, êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìàðàâíà òîæäåñòâåííî íóëþ íà2. ñóùåñòâóåòfèçd2 f (x)íå0LKx òàêàÿ, ÷òî P (µ) = det(d2 f (x)−µΩ)|L0èìååò2(n−i)ðàçëè÷íûõ íåíóëåâûõ êîðíåé1.1 (Eliasson, [2]). Ïóñòü äàíà èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà ñ nñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M 2n .

Òîãäà âñÿêîåñëîåíèå Ëèóâèëëÿ â îêðåñòíîñòè íåâûðîæäåííîé îñîáîé òî÷êè ðàíãà iëîêàëüíî ñèìïëåêòîìîðôíî íåêîòîðîìó ìîäåëüíîìó ñëîåíèþ Lcan ñèìïëåêòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà R2n îïðåäåëÿåìîìó ÷èñëàìè (m1 , m2 , m3 ) èôóíêöèÿìè:Òåîðåìà1Fj = p2j + qj2 , ïðè j = 1, . . . , m1 , ýëëèïòè÷åñêèé òèïFk = pk qk , ïðè k = m1 + 1, .

. . , m1 + m2 , ãèïåðáîëè÷åñêèé òèïFl = pl ql+1 − pl+1 ql , Fl+1 = pl ql + pl+1 ql+1 , òèï ôîêóñ-ôîêóñïðè i = m1 + m2 + 1, m1 + m2 + 3, . . . , m1 + m2 + 2m3 − 1,Fs = ps , ïðè s = m1 + m2 + 2m3 , . . . , n. ðåãóëÿðíûé ìíîæèòåëü áåçîñîáåííîñòèÎïðåäåëåíèå 1.5. Òðîéêà ÷èñåë(m1 , m2 , m3 )íàçûâàåòñÿ òèïîì îñîáîéòî÷êè.Òàêèì îáðàçîì, âñÿêàÿ íåâûðîæäåííàÿ îñîáåííîñòü ëîêàëüíî ðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòåéøèõ îñîáåííîñòåé - ýëëèïòè÷åñêîé, ãèïåðáîëè÷åñêîé è òèïà ôîêóñ-ôîêóñ, à òàê æå äèñêà áåç îñîáåííîñòè.Îòâåò íà âîïðîñ, êàê óñòðîåíà îêðåñòíîñòü îñîáîãî ñëîÿ áûë äàí, íî äëÿáîëåå óçêîãî êëàññà îñîáåííîñòåé - îñîáåííîñòåé óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþíåðàñùåïëÿåìîñòè.Îïðåäåëåíèå 1.6. Íåâûðîæäåííàÿ îñîáåííîñòü ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ óäî-âëåòâîðÿåò óñëîâèþ íåðàñùåïëÿåìîñòè, åñëè åå áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ïðèâîäèòñÿ íåêîòîðûì äèôôåîìîðôèçìîì ê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ìîäåëüíîãî ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî òèïàðàíãà(m1 , m2 , m3 )èi.Îïèøåì òåïåðü ñïîñîá êîíñòðóèðîâàíèÿ ìíîãîìåðíûõ îñîáåííîñòåé ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ.

Ðàññìîòðèì ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ïðîñòåéøèõîñîáåííîñòåé ýëëèïòè÷åñêîãî, ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà è òèïà ôîêóñ-ôîêóñ.Äîìíîæèì åãî íà òðèâèàëüíûé ñîìíîæèòåëüT i × Di .Íà ïðîèçâåäåíèèîïðåäåëåíà ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà êàê ñóììà ñèìïëåêòè÷åñêèõ ñòðóêòóð íà êàæäîì ñîìíîæèòåëå. Ñëîÿìè Ëèóâèëëÿ ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîåâ ýëåìåíòàðíûõ ñëîåíèé íà ñîìíîæèòåëÿõ. Ôóíêöèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàþòñÿ ñ ïðÿìûõ ñîìíîæèòåëåé äî ïîëíîãî íàáîðàêîììóòèðóþùèõ ôóíêöèé íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè.

Ïîëó÷åííàÿ îñîáåííîñòüU 2n = V1 × · · · × Vkíàçûâàåòñÿ îñîáåííîñòüþ òèïà ïðÿìîãî ïðîèç-âåäåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî íà íåé äåéñòâóåò êîíå÷íàÿ ãðóïïàG,óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1. Äåéñòâèå ñâîáîäíîå.G ïåðåâîäèò â ñåáÿ êàæäûé èçVi . Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè g ýëåìåíò G, à φ äåé= V1 ×· · ·×Vk , òî φ(g)(x1 , . . . , xk ) = (φ1 (g)x1 , . . . , φk (g)xk ).2. Äåéñòâèå ïîêîìïîíåòíîå, ò.å.

ãðóïïàïðÿìûõ ñîìíîæèòåëåéñòâèå íàU 2n3. Íà êàæäîì ïðÿìîì ñîìíîæèòåëå äåéñòâèå ñèìïëåêòè÷åñêîå è òîæäåñòâåííîå íà áàçå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ.4. Íà êàæäîì ýëëèïòè÷åñêîì ñîìíîæèòåëå äåéñòâèå òðèâèàëüíî.ÔàêòîðïðîñòðàíñòâîV1 ×· · ·×Vk /G, áóäåò ñèìïëåêòè÷åñêèì ìíîãîîáðàG ñâîáîäíîå. Íà U 2n /G ïåðåíîñèòñÿ ñòðóêòóðàçèåì, ïîñêîëüêó äåéñòâèåñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ ñ îäíèì îñîáûì ñëîåì.2Îïðåäåëåíèå 1.7. Îñîáåííîñòè âèäàU 2n /Gíàçûâàþòñÿ îñîáåííîñòÿìèòèïà ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.ÃðóïïûGíàçûâàþòñÿ ãðóïïàìè Ãàëóà.Òåîðåìà 1.2 (Nguyen Tien Zung, [5]).

Ëþáàÿ íåâûðîæäåííàÿ îñîáåííîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ íåðàñùåïëÿåìîñòè, ïîñëîéíî äèôôåîìîðôíà îñîáåííîñòè òèïà ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ â îêðåñòíîñòèîñîáîãî ñëîÿ.2Ñòðóêòóðà îñîáåííîñòè òèïà ôîêóñ-ôîêóñÎïðåäåëåíèå 2.1. Íåâûðîæäåííàÿ îñîáàÿ òî÷êàxðàíãà0îòîáðàæåíèÿìîìåíòà èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé òèïà ôîêóñ-ôîêóñ, åñëè â îêðåñòíîñòèùåñòâóþò ëîêàëüíûå êîîðäèíàòûèf(p1 , q1 , p2 , q2 )xñó-òàêèå, ÷òî ãàìèëüòîíèàíHìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå:H = H(f1 , f2 ),f = f (f1 , f2 ),ãäåf1 = p1 q1 + p2 q2 , f2 = p2 q1 − p1 q2 .Çàìåíàf(H, f ) → (f1 , f2 )ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé è ñëîåíèå çàäàâàåìîåñîâïàäàåò ñî ñëîåíèåì çàäàâàåìûìÐàññìîòðèì îñîáûé ñëîéLf1èHèf2 .nëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ, ñîäåðæàùèéx1 , .

. . , x n .òî÷êè xi :òî÷åê òèïà ôîêóñ-ôîêóñ. Îáîçíà÷èì ýòè òî÷êè ÷åðåçê êîìïëåêñíûì ïåðåìåííûì â îêðåñòíîñòè îñîáîéîñîáûõÏåðåéäåìz = q1 + iq2 ,w = p1 − ip2 .Òîãäàf1 = Re (zw)àf2 = Im (zw).Îñîáûé ñëîé óñòðîåí êàê ïàðà òðàíñ-âåðñàëüíî ïåðåñåêàþùèõñÿ ëàãðàíæåâûõ äèñêîâ, çàäàâàåìûõ óðàâíåíèÿìèz=0èw = 0.Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿS 1 -äåéñòâèå.f2çàäàåò â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè ãàìèëüòîíîâîÝòî ëåãêî ñëåäóåò èç ÿâíîãî âèäà âåêòîðíîãî ïîëÿêîòîðîå â êîîðäèíàòàõwèzsgrad f2 ,çàïèñûâàåòñÿ òàê:ẇ = iw,ż = −iz.Ïîýòîìó äåéñòâèå îêðóæíîñòè çàäàåòñÿ ïðîñòîé ôîðìóëîé:(z, w) → (e−iφ z, eiφ w).Èçó÷èì òåïåðü ñòðóêòóðó îñîáîãî ñëîÿ â öåëîì.

Íà íåì ëåæèònîñî-áûõ òî÷åê òèïà ôîêóñ-ôîêóñ.  îêðåñòíîñòè êàæäîé èç íèõ îñîáûé ñëîéïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðàíñâåðñàëüíîå ïåðåñå÷åíèå äâóõ äèñêîâ.3[1] Îñîáûé ñëîé L ãîìåîìîðôåí äâóìåðíîìó òîðó ñ n ïåðåòÿæêàìè, ãäå n ÷èñëî òî÷åê òèïà ôîêóñ-ôîêóñ ëåæàùèõ íà ñëîå L.Ëåììà 2.1.Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñòî ôîêóñíûå îñîáåííîñòè, òî åñòü îñîáåííîñòè âèäàFm1 × · · · × Fmk /G,ãäå âñå ñîìíîæèòåëèFmi , i = 1 . . . k áóäóòG ìîãóòîñîáåííîñòÿìè òèïà ôîêóñ-ôîêóñ. Âîçíèêàåò âîïðîñ, êàêèå ãðóïïûäåéñòâîâàòü â îïåðàöèè ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ÷èñòî ôîêóñíûõîñîáåííîñòÿõ?3Ãðóïïà ñèììåòðèé ôîêóñíîé îñîáåííîñòèÏóñòüFn- îñîáåííîñòü òèïà ôîêóñ-ôîêóñ ñëîæíîñòèn.

Ðàññìîòðèì åå ñèì-ïëåêòîìîðôèçìû â ñåáÿ, òîæäåñòâåííûå íà áàçå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ. Îáîçíà÷èì ãðóïïó òàêèõ ñèìïëåêòîìîðôèçìîâ êàêSym.Âîîáùå ãîâîðÿ ýòàãðóïïà áóäåò ðàçëè÷íà äëÿ ðàçíûõ ôîêóñíûõ îñîáåííîñòåé ñëîæíîñòèn,ò.ê. â îáùåì ñëó÷àå îíè ãîìåîìîðôíû, íî íå ñèìïëåêòîìîðôíû.Íàèáîëüøàÿ ãðóïïà Sym ∼= Zn × (C∞ (D2 )/{2πkf2 }).∞2∼ îáùåì ñëó÷àå Sym = Zq × (C (D )/{2πkf2 }), ãäå q äåëèò n.Òåîðåìà 3.1.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì âSym] îñòàâëÿþùóþSym] ïåðåâîäèòýëåìåíò èç Symïîäãðóïïóñòå îñîáûå òî÷êè. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîéíà ìåâ ñåáÿêîëüöà - ëàãðàíæåâû ñôåðû èç êîòîðûõ "ñêëååí"îñîáûé ñëîé ñ âûêèíóòûìè îñîáûìè òî÷êàìè. Êàæäûé èç òàêèõ êîëåö ÿâëÿåòñÿ îðáèòîé ïóàññîíîâàäåéñòâèÿ.] , è f (f1 , f2 ). Ðàññìîòðèì ñäâèã h íàÏóñòü g ∈ Symâðåìÿ t = 1 âäîëü òðàåêòîðèé sgrad f . Òîãäà gh = hg .Óòâåðæäåíèå 3.1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ g ñîõðàíÿåò ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, àf1 è f2 , ñëåäîâàòåëüíî g ñîõðàíÿåò f è g(sgrad f ) = sgrad f .Çíà÷èò g êîììóòèðóåò ñ h.òàêæå ñîõðàíÿåòÐàññìîòðèì îáðàç íåîñîáîé òî÷êè x íà îñîáîì ñëîå - g(x).

Âûáåðåì αβ ãëàäêî çàâèñÿùèå îò ñëîÿ òàêèå, ÷òî ñäâèã h1 íà t = 1 âäîëü h =−α(f1 , f2 )sgrad f1 −β(f1 , f2 )sgrad f2 ïåðåâîäèò g(x) â x â îêðåñòíîñòè îñîáîãî−1ñëîÿ. Äîêàæåì, ÷òî g = h1 .èÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó y ëåæàùóþ íà òîì æåx, à â ñëó÷àå îñîáîãî ñëîÿ ëåæàùóþ íà òîì æå êîëüöå. Âûáå00000ðåì α è β , òàêèå, ÷òî ñäâèã h1 íà t = 1 âäîëü h = −α (f1 , f2 )sgrad f1 −0β (f1 , f2 )sgrad f2 ïåðåâîäèò x â y .h1 g(x) = x, ïî äîêàçàíîìó ðàíåå h1 ,h01 è g êîììóòèðóþò, ïîýòîìó èìååì:h1 g(y) = h1 gh01 (x) = h1 h01 g(x) = h01 h1 g(x) = h01 (x) = y .ñëîå ÷òî èÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òîgýòî ñäâèã íàβ(f1 , f2 )sgrad f2 .4t=1âäîëüf 0 = α(f1 , f2 )sgrad f1 + äîêàçàòåëüñòâå Òåîðåìû Äàðáó [1] èñïîëüçóåòñÿ Ëåììà, ãëàñÿùàÿ, ÷òî,x ñóùåñòâóþò ïîïàðíî êîìóòèðóþùèå íåçàâèñèp1 è p2 , òî èõ ìîæíî äîïîëíèòü äî êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû00êîîðäèíàò p1 , p2 , q1 , q2 â êîòîðûõ ôîðìà ω ïðèíèìàåò êàíîíè÷åñêèé âèä0ω = dp1 ∧ dq1 + dp2 ∧ dq20 . Âîçüìåì â êà÷åñòâå p1 ôóíêöèþ f1 , à â êà÷åñòâåp2 f2 .

Ðàññìîòðèì ïðîõîäÿùåå ÷åðåç x ëàãðàíæåâî ñå÷åíèå q10 = 0, q20 = 0,0íàçîâåì åãî L, g(L) = L . Òàê êàê g - ñèìïëåêòîìîðôèçì, òî ω|L0 =0 . Òåïåðüâûáåðåì äðóãèå êîîðäèíàòû: (f1 , f2 , q1 , q2 ), q1 è q2 - åñòåñòâåííûå ïàðàìåòðû íà òðàåêòîðèÿõ sgrad f1 è sgrad f2 , ñ óñëîâèåì, ÷òî â ýòèõ êîîðäèíàòàõx = (f1 , f2 , 0, 0).åñëè â îêðåñòíîñòè òî÷êèìûå ôóíêöèèÓòâåðæäåíèå 3.2.âèä.Ôîðìà ω â ýòèõ êîîðäèíàòàõ èìååò êàíîíè÷åñêèéÄîêàçàòåëüñòâî. fi è fj êîììóòèðóþò, çíà÷èò {fi , fj } = 0, {qi , qj } = 0 ò.ê.ñå÷åíèå qi = c1 , qj = c2 ïîëó÷àåòñÿ èç ëàãðàíæåâà ñå÷åíèÿ L ñäâèãàìè âäîëüsgrad f1 è sgrad f2 . {fi , qj } = {sgrad fi , qj } = δijÏóñòü òî÷êà x èìååò êîîðäèíàòû (f1 , f2 , 0, 0), òîãäà g(x) = (f1 , f2 , α, β) .ω|L0 =0 , çíà÷èò 0 = ω|L0 = dp1 ∧ dq1 + dp2 ∧ dq2 = df1 ∧ (αf1 df1 + αf2 df2 ) + df2 ∧(βf1 df1 + βf2 df2 ) = (αf2 − βf1 )df1 ∧ df2 çíà÷èò αf2 = βf1 .

 âûáðàííûõ íàìè0−1êîîðäèíàòàõ f = α(f1 , f2 )sgrad f1 + β(f1 , f2 )sgrad f2 = Ω(αdf1 ∧ βdf2 ) =−1Ω df (f1 , f2 ) = sgrad f .Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíà] ïîðîæäàåòñÿ ñäâèãàìè âäîëü òðàåêòîðèé3.1. Ãðóïïà Symsgrad f , ãäå f (f1 , f2 ) - ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà M 2 .ËåììàÎïåðàöèÿsgradîñóùåñòâëÿåòãîìîìîðôèçìèç(C∞ (D2 )âãðóïïóH, ÿäðîì ãîìîìîðôèçìà ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòû. Â] îñóùåñòâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçì ñ ÿäðîì 2πkf2 ,ñâîþ î÷åðåäü èç H â (Sym)] ∼k ∈ Z. Ò.ê. âñå ãðóïïû àáåëåâû, òî Sym= C∞ (D2 )/2πkf2 + C . Âåðíåìñÿê îïèñàíèþ ãðóïïû Sym. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò g ∈ Symãàìèëüòîíîâûõ ïîëåéïåðåñòàâëÿþùèé îñîáûå òî÷êè.