Лекция №4.1. Функции комплексного переменного (Лекции по дисциплине "Динамическое проектирование систем стабилизации летательных аппаратов")

Функции комплексного переменногоКомплексным числом называется выражение видаz  a  jbгдеa  Re z - действительная часть комплексного числа;b  Im z - мнимая часть комплексного числа;j   1 или j 2  1 .Амплитудно-фазочастотнуюхарактеристикуразомкнутойсистемы можно представить в виде:W ( j )  U ( )  jV ( )  W ( j ) e j ( ) .Замкнув разомкнутую систему обратной связью и подставив вполучившийсяполиномпередаточнойфункцииbm p m  bm1 p m1  ...

 b0Ф( p) an p n  an1 p n1  ...  a0p  j получим:где a( ) и q( ) четные функциифункции , q( )Ф ( j ) иa( )  jd ( ),q ( )  jf ( )f ( ) - нечетные.Выделив Ф( j ) в виде вещественной и мнимой частиполучим:Ф ( j )  P ( )  jQ ( )  A( )e j ( )  Ф ( j ) e j ( ) где P( ), Q( ), A( ), ( ) - полиномы отW ( j )1  W ( j ) ,.Следовательно, при заданном значениичастотыфункцияФ( j )векторвкомплекснаячастотнаяпредставляетплоскостисобойкомплексногоВектор комплекснойпеременного, имеющий амплитуду A ичастотной функциифазу  . Модулем комплексного числа z называется расстояние отначала координат до точки Ф( j ) :mod z  z  Ф ( j )  rАргументомкомплексногочислаzназываетсяугол,образованный радиусом-вектором точки Ф( j ) с положительнымнаправлением действительной оси:Argz   .При изменении частотыамплитуда и фаза вектора Ф( j )будут изменяться и конец вектора будет описывать в плоскостикомплексногопеременногокривую,котораяназываетсяамплитудно-фазовой характеристикой замкнутой системы.

ПриизменениичастотыбудутизменятьсятакжеивеличиныP( ), Q( ), A( ), ( ) , что дает возможность построить и этичастотныехарактеристики,которыесоответственнобудутназываться:P( )  A( ) cos  ( ) - вещественной или активной частотнойхарактеристикой,Q( )  A( ) sin  ( )- мнимой или реактивной частотнойхарактеристикой,A( )  P 2 ( )  Q 2 ( ) - амплитудной частотнойхарактеристикой, ( )  arctgQ( )P ( ) - фазовой частотной характеристикой.Ф( j )  A( )e j ( ) , а lg Ф( j )  lg A( )  j ( )Lm ( )  20 lg A( )  20 lg ( )  arctgAВЫХ ( )AВХ ( )Q( )P ( )Связь между разомкнутой и замкнутой частотнымихарактеристикамиЕсли представить частотные характеристики в виде:j (  )W ( j )  А( )e j ( ) и Ф( j )  Aз ( )e зФ ( j ) W ( j ), то можно в аналитическом виде получить связь1  W ( j )между разомкнутой и замкнутой частотными характеристиками:Аз ( ) А( )А ( )  2 А( ) cos  ( )  1 з ( )  arctgПоэтим2- амплитудночастотныеsin  ( )- фазочастотные характеристики.A( )  cos  ( )формуламсоздананомограммазамыканияилиномограмма Н.Никольса, которая позволяет по разомкнутымамплитуднофазочастотным характеристикам получить замкнутые иоценить требуемые запасы устойчивости.Если представить частотные характеристики в виде:W ( j )  U ( )  jV ( ) и Ф ( j )  P ( )  jQ ( ) , то подставив их вФ ( j ) W ( j )1  W ( j ) получим связь вещественных и мнимыхчастотных характеристик:Связь между вещественными разомкнутыми и замкнутымичастотными характеристикамиСвязь между мнимыми разомкнутыми и замкнутыми частотнымихарактеристикамиU ( )1  U ( )  V 2 ( )V ( )Р( ) и Q( ) 221  U ( )  V ( )1  U ( )2  V 2 ( )Связь между замкнутой частотной характеристикой ипереходными процессами системыW ( j )j (  )Ф(j)Ф(j)eВернемся к выражению1  W ( j ) иобозначимФ ( j )  М ( ) .характеристикеЕслизамкнутойопределенной частотевамплитудночастотнойсистемыестьмаксимумнаФ ( j ) мах  М мах ( ) , то назовем егокоэффициентом колебательности.

Коэффициент колебательностихарактеризует резонансные свойства замкнутой системы.Переходная характеристика определяется через вещественнуюхарактеристику замкнутой системы:h (t ) 2 P ( ) sin t0d ,что равносильноh (t ) Найдемплоскости,2 M ( ) cos  з ( ) sin t0геометрическоесоответствующееместоd .точекнапостоянномукомплекснойкоэффициентуколебательности:М ( ) W ( j )1  W ( j )илиМU 2 V 2(1  U ) 2  V 2.Возводя в квадрат левую и правую части равенства, получим:( M 2  1)U 2  ( M 2  1)V 2  2UM 2  M 2После деления всех членов наM4( M 2  1) 2M 2 1и прибавления и вычитания, получим:(U M2 2M22)VM 2 1( M 2  1) 2где222или (U  U 0 )  V  R ,M2U0   2M 1иRM.M 2 1Таким образом мы получили уравнение окружностей скоординатами центров U 0, j 0 и радиусамиR.Каждому показателю колебательности М соответствует свойрадиус окружности на комплексной плоскости.

При наличииокружностей одинаковых значений М амплитудная характеристиказамкнутой системыФ ( j )  М ( ) может быть определенапостроением на той же плоскостихарактеристики W ( j ) .Обеспечение заданного показателя колебательности в линейнойсистемесвязаностребованияминезахожденияамплитуднофазочастотной характеристики W ( j ) в некоторуюзапретную зону, охваченнуюокружностью заданного значенияМ  const .Переходяклогарифмическимотобразим запретные зонычастотнымМ  constхарактеристикамна логарифмическуюплоскость. Угол  , образованный вектором А, касающимсяокружности М  const , и отрицательной полуосью вещественныхчисел является искомым запасом устойчивости по фазе.

Определим222из геометрии запас устойчивости по фазе R  A  C  2 AC cos илиA2  C 2  R 2cos  2 AC, а через М:M 2  A2 ( M 2  1)  arccos.2 AM 2Графики  f (Lm) называются  -кривыми.Lm( )  20 lg A( )  20 lgAВЫХ ( )AВХ ( )LR  20 lg MТаблица 1№M АвыхАвхlgАвыхАвхLR  20 lg АвыхАвх1.1,0002.1,10,04140,733.1.20,0791,594.1,30,1142,285.1,40,1462,926.1,50,1763,527.1,60,2044,098.1,70,234,619.1,80,2555,10510.1.90,2795,57511.2,00,3026,02[дб]Подобным же образом можно оценивать коэффициент колебательностии в нелинейных системах.В этом случае необходимо провести гармоническую линеаризациюзаданной нелинейности и получить эквивалентную передаточнуюфункцию (комплекный коэффициент передачи)Wн ( )  q ( )  jq , ( )Критерий устойчивости НайквистаВернемся к записи замкнутой частотной характеристики черезразомкнутую:Ф ( j ) ЗнаменательэтойW ( j )1  W ( j )функцииназываетсяхарактеристическимуравнением.

Замкнутая система будет находится на границеустойчивости, если характеристическое уравнение будет равнонулю,т.е.1  W ( )  0 , илиформулировкуразомкнутаязамкнутойчастотногосистемасистемыW ( )  1 .критерияустойчива,необходимоНайквиста:тоиОтсюдадляполучим«Еслиустойчивостидостаточно,чтобыамплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутойцепи не охватывала точку (-1)».Тогда будет понятна связь между запасами устойчивости поамплитуде и фазе логарифмических частотных характеристик иамплитуднофазочастотнойплоскости.характеристикинакомплекснойСуществуют три основных вида приближенных оценоккачества переходных процессов:- частотные;- корневые;- интегральные.Корневые оценки качества переходных процессовКорневые оценки качества переходных процессов исследуютрасположение нулей и полюсов замкнутой системы на комплекснойплоскости.

Простейшая оценка – это степень удаленности отмнимой оси ближайшего корня.ВещественныйкореньПара комплесносопряженных корнейС1е tС1е t sin( 1t  C2 )Форма решенияВремя затуханияtп 1ln1 3 tп 1lnПериод колебаний0TКолебательность0гдеи-вещественнаяимнимая1 3 2частикорнейхарактеристического уравнения.Чем больше,тем слабее будет затухание в переходномпроцессе. Линии   const образуют центральный угол.

Задаваязначение степени устойчивости  и колебательности,можноопределить область, в которую на комплексной плоскости должныпопадать нули и полюса замкнутой системы. Для полученияхорошихпереходныхпроцессовжелательно,чтобынулипередаточной функции замкнутой системы располагались вблизи ееполюсов.Метод корневого годографаЕсли записать передаточную функцию разомкнутой системыкак W ( s )  kW0 ( s ) , то характеристическое уравнение замкнутойсистемы запишется в виде 1  kW0 (s)  0 . При фиксированныхзначенияхkплоскостикомплексногои W0 корни этого уравнения расположатся напеременноговполнеопределеннымобразом.

При варьировании коэффициента усиления k они будутперемещатьсяпонекоторымкривым,которыеназываютсякорневым годографом. Поскольку по распределению корнейзамкнутой системы можно судить об ее устойчивости и качествепереходныхпроцессов,то,выбираяизвсейсовокупностиблагоприятное расположение корней, получим требуемое значениекоэффициента усиленияk.Этот метод синтеза системы носитназвание метод корневого годографа (метод Эванса). ВыражениеkW0 ( s)  1 является основным уравнением метода корневогогодографа.WK ( s / 3  1)( s / 2  1)s ( s / 12  1)[( s / 2) 2  2  0,8  ( s / 2)  1]WK ( s / 3  1)s ( s / 12  1)[( s / 2) 2  2  0,8  ( s / 2)  1]Интегральные оценки качества переходных процессовИнтегральные оценки качества должны были одним числомоценить и величины отклонения и время затухания переходныхпроцессов.Для монотонного процесса интегральной оценкой качестваможет служить площадь под кривой переходного процесса:I1   x(t )dt .0Интеграл имеет конечное значение для любого решения x(t )линейного уравнения.

Процесс будет считаться тем лучше, чемменьше число I1 .Для колебательных процессов подобная оценка недопустима,т.к. нижние площади интеграла будут вычитаться из верхних и поминимумувеличиныI1наилучшимокажетсяпроцессснезатухающими колебаниями.В этом случае используют квадратичную оценку качества:I 2   x 2 (t )dt .0Чтобы получить быстрозатухающий, но достаточно плавныйпроцесс применяют улучшенную квадратичную интегральнуюоценку качества:2I К   [ x (t )  Т х (t )]dt .220Метод стандартных коэффициентовУправляемость и наблюдаемостьПри рассмотрении динамики многоконтурных и многомерныхсистемсталомодносистемулинейныхдифференциальныхуравнений движения записывать в векторно-матричной форме,переходя в координаты пространства состояний: Y  БY  AUСтруктурно-матричная схема объекта управленияУправляемость характеризует возможность перевода объектаиз начального состоянияY ( 0)в требуемое конечное состояниеYТР (T )за конечный промежуток времени с помощью управляющеговоздействияU (t ) .Объект называется вполне управляемым, если может бытьнайдено такое воздействиеU (t ) ,которое переводит за времявсе выходные координаты состоянияконечноесостояниеYТР (T ) .управляемогообъектаобеспечиваетпереводЭтоможнообъекта в требуемоеY ( 0)означает,найтикоординатчтотакоесостоянияпроизвольного заданного состояния0t TY ( 0)длявполнеU (t ) ,котороеизлюбогов начало координатпространства состояний.Физический смысл свойства наблюдаемости состоит в том,приичто по известным выходным координатамX (t )известном управляющем воздействииможно определитьсостояниявыходныхY (t ) , 0  t  TU (t )0t T.

На практике это означает, что по замерамкоординатдатчикамивозможноопределитьсоставляющие вектора выходных обобщенных координатвсеY (t ) .противном случае система является не полностью наблюдаемой.ВY1Б11 Б12 Б13 Б14Y20 Б 22 0 Б 24Y30 0 Б33 Б340 0 0 Б 44Y4Y1Y2Y3A1A2Y4U00где Бij, А1 и А2 – блочные матрицы. Если с помощью датчиковизмеряются выходные координаты объектаY2иY4 ,то Х2=Д2Y2 иХ4=Д4Y4.Перваястрокасистемыматричныхуравненийдаетуправляемую, но ненаблюдаемую часть объекта.

Вторая строкавыделяетуправляемуюинаблюдаемуючасть,третья–неуправляемую и ненаблюдаемую, четвертая – неуправляемую, нонаблюдаемую часть объекта..