-Docs-Eduwork-ag-AG14 (Конспект лекций)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÃÅÎÌÅÒÐÈßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀßÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1214.1. Однородные системыСледующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестнымиa11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0,a21 x1 + a22 x2 + .

. . + a2n xn = 0,(14.1). . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0.Теорема 14.1. Если столбцы x(1) , x(2) , . . . , x(s) — решения однородной СЛАУ Ax = 0, толюбая их линейная комбинация также является решением этой системы.PJ Рассмотримкомбинацию данных решений: x = sk=1 λk x(k) , λk ∈ R. ТогдаP любуюлинейнуюPsPss(k)(k)==Ax = Ak=1 λk 0 = 0, т.е. столбец x является решениемk=1 λk Axk=1 λk xоднородной СЛАУ Ax = 0. IJ Если x — ненулевое решение однородной СЛАУ, то для любого λ ∈ R решением однороднойСЛАУ является и λx, причем при λ1 6= λ2 решения λ1 x и λ2 x различаются. IОпределение 14.1.

Любой набор из k = n − r линейно независимых столбцов, являющихсярешениями однородной СЛАУ Ax = 0, где n — количество неизвестных в системе, а r — рангее матрицы A, называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.Теорема 14.2. Пусть дана однородная СЛАУ Ax = 0 с n неизвестными и Rg A = r. Тогдасуществует набор из k = n−r решений x(1) , .

. . , x(k) этой СЛАУ, образующих фундаментальнуюсистему решений.121ÔÍ-12При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице A однородной СЛАУ Ax = 0фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными,или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.ÌÃÒÓЕстественно попытаться найти такие решения x(1) , . . .

, x(s) системы Ax = 0, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притомединственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.ÔÍ-12Следствие 14.1. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓСвойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ,теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема оструктуре общего решения однородной СЛАУ.

Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.ÔÍ-12ÔÍ-12СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХИ НЕОДНОРОДНЫХ СЛАУÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 14ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ(1)xr+1 = 0,(1)xr+2 = 1,...xr+1 = 1,xr+2 = 0,...xr+1 = 0,(2)xr+2 = 0,...(k)(k)...(2)xn = 0;(14.3)(k)xn = 1.ÔÍ-12образуют фундаментальную систему решений.

Так как эти столбцы по построению являютсярешениями однородной системы Ax = 0 и их количество равно k, то, в соответствии с определением 14.1 фундаментальной системы решений, остается доказать линейную независимостьрешений (14.4). Пусть есть некоторая линейная комбинация решений x(1) , . . . , x(k) , равнаянулевому столбцу:α1 x(1) + . . . + αk x(k) = 0.ÌÃÒÓЗдесь номер серии указан верхним индексом в скобках, а сами серии значений выписаны в виде(i)(i)столбцов. В каждой серии xr+j = 1, если j = i, и xr+j = 0, если j 6= i.(i)Далее, i-й серии значений свободных неизвестных однозначно соответствуют значения x1 ,(i). .

. , xr базисных неизвестных. Значения свободных и базисных неизвестных в совокупностидают решение системы (14.2). Покажем, что столбцы(i)x 1  (i)  x2 x(i) = i = 1, k,(14.4) .. , . (i)xnÔÍ-12(1)xn = 0;(2)ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЕсли мы зададим произвольные значения свободных неизвестных xr+1 , . . . , xn , то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, решение которой существует и единственно.

Таким образом, любое решение однородной СЛАУоднозначно определяется значениями свободных неизвестных xr+1 , . . . , xn . Рассмотрим следующие k = n − r серий значений свободных неизвестных xr+1 , . . . , xn :ÌÃÒÓÔÍ-12Разделим неизвестные на базисные x1 , . . . , xr и свободные xr+1 , . . . , xn , перенеся последниев правую часть, а в левой оставив базисные:a11 x1 + a12 x2 + .

. . + a1r xr = −a1,r+1 xr+1 − . . . − a1n xn ,a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2r xr = −a2,r+1 xr+1 − . . . − a2n xn ,(14.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ar1 x1 + ar2 x2 + . . . + arr xr = −ar,r+1 xr+1 − . . . − arn xn .ÔÍ-12ÌÃÒÓJ Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы A сосредоточенв верхнем левом углу, т.е.

расположен в строках 1, 2, . . . , r и столбцах 1, 2, . . . , r. Тогдаостальные строки матрицы A, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, являются линейнымикомбинациями базисных строк. Для системы Ax = 0 это означает, что если значения х1 , . . . , хnудовлетворяют уравнениям, соответствующим строкам базисного минора, т.е. первым r уравнениям, то они удовлетворяют и остальным уравнениям. Следовательно, множество решенийсистемы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r + 1)-го. Сделав это, получимсистемуa11 x1 + a12 x2 + . . .

+ a1n xn = 0,a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . .ar1 x1 + ar2 x2 + . . . + arn xn = 0.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ122ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. СВОЙСТВАРЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХИ НЕОДНОРОДНЫХСЛАУÌÃÒÓТогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами r + 1,. .

. , n равны нулю. Но (r+1)-я компонента равна α1 1+α2 0+. . .+αk 0 = α1 . Аналогично, (r+2)-якомпонента равна α2 и, наконец, k-я компонента равна αk . Поэтому α1 = α2 = . . . = αk = 0, чтоозначает линейную независимость решений x(1) , . . . , x(k) . IПостроенная при доказательстве теоремы 14.2 фундаментальная система решений (14.4)имеет достаточно специальный вид, поскольку, согласно (14.3), в любом из решений (14.4) всезначения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице. Такиефундаментальные системы решений называют нормальными.Следствие 14.2.

С помощью нормальной фундаментальной системы решений (14.4) однородной СЛАУ (14.1) множество всех решений можно описать формулойx = c1 x(1) + . . . + ck x(k) ,(14.5)ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ123ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. СВОЙСТВАРЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХИ НЕОДНОРОДНЫХСЛАУÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 14.3. Если x(1) , . . . , x(k) — произвольная фундаментальная система решенийоднородной СЛАУ Ax = 0, то любое ее решение x можно представить в видеx = c1 x(1) + . . . + ck x(k) ,(14.6)где c1 , . . . , ck — некоторые постоянные. #Сформулированную теорему называют теоремой о структуре общего решения однородной СЛАУ.

Это вызвано тем, что, согласно теоремам 14.1 и 14.3, при заданной фундаментальной системе решений x(1) , . . . , x(k) однородной СЛАУ (14.1) выражение(14.7)где с1 , . . . , ck принимают произвольные значения, описывает все множество решений. Соотношение (14.7) называют общим решением однородной СЛАУ.ÌÃÒÓxоо = c1 x(1) + . . . + ck x(k) ,ÔÍ-12ÌÃÒÓОднородная СЛАУ (14.1) может иметь не только нормальные фундаментальные системырешений, но и другие фундаментальные системы решений. Оказывается, что утверждениеследствия 14.2 имеет место не только для нормальной фундаментальной системы решений, нои для произвольной фундаментальной системы решений, что и утверждает следующая теорема.ÌÃÒÓJ Согласно теореме 14.1, столбец (14.5) является решением рассматриваемой однородной СЛАУтAx = 0.

Поэтому остается доказать, что любое решение g = g1 , g2 , . . . , gn этой однороднойСЛАУ можно представить в виде (14.5). Рассмотрим столбец x = gr+1 x(1) + . . . + gn x(k) . Этотстолбец совпадает со столбцом g по элементам с номерами r + 1, . . . , n и является решениемСЛАУ (14.2). Поэтому столбцы g и x совпадают, так как решения системы (14.2) однозначноопределяются набором значений ее свободных неизвестных xr+1 , . . . , xn , а у столбцов g и xэти наборы совпадают.

Следовательно, g = x = gr+1 x(1) + . . . + gn x(k) , т.е. решение g естьлинейная комбинация столбцов x(1) , . . . , x(k) нормальной фундаментальной системы решений,что завершает доказательство. IÔÍ-12ÔÍ-12где постоянные сi , i = 1, k, принимают произвольные значения.Рассмотрим произвольную СЛАУ Ax = b. Заменив столбец b свободных членов нулевым,получим однородную СЛАУ Ax = 0, соответствующую неоднородной СЛАУ Ax = b. Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.Теорема 14.4. Пусть столбец x◦ — некоторое решение СЛАУ Ax = b. Произвольныйстолбец x является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представлениеx = x◦ + y, где y — решение соответствующей однородной СЛАУ Ay = 0.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-1214.2.

Неоднородные системыÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 14.5. Пусть x◦ — частное решение СЛАУ Ax = b и известна фундаментальнаясистема решений x(1) , . . . , x(k) соответствующей однородной системы Ax = 0. Тогда любоерешение СЛАУ Ax = b можно представить в видеx = x◦ + c1 x(1) + c2 x(2) + . . . + ck x(k) ,(14.8)ÔÍ-12Теорема 14.4 сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описатьвсе решения неоднородной СЛАУ, достаточно знать одно ее решение (частное решение) и всерешения соответствующей однородной СЛАУ.Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме 13.1 Кронекера — Капелли), а во-вторых, найти частное решение x◦ этойсистемы, чтобы свести ее к однородной системе.Следствием теорем 14.3 и 14.4 является теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.Следствие 14.3.

Пусть x0 и x00 — решения неоднородной системы Ax = b. Тогда ихразность y = x0 − x00 является решением соответствующей однородной системы Ay = 0.ÌÃÒÓJ Если x — решение СЛАУ Ax = b, то A(x − x◦ ) = Ax − Ax◦ = b − b = 0. Поэтомустолбец y = x − x◦ является решением соответствующей однородной СЛАУ, и мы получаемпредставление x = x◦ + y.Наоборот, если y — произвольное решение соответствующей однородной системы, то x == x◦ + y — решение системы Ax = b, так как A(x◦ + y) = Ax◦ + Ay = b + 0 = b. IÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ124ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. СВОЙСТВАРЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХИ НЕОДНОРОДНЫХСЛАУ(14.9)при произвольных постоянных ci ∈ R, i = 1, k, описывает все множество решений СЛАУAx = b. Формулу (14.9) называют общим решением СЛАУ.Как найти частное решение неоднородной СЛАУ Ax = b? Пусть для соответствующейоднородной системы Ax = 0 выбраны базисные и свободные неизвестные.