KIR10-11 (Конспект лекций - Кратные интегралы и ряды - А.Н. Канатников)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. ÊàíàòíèêîâÊÐÀÒÍÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÛÈ ÐßÄÛÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÄëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè<Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà>ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОсновные понятия теории поля.

Скалярное поле и его характеристики. Векторное поле. Векторныелинии и трубки. Дифференциальные уравнения векторных линий. Линейный интеграл и циркуляциявекторного поля. Формула Стокса. Вихрь (ротор) векторного поля и его свойства. Поток векторногополя. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского — Гаусса. Формулы для вычислениядивергенции и ротора векторного поля.10.1.

Скалярные и векторные поляЕсли скалярное поле характеризуется поверхностями уровня, то векторное поле может характеризоваться векторными линиями. Если векторное поле представляет собой поле скоростей текущейжидкости, то векторная линия указывает траекторию движения частиц жидкости. Эта траектория ха45ÔÍ-1210.2. Векторные трубкиÌÃÒÓПример 10.1.

Рассмотрим поле температур U в пространстве. Тепло в пространстве движетсяв сторону убывания температуры, причем тем быстрее, чем быстрее убывает температура. Поэтому градиент температурного поля противоположен вектору потока тепла, так как вектор − grad Uпоказывает направление наибольшего убывания температуры. Так как величина потока тепла пропорциональна скорости убывания температуры, получаем формулу для векторного поля потокатепла: q = −k grad U .ÔÍ-12Формулы для вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов громоздки и недостаточно удобны.

Их можно упростить, если использовать векторную форму записи. Кроме того,векторные понятия имеют более наглядный смысл, так как берут свое начало в математических приложениях (механика, физика).Простейшими математическими величинами, которыми оперируют в механике и физике, являютсяскаляры и векторы. Если в некоторой трехмерной области G в каждой точке определен скаляр (т.е.число), то говорят, что в G задано скалярное поле. Таким образом, скалярное поле — это функцияточки, имеющая скалярные значения.

Введя в пространстве систему координат, мы можем описыватьточки тройками чисел. Соответственно, скалярное поле будет описываться функцией трех переменных. Короче говоря, скалярное поле с математической точки зрения есть скалярная функция от трехпеременных.Аналогично, если в каждой точке области G определен вектор, то говорят, что в G задано векторное поле.

В заданной системе координат векторное поле описывается отображением R3 → R3или тремя скалярными функциями от трех переменных.Для представления скалярного поля используют его поверхности уровня, т.е. поверхности, накоторых поле имеет постоянное значение. Если скалярное поле описывается функцией F (x, y, z), тоего поверхности уровня описываются уравнениями F (x, y, z) = C, где C — постоянная, конкретноезначение которой определяет конкретную поверхность уровня. Через каждую точку проходит поверхность уровня, и при том только одна. Это значит, что область расслаивается“ на поверхности уровня”скалярного поля.Если в некоторой (декартовой) системе координат скалярное поле описывается функцией F (x, y, z),то вектор (Fx0 , Fy0 , Fz0 ), координатами которого являются частные производные функции F , вычисленные в данной точке, имеет особое значение.

Он показывает в данной точке направление наибольшегороста функции. В силу этого его выбор не связан с выбором системы координат, так как направлениенаибольшего роста не зависит от системы координат. Этот вектор называют градиентом скалярного поля и обозначают grad F . Так как градиент может быть вычислен в любой точке областиопределения скалярного поля, то мы, по-существу, получаем векторное поле градиента. Градиент в каждой точке перпендикулярен (ортогонален) поверхности уровня.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯÔÍ-12ÔÍ-12Лекция 10ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ46рактеризуется тем, что в каждой ее точке вектор поля касается кривой (вектор поля попросту являетсявектором скорости движущейся частицы).Пусть в области G задано векторное поле v. Пусть в этой области параметрически задана криваяγ в виде x = ϕ(τ )y = ψ(τ )z = χ(τ )Тогда вектор с кординатами {ϕ0 (τ ), ψ 0 (τ ), χ0 (τ )} является касательным к кривой.

Если γ являетсявекторной линией для v, то этот вектор должен быть касателен к вектору v(ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ )). Записавусловие коллинарности:ϕ0 (τ ) = λvx ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ ) , ψ 0 (τ ) = λvy ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ ) , χ0 (τ ) = λvz ϕ(τ ), ψ(τ ), χ(τ ) ,ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯÔÍ-12y 0 = λvy (x, y, z),z 0 = λvz (x, y, z),ÔÍ-12ÔÍ-12dydzdx==,vxvyvzÌÃÒÓкоторые называют уравнениями векторных линий.Если поверхность S такова, что в каждой точке вектор v касается этой поверхности, то ее называютвекторной поверхностью. Векторная поверхность характеризуется тем, что если векторная линияначинается на этой поверхности, то она все время остается на ней.

Векторную поверхность можнополучить, если выбрать кривую γ, не являющуюся векторной линией, а затем образовать поверхностьиз всех векторных линий, пересекающих γ. Если кривая γ представляет собой простой контур, топостроенную таким образом векторную поверхность называют векторной трубкой (рис. 10.1).x0 = λvx (x, y, z),ÔÍ-12Коэффициент λ связан с выбором параметризации кривой (иными словами, со скоростью прохождениякривой). Избавляясь от него, приходим к уравнениямÌÃÒÓгде vx , vy , vz — координаты векторного поля. Эти уравнения означают, что параметрически заданнаякривая является решением системы дифференциальных уравненийПусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a с координатами ax , ay , az в данной системекоординат. Криволинейный интегралZZax dx + ay dy + az dz = adrγγна самом деле от системы координат не зависит, что и фиксирует его новая запись. В векторноманализе его называют линейным интегралом.

Новая, векторная форма записи подчеркивает физическую интерпретацию этого интеграла как работу силового поля a при перемещении материальнойточки единичной массы.Если линейный интеграл вычисляется по контуру, т.е. кривая γ замкнута, то его называют циркуляцией векторного поля.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-1210.3.

Линейный интеграл и потокÌÃÒÓÌÃÒÓРис. 10.1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ47Поверхностный интеграл 2-го родаZZZZax dydz + ay dzdx + az dxdy =(ax cos α + ay cos β + az cos γ) dSSSназывают потоком векторного поля через поверхность S. Физический смысл этого интеграла— количество жидкости, протекающей через площадку, если векторное поле представляет собой полескоростей текущей жидкости. Альтернатива — явления переноса, например, тепла, газа, заряда и т.п.10.4.

Вихрь и формула Стоксаγγint γÌÃÒÓна ay означает взятие соответствующей частной производной.где умножение“, например,∂x”Хотя вихрь определен в координатной форме, на самом деле выбор системы координат не являетсясущественным, так как проекции этого вектораRadrÌÃÒÓна вектор нормали.

Этот вектор в теории поля называют вихрем или ротором векторного поля a.Обозначение: b = rot a. Вихрь векторного поля a с учетом правил раскрытия определителей можетбыть вычислен по формуле ijk ∂∂ rot a = ∂, ∂x ∂y ∂z ax ay az ÔÍ-12При фиксированном векторе нормали n полученный поверхностный интеграл имеет предел пристягивании контура в точку, равный скалярному произведению bn вектора∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay ∂axb=−,−,−∂y∂z ∂z∂x ∂x∂yÔÍ-12Циркуляция является протяженной характеристикой, но если контур исчезающе мал, то циркуляция уже характеризует поведение поля в окрестности точки.

Пусть контур γ расположен в плоскостис единичным вектором нормали n. Тогда по формуле Стокса IIZ Z ∂ay∂ay∂az∂ax ∂az∂axadr = ax dx + ay dy + az dz =nx +ny +nz dS−−−∂y∂z∂z∂x∂x∂yÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯlimµ(Sn )→0∂Snµ(Sn )(Sn — площадка, перпендикулярная вектору n) не зависят от какой-либо системы координат.Формула Стокса принимает видIZZadr =n rot a dS,γint γв котором ее чаще всего и используют.ÌÃÒÓ10.5.

Дивергенция и формула ОстроградскогоПоток, также являясь интегральной, протяженной характеристикой, в пределе приводит к локальной характеристике. Пусть векторное поле гладко в области G. Выберем в G некоторый объем V ,ограниченный гладкой поверхностью ∂V . Применим к нему формулу Остроградского:ZZZZZZZ ∂az∂ax ∂ay++dxdydz.⊂⊃ andS = ⊂⊃ ax dydz + ay dzdx + az dxdy =∂x∂y∂zVÔÍ-12ÌÃÒÓ∂VÌÃÒÓÔÍ-12∂VÔÍ-12ÔÍ-12(rot a)n =ÔÍ-12ÌÃÒÓ∂ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ48В пределе, когда диаметр объема V стремится к 0, полученный тройной интеграл сходится к значениюподинтегральной функции, если, конечно, эта функция непрерывна.

Величина∂ax ∂ay∂az++,∂x∂y∂zвычисленная в точке, называется дивергенцией векторного поля a в этой точке и обозначаетсяdiv a. Другое определение дивергенции вытекает из формулы Остроградского: div a — это число,равноеRRRandS∂Vdiv a = limV →0µ(V )(поток на единицу объема). Эта формула показывает, что дивергенция не связана с выбором системыкоординат.

С учетом введенного понятия формула Остроградского принимает видZZZZZdiv a dv,⊂⊃ an dS =ÔÍ-12V∂VÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓгде dv — дифференциал объема, dv ≡ dxdydz.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПотенциальное векторное поле и его свойства. Соленоидальное векторное поле и его свойства. Гармоническое (лапласово) поле и его свойства. Оператор Гамильтона и его применение в теории поля.Векторные дифференциальные операции второго порядка.11.1. Векторные дифференциальные операции 2-го порядкаВихрь и дивергенция являются дифференциальными операциями, которые выполняются над векторными полями. Над скалярными полями может выполняться одна операция: взятие градиента.Эти три операции могут выполняться последовательно в определенных комбинациях, причем некоторые комбинации приводят к тривиальным результатам, а некоторые — к дифференциальнымоперациям второго порядка.Если исходный объект является скалярным полем, то первой операцией, которую к нему можноприменить — это градиент.