KIR01-09 (Конспект лекций - Кратные интегралы и ряды - А.Н. Канатников)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. ÊàíàòíèêîâÊÐÀÒÍÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÛÈ ÐßÄÛÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÄëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè<Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà>ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓМы приступаем к изучению различных обобщений определенного интеграла. Первое — кратныйинтеграл (в частности, двойной, тройной). Рассмотрим следующий пример.Пример 1.1.

Пусть имеется плоская пластинка некоторой формы с распределенным на ней электрическим зарядом (рис. 1.1). Распределение заряда описывается плотностью, т.е. количеством зарядана единицу площади. Плотность есть функция точки на плоскости, т.е.функция двух переменных, которую мы обозначим q(x, y).Чтобы приближенно вычислить общий заряд на пластинке, нужноразбить пластинку S на мелкие части ∆Si так, что плотность на каждой части условно постоянна. Тогда количество заряда на ∆Si равнопроизведению плотности, соответствующей этой части, на площадь.Суммируя, получаем приближенный результатXQ≈q(xi , yi )∆Si .Рис. 1.1i1.1. Площадь плоского множестваÔÍ-121ÌÃÒÓПлощадь — это мера плоских множеств, т.е. закон, который плоскому множеству X ставит всоответствие число µ(X).

При этом должны выполняться несколько важнейших свойств:а) µ(X) > 0;б) площадь аддитивна, т.е. если X1 и X2 не пересекаются, то µ(X1 ∪ X2 ) = µ(X1 ) + µ(X2 ). Из этогосвойства и из а) следует, что при X1 ⊂ X2 должно быть µ(X1 ) 6 µ(X2 );в) площадь фигуры не меняется при ее перемещении (движении) по плоскости;г) площадь квадрата со стороной 1 равна 1.Естественно предполагать, что объединение, пересечение, теоретико-множественная разность измеримых множеств является измеримым множеством (неявно это присутствует в свойстве б) ). Исходяиз указанных свойств мы можем доказать, что любой отрезок измерим и имеет меру 0. Действительно,отрезок длины l может быть целиком накрыт совокупностью из lp квадратов со стороной 1/p.

Значит, мера отрезка не может превосходить lp-кратную площадь одного квадрата. С другой стороны,в квадрат со стороной 1 можно уложить без пересечений (p − 1)2 квадратов со стороной 1/p. Значит,квадрат со стороной 1/p имеет площадь Sp не более (p − 1)−2 , а отрезок имеет площадь не вышеlp(p − 1)−2 . Но чем больше натуральный параметр p, тем меньше полученная оценка, а при p → ∞она дает 0.Так как мера любого отрезка равна 0, то мы можем показать, что мера любого квадрата со стороной1/p в точности равна 1/p2 , так как в квадрате со стороной 1 их можно уложить ровно p2 , если непринимать во внимание совмещение их границ (границы квадратов имеют меру 0).ÔÍ-12Точный результат мы получим, если перейдем к пределу, при котором линейные размеры каждойчасти разбиения неограниченно уменьшаются.Полученная сумма напоминает интегральную, но отличается тем, что вместо длин отрезков разбиения интервала интегрирования используются площади элементов разбиения.Для построения теории нам необходимо точное определение площади фигуры.

Не для всякогоплоского множества можно определить площадь. Для каких можно? Как определить?ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЗадача о вычислении площади и объема. Понятие объема в n-мерном арифметическом пространстве.Измеримые множества. Мера Жордана. Кратный интеграл, теорема о существовании. Свойствакратного интеграла.ÔÍ-12ÔÍ-12МЕРА ЖОРДАНАÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12n→∞Если величины µ(S) и µ(S) совпадают, то их общее значение называют площадью или меройЖордана фигуры (множества) S.

Однако эти значения могут не совпадать. Это значит, что фигураS не имеет площади. Величину µ(S) называют внутренней (нижней) мерой Жордана длямножества S, а величину µ(S) — внешней (верхней) мерой Жордана.Задача. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон.при n → ∞. Очевидно, верно и обратное утверждение: если граница множества имеет меру 0, томножество измеримо (имеет площадь).Пример. График непрерывной функции имеет меру 0, а фигура, ограниченная графиком функции,осью Ox и двумя вертикальными прямыми (криволинейная трапеция) измерима.ÔÍ-12µ(∆Xn ) = µ(X n ) − µ(X n ) → 0ÌÃÒÓМожет получиться так, что множество S не будет содержать ни одного квадрата сетки, как бымы ни измельчали ее (например, S не имеет внутренних точек а потому не может содержать целикомникакого квадрата).

Тогда по определению нижняя мера Жордана равна 0. Это, в частности будет,если верхняя мера Жордана равна 0. В последнем случае множество имеет площадь, равную нулю(например, отрезок прямой).Множества, у которых верхняя мера Жордана равна 0, называют множествами меры 0. Еслимножество X имеет площадь, то множество ∂X его граничных точек имеет меру 0. Действительно,построив последовательность фигур {X n } и {X n }, мы получим последовательность множеств ∆Xn == X n \ X n , покрывающих ∂X, причемÔÍ-12Замечание. При построении меры Жордана допущен произвол в выборе системы координат (ориентация и начало отсчета сетки) и в значении параметров a, p (размер сетки и кратность измельчения).Однако величина площади, как, впрочем, и верхняя и нижняя меры Жордана, не может зависеть отэтих параметров.

Докажите, что это так. Отметим также, что площадь фигуры можно измерять нетолько подсчетом квадратов сетки, но и заполнением ее другими простейшими (прямоугольниками,трапециями, треугольниками). Например, площадь криволинейной трапеции измеряется суммой площадей вписанных прямоугольников, что в пределе дает определенный интеграл. И при таком подходеполучаем тот же результат (почему?).ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12lim µ(S n ) = µ(S) 6 µ(S) = lim µ(S n ).n→∞ÌÃÒÓÌÃÒÓРассмотрим плоскую ограниченную фигуру S (рис. 1.1).

Длявычисления ее площади нужно покрыть ее сеткой и подсчитатьсуммарную площадь ячеек сетки, накрывающих фигуру (рис. 1.2).Проще всего, чтобы ячейки сетки были квадратами одинакового размера. Для этого выберем на плоскости систему координат Oxy, и разделим плоскость на квадраты прямыми x = ia,i = 0, ±1, ±2, . . ., и y = ja, j = 0, ±1, ±2, . . .

Получаем сеткуиз квадратов со стороной a. Объединим все квадраты сетки, целиком попавшие в S. Получим множество S. Часть квадратов неРис. 1.2попадает в S, а накрывается ею частично. Объединим все квадраты, пересекающиеся с S (но, возможно, не лежащие в S целиком).Получим фигуру S. Очевидно, что S ⊂ S ⊂ S. Поэтому µ(S) 6 µ(S) 6 µ(S).Разобъем каждый квадрат сетки на p2 частей, проведя дополнительные прямые x = ia/p и y = ja/p.Тогда новая сетка образует два множества S 1 и S 1 из более мелких квадратов, причем S ⊂ S 1 ⊂ S ⊂S 1 ⊂ S.Продолжая процесс измельчения сетки, получим последовательности S ⊂ S 1 ⊂ . . . ⊂ S k ⊂ . .

. иS ⊃ S 1 ⊃ . . . ⊃ S k ⊃ . . . Последовательности {µ(S n )} и {µ(S n )} являются монотонными и потомуимеют предел, причемÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ2ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. МЕРА ЖОРДАНАÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Пусть функция f (x, y) от двух переменных определена и ограничена на измеримом (по Жордану)множестве S 1 . Разобъем множество S на части ∆Si , i = 1, . .

. , k, измеримые по Жордану, в каждойиз них возьмем точку ξi с координатами (xi , yi ) и образуем суммуkXf (xi , yi )µ(∆Si ).i=1Множество T из всех частей ∆Si называют разбиением множества S. Величинаd(X) = max{AB, A ∈ X, B ∈ X},(1.1)ÔÍ-12равная максимально возможному расстоянию между точками множества X называется диаметроммножества X. Максимальный из диаметров d(∆Si ) составляющих разбиение T частей называютдиаметром d(T ) этого разбиения. Сумма (1.1) — это интегральная сумма для функции f ,соответствующая разбиению T .Если для любой последовательности разбиений Tk , удовлетворяющей условию d(Tk ) → 0 при k →→ ∞, существует предел интегральных сумм lim σk , то функция f называется интегрируемой намножестве S.

В этом случае предел не зависит от выбора последовательности разбиений (ответьте,почему?). Он называется интегралом функции f по множеству S и обозначаетсяZZf dxdy.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ31.2. Двойной интегралσk =ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. МЕРА ЖОРДАНАn = 1, 2, . . .Пределыµ(S) = lim µ(S n ),µ(S) = lim µ(S n ),n→∞существующие в силу монотонности последовательностей, называются, соответственно, внутренней(нижней) и внешней (верхней) мерами Жордана. Если внутренняя и внешняя меры Жорданаданного множества S совпадают, то S называют измеримым (по Жордану), а совпадающее значение — мерой Жордана. Если внешняя мера Жордана равна 0, то множество называют множествоммеры 0.1Из построения меры Жордана следует, что измеримое множество S должно покрываться конечным набором квадратов и, следовательно, является ограниченным.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12n→∞ÌÃÒÓназываемое n-мерным единичным кубом, которому припишем меру (nnb-мерный объем) 1.

Будем исходить из свойств меры, ранее сформулированных для площади (свойства а)–г)).Рассмотрим произвольное ограниченное множество S ∈ Rn . Для его измерения построим сетку,проведя гиперплоскости xi = ka, k = 0, ±1, ±2, . . ., параллельные координатным и отстоящие друг отдруга на расстояние a. В результате все пространство разобьется на n-мерные кубы со стороной a.Объединение всех кубов, целиком лежащих в S, обозначим S. Объединение всех кубов, пересекающихсяс S, обозначим S. Ясно, что S ⊂ S ⊂ S. Объем одного куба равен an , объем множества S илиS равен произведению количества кубов сетки, попавших в множество, на величину an .