Экзаменационная программа для ибм

Экзаменационная программа по курсу«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ (2 курс, 3 семестр) 2011-12. Поток Васильева Н.С.Модуль 1. Теория вероятностей1. Вероятностный эксперимент, элементарные и сложные события. Алгебрасобытий. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая схемавероятности. Геометрическая вероятность. Аксиоматическое определениевероятностного пространства.2. Элементы комбинаторики. Основные правила комбинаторики.

Формулы длячисла перестановок, сочетаний и размещений (с доказательством).Полиномиальное и гипергеометрическое распределение.3. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Независимостьпопарная и в совокупности. Формула умножения вероятностей для зависимых инезависимых событий.4. Формула сложения вероятностей совместных и несовместных событий.Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством).5. Схема Бернулли (Вывод формулы Бернулли). Предельные теоремы Пуассона иМуавра-Лапласа (Вывод локальной формулы из интегральной).6. Случайные величины и их законы распределения.

Функция распределения,плотность распределения и их свойства (с доказательством). Дискретные инепрерывные случайные величины.7. Основные законы распределения: геометрическое, экспоненциальное (уметьдоказывать отсутствие последействия); биномиальное, пуассоновское,нормальное; полиномиальное.8. Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание идисперсия) и их свойства.

Моменты k - го порядка – начальные и центральные.9. Функция от случайной величины. Ее распределение и числовые характеристики.10. Пара случайных величин (дискретный и непрерывный случаи). Совместнаяфункция распределения, её свойства. Совместная и частная плотности.Условные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции парыслучайных величин, их свойства.

Свойства ковариационной матрицы.11. Двумерное нормальное (гауссовское) распределение (знать матричную формузаписи). Смысл параметров. Вывести формулу условного распределения.12. Гамма-функция, ее свойства и применение для вычисления несобственныхинтегралов.13. Гамма-распределение и его свойства.14. Распределение суммы независимых случайных величин, Доказательствоформулы свертки плотностей. Свертка гамма – плотностей.

Формула дляплотности распределения χ 2 .15. Производящая функции случайной величины, её свойства. Использование длявычисления моментов.16. Центральная предельная теорема (формулировка).17. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Бернулли и в формеЧебышева. Усиленный закон больших чисел (формулировки).Модуль 2. Математическая статистика1. Задачи математической статистики. Выборка, вариационный ряд,эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко-Кантелли.2.

Эмпирические моменты k –го порядка – начальные и центральные.3. Точечное оценивание параметров. Состоятельность, несмещенность иэффективность оценок.4. Неравенство Рао-Крамера. Доказать, что эмпирическое среднее – несмещенная иэффективная (при известной дисперсии) оценка для неизвестногоматематического ожидания.5. Оценивание параметров методами моментов и максимального правдоподобия.Оценивание параметров известных распределений.6. Распределения χ 2 и Стьюдента их свойства и применения в математическойстатистике.7. Понятие доверительного интервала (с заданным уровнем доверия).

Методпостроения доверительного интервала (при помощи центральных статистик).8. Доверительные интервалы для параметров гауссовой случайной величины математического ожидания и дисперсии (при известном или неизвестномзначении другого параметра).9. Построение доверительных интервалов для параметров пуассоновского иэкспоненциального распределений (с обоснованием).10. Построение приближенного доверительного интервала для вероятности успехав схеме Бернулли (с обоснованием).11.

Задача о проверке гипотез. Ошибки первого и второго рода. Понятиекритической области. Мощность критерия.12. Оптимальность критерия. Лемма Неймана-Пирсона о выборе критическойобласти. Проверка гипотез о значении математического ожидания и дисперсиигауссовой случайной величины с известным (неизвестным) значением второгопараметра.13. Сравнение гипотез о параметрах двух нормальных генеральных совокупностей.14. Критерии согласия χ 2 Пирсона и Колмогорова.15. Метод наименьших квадратов. Точечное оценивание коэффициентов линейнойрегрессии.Дополнительные вопросы (сверх обязательной программы).Студенты могут их подготовить по своему желанию1.Характеристическая функция случайной величины, ее свойства ииспользование для вычисления моментов случайных величин?2.Какое нужно выполнить преобразование равномерно распределенной наотрезке [ a ; b ] случайной величины ξ , чтобы получить показательнораспределенную величину η с заданным параметром λ ?3.Доказать устойчивость нормального распределения относительносложения, т.е.

что если ξ1 и ξ2 независимые случайные величины си a2 , σ 2 соответственно, то η = ξ1 + ξ2 тожепараметрами a1, σ 1распределена нормально ( с какими параметрами?)4.Различные виды сходимости случайных величин, связь между ними.5.Независимые случайные величины ξ1 и ξ2 имеют геометрическоераспределение (с параметрами p1 и p2 ). Доказать, что случайная величинаη = min{ξ1; ξ2 } также распределена геометрически и найти её параметр.6.Каково предельное распределение для распределения Стьюдента приувеличении до бесконечности числа его степеней свободы?7.Вычислитьхарактеристическуюфункциюдляпоказательногораспределения8.Доказать: неравенство Чебышева.

Доказать закон больших чисел в формеБернулли и в форме Чебышева.9.Вычислить производящую функцию для распределения Бернулли10. Вычислить характеристическую функцию для нормального распределения11. Вычислить производящую функцию для геометрического распределения12. Доказать устойчивость распределения Пуассона относительно сложения(при одинаковых значениях параметра)13. Доказать эффективность оценки µˆ = X математического ожидания µнормальной случайной величины с известной дисперсией..