МДТТ дз2 (Вариант 10 дз2)

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования«Московский государственный технический университетимени Н.Э. Баумана»(МГТУ им. Н.Э. Баумана)Специальное машиностроениеФАКУЛЬТЕТКосмические аппараты и ракеты-носителиКАФЕДРАДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №2По курсу:Механика деформированного твердого тела-Вариант № 10СтудентПреподавательСМ1-81Г.С. Нахапетян(Группа)(И.О. Фамилия)СМ1Б.С. Сарбаев(Кафедра)(И.О.

Фамилия)Москва 2015Условие заданияМногослойный композиционный материал с симметричным перекрестным армированием (уголармирования ߮) изготовлен из однонаправленного КМ со следующими характеристиками:‫ܧ‬ଵ = 80 ሾГПаሿ ‫ܧ‬ଶ = 8 ሾГПаሿ ‫ܩ‬ଵଶ = 6 ሾГПаሿ‫ܨ‬ାଵ = 1600 ሾМПаሿ‫ܨ‬ାଶ = 80 ሾМПаሿ‫ିܨ‬ଵ = 800 ሾМПаሿߥଵଶ = 0.3‫ିܨ‬ଶ = 400 ሾМПаሿ‫ܨ‬ଵଶ = 60 ሾМПаሿДля однонаправленного КМ выполняется квадратичный критерий разрушения следующего вида:݂ଵ ߪଵଵ + ݂ଶ ߪଶଶ + ݂ଵଵ ߪଵଵ ଶ + ݂ଶଶ ߪଶଶ ଶ + ݂ଵଶ ߪଵଶ ଶ = 1(1)Необходимо:1) Определить коэффициенты в равенстве (1);2) Для однонаправленного КМ и заданного луча нагружения (см. таблицу) определитьпредельные напряжения и указать полученные значения на соответствующей кривойразрушения;3) Для многослойного КМ на плоскости напряжений ߪ௫ − ߪ௬ построить кривую разрушения(значения угла ߮ приведено ниже)Исходные данныеЛуч нагружения:Угол армирования:ߪଶଶ = 7ߪଵଶ߮ = 33଴Решение выполнено в системе MathCad prime 3.0РешениеВвод зависимостей для расчетовE1 ≔ 80 ⋅ GPaFp1 ≔ 1600 ⋅ MPaFm2 ≔ 400 ⋅ MPaE2 ≔ 8 ⋅ GPaFp2 ≔ 80 ⋅ MPaF12 ≔ 60 ⋅ MPaG12 ≔ 6 ⋅ GPaFm1 ≔ 800 ⋅ MPaϕ0 ≔ 33 °ν12 ≔ 0.3n≔2i≔1‥nПункт 1Определение констант в квадратичном критерии разрушения1) Полагаем σ12 = σ22 =0.

Проведем эксперименты на растяжение и сжатие. Получим:Решаем систему методом Крамера:|⎡ 1 F 2 ⎤|p1|⎢|2 ⎥|⎣ 1 Fm1 ⎦|1f1 ≔ ―――――= −0.625 ――2|⎡ FGPaFp1 ⎤|p1|⎢|⎥2|⎣ −Fm1 Fm1 ⎦||⎡ Fp1 1 ⎤||⎢ −F⎥||⎣1m1 1 ⎦|f11 ≔ ―――――= 0.781 ―――22|⎡ FFp1 ⎤|GPap1|⎢2 ⎥||⎣ −Fm1 Fm1 ⎦|2) Полагаем σ11 = σ12 =0. Проведем эксперименты на растяжение и сжатие.

Получим:По аналогии находим f2 и f22|⎡ 1 F 2 ⎤|p2|⎢2 ⎥||⎣ 1 Fm2 ⎦|1f2 ≔ ―――――= 10 ――2|⎡ FGPaFp2 ⎤|p2|⎢|⎥2|⎣ −Fm2 Fm2 ⎦||⎡ Fp2 1 ⎤||⎢ −F⎥||⎣1m2 1 ⎦|f22 ≔ ―――――= 31.25 ―――22|⎡ FFp2 ⎤|GPap2|⎢|2 ⎥|⎣ −Fm2 Fm2 ⎦|2) Полагаем σ11 = σ22 =0. Проведем эксперимент на сдвиг. Получим:11f12 ≔ ――= 277.778 ―――22F12GPaПункт 2Определение предельных напряжений для заданного луча напряжения и построение кривойнагруженияТак как луч нахружения задан в плоскости x1, x2, то построим кривую нагружения при σ12 = 0.22D ⎛⎝σ12⎞⎠ ≔ f2 − 4 ⋅ f12 ⋅ f22 ⋅ σ12 + 4 f22−f2 + ‾‾‾‾‾‾D ⎛⎝σ12⎞⎠σ22u ⎛⎝σ12⎞⎠ ≔ ―――――2 ⋅ f22u ­ up (сверху)σ22r ⎛⎝σ12⎞⎠ ≔ 7 ⋅ σ12−f2 − ‾‾‾‾‾‾D ⎛⎝σ12⎞⎠σ22d ⎛⎝σ12⎞⎠ ≔ ―――――2 ⋅ f22­ Луч нагруженияr ­ ray (луч)d ­ down (снизу)−0.050.0110.10.0780.05-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05000.050.1-0.05-0.1σ22u ⎛⎝σ12 ⋅ GPa⎞⎠ (GPa)-0.15-0.2-0.25-0.3−0.349-0.35-0.4σ12σ22d ⎛⎝σ12 ⋅ GPa⎞⎠ (GPa)σ22r ⎛⎝σ12 ⋅ GPa⎞⎠ (GPa)Определение точек пересеченияПодставим уравнение луча нагружения в уравнение кривой разрушения и выразим все через σ12в итоге имеем:2D ≔ 49 ⋅ f2 + 4 ⋅ ⎛⎝49 ⋅ f22 + f12⎞⎠−7 ⋅ f2 + ‾‾Dσ12p1 ≔ ―――――= 0.011 GPa2 ⋅ ⎛⎝49 ⋅ f22 + f12⎞⎠p ­ point (точка)−7 ⋅ f2 − ‾‾Dσ12p2 ≔ ―――――= −0.05 GPa2 ⋅ ⎛⎝49 ⋅ f22 + f12⎞⎠σ22r ⎛⎝σ12p1⎞⎠ = 0.078 GPaσ22r ⎛⎝σ12p2⎞⎠ = −0.349 GPaПункт 3Построение кривой разрушения для многослойного КМ на плоскости напряженийИспользуя методику, описанную в 1­м дз, определим основные параметры многослойного КМϕ ≔ ϕ0ϕ ≔ −ϕ01E2= 0.03ν21 ≔ ν12 ⋅ ―E1δ ≔ 0.52iE1E10 ≔ ――――= 80.727 GPa1 − ν12 ⋅ ν21⎡2⎢ ⎛cos ⎛ϕ ⎞⎞⎝ i⎠⎠⎢⎝⎢2T1 ≔ ⎢ ⎛sin ⎛ϕ ⎞⎞i⎢ ⎝ ⎝ i⎠⎠⎢ −sin ⎛2 ⋅ ϕ ⎞i⎠⎣⎝⎡ 0.703 0.297 0.457 ⎤T1 = ⎢ 0.297 0.703 −0.457 ⎥1⎢⎣ −0.914 0.914 0.407 ⎦⎥E2E20 ≔ ――――= 8.073 GPa1 − ν12 ⋅ ν21sin ⎛2 ⋅ ϕ ⎞ ⎤i⎠⎝⎥⎛sin ⎛ϕ ⎞⎞――――⎝ ⎝ i⎠⎠2⎥⎛2 ⋅ ϕ ⎞ ⎥−sin2i⎠⎝⎥⎛cos ⎛ϕ ⎞⎞ ――――⎝⎝ i⎠⎠2⎥sin ⎛2 ⋅ ϕ ⎞ cos ⎛2 ⋅ ϕ ⎞ ⎥i⎠i⎠ ⎦⎝⎝2⎡ 0.703 0.297 −0.457 ⎤T1 = ⎢ 0.297 0.703 0.457 ⎥2⎢⎣ 0.914 −0.914 0.407 ⎥⎦⎡ E10 E20 ⋅ ν12 0 ⎤ ⎡ 80.727 2.422 0 ⎤D ≔ ⎢ E10 ⋅ ν21 E200 ⎥ = ⎢ 2.422 8.073 0 ⎥ GPa⎢⎥06 ⎥⎦00G12 ⎦ ⎢⎣ 0⎣Gc ≔ ∑ T1 ⋅ D ⋅ T1iiiT⎡ 42.91 18.687 0⎤⎥ GPa⋅ δ = ⎢ 18.687 13.359 0i⎢⎣ 0071.059 ⎥⎦Sc ≔ Gc−1⎡ 0.06 −0.083 0⎤1⎥ ――= ⎢ −0.083 0.192 0⎢⎣ 000.014 ⎥⎦ GPaT2m1 ≔ T1iTi⎡ 0.703 0.297 −0.914 ⎤T2m1 = ⎢ 0.297 0.703 0.914 ⎥1⎢⎣ 0.457 −0.457 0.407 ⎥⎦⎡ 0.703 0.297 0.914 ⎤T2m1 = ⎢ 0.297 0.703 −0.914 ⎥2⎢⎣ −0.457 0.457 0.407 ⎥⎦При помощи критерия Цая­Ву определим предельные значения параметра нагрузки, при которомпроисходит разрушение.

Для этого запишем следующие соотношения:⎡ f1 ⎤ ⎡ −0.625 ⎤1⎥ ――f ≔ ⎢ f2 ⎥ = ⎢ 10⎢ ⎥ ⎢⎣ 0⎥⎦ GPa⎣0⎦⎡ f11 0 0 ⎤ ⎡ 0.781 00⎤1⎢⎥31.25 0 ⎥ ―――F ≔ 0 f22 0 = ⎢ 02⎢⎥00 ⎥⎦ GPa⎣ 0 0 0 ⎦ ⎢⎣ 0k (α) ≔ tan (α)⎡ 1 ⎤K (α) ≔ ⎢ k (α) ⎥⎢⎣ 0 ⎥⎦A (α) ≔ D ⋅ T2m1 ⋅ Sc ⋅ K (α)1N (α) ≔ f ⋅ A (α)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾−N (α) + N (α) + 4 ⋅ M (α)P1 (α) ≔ ―――――――――2 ⋅ M (α)TM (α) ≔ A (α) ⋅ F ⋅ A (α)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾−N (α) − N (α) + 4 ⋅ M (α)P2 (α) ≔ ―――――――――2 ⋅ M (α)Строим кривую разрушения исходного многослойного КМ с заданными характеристикамиупругостиα1 ≔ 0 , 0.1 ‥ 2 ⋅ πσx1 ⎛⎝α1⎞⎠ ≔ P1 ⎛⎝α1⎞⎠σy1 ⎛⎝α1⎞⎠ ≔ k ⎛⎝α1⎞⎠ ⋅ P1 ⎛⎝α1⎞⎠σx2 ⎛⎝α1⎞⎠ ≔ P2 ⎛⎝α1⎞⎠σy2 ⎛⎝α1⎞⎠ ≔ k ⎛⎝α1⎞⎠ ⋅ P2 ⎛⎝α1⎞⎠4⋅10⁸3⋅10⁸2⋅10⁸1⋅10⁸-1⋅10⁹-7.5⋅10⁸-5⋅10⁸-2.5⋅10⁸002.5⋅10⁸5⋅10⁸7.5⋅10⁸1⋅10⁹1.25⋅10⁹1.5⋅10⁹1.75⋅10⁹-1⋅10⁸σy1 (Pa)-2⋅10⁸σy2 (Pa)-3⋅10⁸-4⋅10⁸-5⋅10⁸-6⋅10⁸σx1 (Pa)σx2 (Pa)⎛π⎞σy1 ⎜―⎟ = 91.075 MPa⎝2⎠σx1 (0) = 1.165 GPa⎛ −ππ⎞σy1 ⎜――= −450.242 MPa⎝ 2 ⎟⎠σx2 (π) = −219.527 MPa.