МДТТ дз1 (Вариант 10 дз1)
Описание файла
PDF-файл из архива "Вариант 10 дз1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика деформируемого твёрдого тела (мдтт)" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "механика деформированного твердого тела" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования«Московский государственный технический университетимени Н.Э. Баумана»(МГТУ им. Н.Э. Баумана)Специальное машиностроениеФАКУЛЬТЕТКосмические аппараты и ракеты-носителиКАФЕДРАДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №1По курсу:Механика деформированного твердого тела-Вариант № 10СтудентПреподавательСМ1-81Г.С. Нахапетян(Группа)(И.О. Фамилия)СМ1Б.С. Сарбаев(Кафедра)(И.О. Фамилия)Москва 2015Условие заданияПрямой композитный стержень (см.
рис. 1) изготовлен из многослойного композиционногоматериала со схемой армирования ሾሺ±߮ሻଶ /ሺ90 ሻଷ /ሺ0 ሻହ ሿ. Упругие характеристики таковы:ܧଵ = 150 ሾГПаሿܧଶ = 8 ሾГПаሿܩଵଶ = 5 ሾГПаሿߥଵଶ = 0.25Геометрические размеры поперечного сечения показаны на рис. 2. Длина стержня и величинывнешней нагрузки приведены в исходных данных.Для указанного стержня необходимо:1)2)3)4)5)Определить перемещение и осевую силуВоспользоваться точным аналитическим решениемПостроить эпюры перемещения и осевой силыОпределить сечение, в котором действует наибольшая осевая силаДля данного сечения рассчитать напряжения и деформации в монослояхИсходные данныеРис. 1 – Расчетная схемаРис.
2 – Профиль поперечного сечения݈ݍ= 0.003ሺܣܧሻ௫ܨ= 0.008ሺܣܧሻ௫݈ = 0.7 ሾмሿ߮ = 30РешениеПункт 1Составление аналитического решения для определения перемещения и осевой силыДля решения поставленной задачи воспользуемся уравнением статики, записанного для плоскогодеформированного твердого тела:߲ߪଵଵ ߲ߪଵଶ++ ݂ଵ = 0߲ݔଵ߲ݔଵߪ߲۔ଵଶ + ߲ߪଶଶ + ݂ = 0ଶݔ߲ ەଶ߲ݔଶۓ݂ଵ , ݂ଶ − объемные силы, действующие в направлении ݔଵ , ݔଶ .C учетом того, что задача линейная, в направлении ݔଵ (т.е. ߪଵଶ = ߪଶଶ = ݂ଶ = 0), а также учитывая,что ߪଵଵ = ߪଵଵ ሺݔଵ ሻ , получим:݀ߪଵଵ+ ݂ଵ = 0݀ݔଵОсевая сила есть: ܣ− площадь поперечного сеченияሺ1ሻܰ = ߪଵଵ ܣߪଵଵ = ܧଵ ∙ ߝଵଵߝଵଵ =Объединив выражения, получим:ߪଵଵ = ܧଵܰ = ܧଵ ܣ݀ݑଵ݀ݔଵ݀ݑଵ݀ݔଵ݀ݑଵ݀ݔଵሺ2ሻሺ3ሻТак как рассматривается лишь одно направление ݔଵ , то для упрощения записей примем:Получим:ݔଵ = ;ݔߪଵଵ = ߪ௫ ;ܧଵ = ܧ௫ ;ߝଵଵ = ߝ௫ ;݀ߪ௫+ ݂௫ = 0݀ݔߪ௫ = ܧ௫݀ݑ݀ݔࡺ = ࡱ࢞ ࢊ࢛ࢊ࢞ݑଵ = ݑ௫ = ;ݑ݂ = ݂௫ ;ሺ4ሻሺ5ሻሺሻИсходя из граничных и начальных условий удобно использовать различные виды уравнения (4).Выведем их:Первое уравнение получим путем умножения площади поперечного сечения ܣна (4):݀ߪܣ௫݀ܰ݀ߪ௫+ ݂௫ ൰ =+ ݂ܣ௫ =+ ݍ௫ = 0ܣ൬݀ݔ݀ݔ݀ݔИли:ࢊࡺ+ ࢞ = ;ࢊ࢞ݍ௫ − Линейная распределенная сила в направлении оси ݔሺૠሻВторое уравнение получим путем подстановки (6) в (7):ࡱ࢞ ࢊ ࢛+ ࢞ = ࢊ࢞ሺૡሻПрименим уравнения (6)-(8) непосредственно к нашей задаче.
Для этого, разобьем стержень на 2участка:Запишем граничные и начальные условия и условие стыковки участков, необходимые дляопределения констант интегрирования: = ݔ0; = ݔ3݈; = ݔ2݈;ݑଵ = 0ܰଶ = −ܨݑଵ = ݑଶ ;ܰଵ = ܰଶУчасток 1ݍ௫ = ݍ݀ܰଵ+= ݍ0݀ݔܰଵ = ܧ௫ ܣИнтегрируем:݀ݑଵ݀ݔܰଵ = − ݔݍ+ ܥଵሺ9ሻሺ10ሻሺ11ሻИспользуя ሺ9ሻ:ݑଵ = −0=−ݍܥଵݔଶ + ݔ+ ܥଶ2ܧ௫ ܣܧ௫ ܣݍܥଵ0ଶ +∙ 0 + ܥଶ => = 2ܧ௫ ܣܧ௫ ܣУчасток 2ݍ௫ = 0݀ܰଶ=0݀ݔܰଶ = ܧ௫ ܣИнтегрируем:݀ݑଶ݀ݔܰଶ = ܥଷݑଶ =Используя ሺ10ሻ:ܥଷ ݔ+ ܥସܧ௫ ܣܰଶ = = −ࡲСтыковкаДля начала перепишем полученные значения ݑଵ , ݑଶ , ܰଵ , ܰଶ для наглядности:ݑଵ =Используя ሺ11ሻ:ܰଵ = − ݔݍ+ ܥଵ1ݍቀ− ݔଶ + ܥଵ ݔቁܧ௫ ܣ2ܰଶ = −ܨݑଶ = −ܨ ݔ+ ܥସܧ௫ ܣ1ݍܨቂ− ሺ2݈ሻଶ + ܥଵ ∙ 2݈ቃ = −2݈ + ܥସ ሺ∗ሻܧ௫ ܣ2ܧ௫ ܣ− ∙ ݍ2݈ + ܥଵ = −ܨሺ∗∗ሻ: = − ࡲሺ∗∗ሻሺ∗∗∗ሻሺ∗∗∗ሻ → ሺ∗ሻ:1ݍܨቂ− ሺ2݈ሻଶ + ሺ2 ݈ݍ− ܨሻ ∙ 2݈ቃ = −2݈ + ܥସܧ௫ ܣ2ܧ௫ ܣܥସ = −2 ݈ݍଶ ݈ݍଶ݈ܨ݈ܨ+4−2+2ܧ௫ ܣܧ௫ ܣܧ௫ ܣܧ௫ ܣ = ࡱ࢞ Подставив численные значения из «исходные данные», получим:ܰଵ ሺݔሻݔݍ=−− 0.002ܧ௫ ܣܧ௫ ܣݑଵ ሺݔሻ = − ݔݍଶ− 0.002ݔ2ܧ௫ ܣܰଶ ሺݔሻ= −0.008 = ܿݐݏ݊ܧ௫ ܣݑଶ ሺݔሻ = −0.008 ∙ ݔ+ 0.006 ∙ ݈ݔ;݈Упростим полученные выражения, перейдя к новой переменной:߯=߯ ∈ ሾ0,3ሿࡺ ሺ࣑ሻ= −.
∙ ࣑ − . ࡱ࢞ ࢛ ሺ࣑ሻ = −. ∙ ∙ ࣑ − . ∙ ∙ ࣑ = −. ∙ ି ∙ ࣑ − . ∙ ି ∙ ࣑ࡺ ሺ࣑ሻ= −. ૡ = ࢉ࢙࢚ࡱ࢞ ࢛ ሺ࣑ሻ = −. ∙ ି ∙ ࣑ + . ∙ ିПункт 2Построение эпюр перемещения и осевой силыОбратим внимание на то, что участок ∈ ݔሾ2݈, 3݈ሿ является опасным (т.е. в нем наблюдается maxосевой силы ܰ௫ ). Рассмотрим сечение = ݔ3݈ ሺ߯ = 3ሻ. Значение осевой силы:ܰ௫ = −8 ∙ 10ିଷ8 ∙ 10ିଷ∙ ܧ௫ ∙ = ܣ− ≈ ݈ݍ−2.667 ∙ ݈ݍ3 ∙ 10ିଷПункт 3Расчет напряжений и деформаций в монослоях в опасном сеченииРаспишем поэтапно решение поставленной задачи. Рассмотрим исходные данные для решениязадачи. Нам задана следующая схема армирования:ሾሺ±30 ሻଶ /ሺ90 ሻଷ /ሺ0 ሻହ ሿИначе говоря, нам заданы углы намотки ߮ каждого монослоя в многослойном КМ, а также ихобъемные содержания ߜ и количество ݊.
Также известны характеристики материалов каждогомонослоя ܧଵ , ܧଶ , ܩଵଶ , ߥଵଶ , ߥଶଵ = మ ߥଵଶ . Также нам дано усредненное значение вектораாாభнапряжения ሼߪс ሽ = ൫ߪ௫ , ߪ௬ , ߪ௭ ൯ , которое выглядит следующим образом:тߪ௫ =ܰ௫݈ݍ= −2.667 ∙ܣܣߪ௬ = ߪ௭ = 0 = ܣ7 ∙ ሺ80 + 60 − 7ሻ ∙ 10ି = 9.31 ∙ 10ିସ ሾмଶ ሿߪ௫ ≈ −1.738 ∙ 10ିଷ ∙ ݍሾݍሿ =Нмሾߪ௫ ሿ = Паሼߪс ሽ = ∙ ݍሺ−1.738 ∙ 10ିଷ ,0,Теперь перейдем непосредственно к этапам решения:Этап 1.
Определяем матрицу жесткости.0ሻтሾܩс ሿ = ሾܶଵ ሿሾܦ ሿሾܶଵ ሿт ߜЗдесь:ୀଵ ۍcosଶ ߮ێሾܶଵ ሿ = ێsinଶ ߮ێۏ− sin 2߮sin 2߮ې2ۑsin 2߮ ۑ−2 ۑcos 2߮ ےsinଶ ߮cosଶ ߮sin 2߮ሾܶଵ ሿ − матрица поворота, связывающая напряжения в i-м монослоеᇱܧଵᇱሾܦ ሿ = ܧଵ∙ ߥଶଵ0ᇱܧଶ∙ ߥଵଶᇱܧଶ0ሾܦ ሿ − матрица, характеризующая упругость i-го монослояᇱܧଵ,ଶ=ܧଵ,ଶ1 − ߥଵଶ ∙ ߥଶଵ00 ܩଵଶВ нашем случае матрица жесткости выглядит следующим образом:݃௫௫ሾܩс ሿ = ݃௫௬0݃௫௬݃௬௬000 ݃௭௭Мы можем определить модуль упругости в направлении оси ݔ:݃௫௬ ଶܧ௫ = ݃௫௫ −݃௬௬И, соответственно, мы можем определить неизвестную величину ݍ: = ݍ0.003 ∙ܧ௫ ∙ ܣ− по условию задания݈Этап 2. Определяем матрицу упругих податливостей.ሾܵс ሿ = ሾܩс ሿିଵЭтап 3.
Определяем усредненный вектор деформаций.ሼߝс ሽ = ሾܵс ሿሼߪс ሽЭтап 4. Определяем вектор деформаций в i-м монослое.ሼߝ ሽ = ሾܶଶ ሿିଵ ሼߝс ሽሾܶଶ ሿ − матрица поворота, связывающая деформации в i-м монослоеሾܶଶ ሿିଵ = ሾܶଵ ሿтЭтап 5. Определяем вектор напряжений в i-м монослое.ሼߪ ሽ = ሾܦ ሿሼߝ ሽПоэтапное решение задачи представлено в системе MathCad prime 3.0.Ввод исходных данныхсхема армированияn ≔ 12ϕ ≔ 30ϕ ≔ −30 ϕ ≔ 90ϕ ≔0ϕ ≔ 30ϕ ≔ 90ϕ ≔01245ϕ ≔ −30 ϕ ≔ 90367ϕ ≔08ϕ ≔09i≔1‥n101δ ≔―i1211∑δ =1iiϕ ≔012E1 ≔ 150 ⋅ GPa⎡ 0.524 ⎤⎢ 0.524 ⎥⎢ −0.524 ⎥⎢ −0.524 ⎥⎢ 1.571 ⎥⎢⎥1.571π⎥ϕrad ≔ ϕ ⋅ ――=⎢ii 180⎢ 1.571 ⎥⎢ 0⎥⎢ 0⎥⎢ 0⎥⎢ 0⎥⎢⎣ 0⎥⎦E2 ≔ 8 ⋅ GPaG12 ≔ 5 ⋅ GPaν12 ≔ 0.25E2ν21 ≔ ν12 ⋅ ―= 0.013E1E1= 150.502 GPaE10 ≔ ――――1 − ν12 ⋅ ν21E2E20 ≔ ――――= 8.027 GPa1 − ν12 ⋅ ν21l ≔ 0.7 ⋅ mA ≔ 9.31 ⋅ 10−4⋅m2Расчет⎡⎢ ⎛cos ⎛ϕ ⎞⎞ 2radi⎢⎝⎝⎠⎠⎢2⎢T1 ≔ ⎛sin ⎛ϕrad ⎞⎞⎢⎝ ⎝ii⎠⎠⎢ −sin ⎛2 ⋅ ϕ ⎞radi⎢⎣⎝⎠sin ⎛2 ⋅ ϕrad ⎞ ⎤i⎝⎠ ⎥⎛sin ⎛ϕrad ⎞⎞――――i⎥2⎝ ⎝⎠⎠−sin ⎛2 ⋅ ϕrad ⎞ ⎥i ⎥2⎝⎠⎛cos ⎛ϕrad ⎞⎞ ―――――⎥i2⎝⎝⎠⎠sin ⎛2 ⋅ ϕrad ⎞ cos ⎛2 ⋅ ϕrad ⎞ ⎥ii⎝⎠⎝⎠ ⎥⎦2⎡ E10 E20 ⋅ ν12 0 ⎤ ⎡ 150.502 2.007 0 ⎤D ≔ ⎢ E10 ⋅ ν21 E200 ⎥ = ⎢ 2.007 8.027 0 ⎥ GPa⎢⎥05 ⎥⎦00G12 ⎦ ⎢⎣ 0⎣−16⎡ 93.66511.3511.078 ⋅ 10 ⎤⎢T−15 ⎥Gc ≔ ∑ T1 ⋅ D ⋅ T1 ⋅ δ = ⎢ 11.35146.174−4.47 ⋅ 10⎥ GPaiiii−16−15−4.47 ⋅ 1042.379⎣ 1.078 ⋅ 10⎦gxx ≔ Gc0,0= 93.665 GPagxy ≔ Gc0,1= 11.351 GPa2gyy ≔ Gc1,1= 46.174 GPaEx ⋅ A ⎛5Nq ≔ 0.003 ⋅ ――= ⎝3.626 ⋅ 10 ⎞⎠ ―lmgxyEx ≔ gxx − ――= 90.875 GPagyy5Nmaxσx ≔ ――= −727.089 MPaA⎡ σx ⎤ ⎡ −727.089 ⎤⎥ MPa0σc ≔ ⎢ 0 ⎥ = ⎢⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣⎥⎦0Nmax ≔ −2.667 ⋅ q ⋅ l = −6.769 ⋅ 10 N−16⎡11.004−2.705−3.133 ⋅ 10 ⎤−3⎢−1−15 ⎥ 10Sc ≔ Gc = ⎢−2.70522.3222.361 ⋅ 10 ⎥ ――GPa−16−152.361 ⋅ 1023.597⎣ −3.133 ⋅ 10⎦⎡ −0.008⎤⎥εc ≔ Sc ⋅ σc = ⎢ 0.002−19 ⎥⎢⎣ 2.278 ⋅ 10 ⎦T2m1 ≔ T1iTiε ≔ T2m1 ⋅ εciσ ≔D⋅εiiiОкончательно получим следующие значения⎡ −0.00551 ⎤ε = ⎢ −0.00053 ⎥1⎢⎣ −0.00432 ⎥⎦⎡ −0.008 ⎤ε = ⎢ 0.00197 ⎥11⎢⎣ 0⎥⎦⎡ −830.168 ⎤σ = ⎢ −15.269 ⎥ MPa1⎢⎣ −21.581 ⎥⎦⎡ −0.00551 ⎤ε = ⎢ −0.00053 ⎥2⎢⎣ −0.00432 ⎥⎦⎡ −0.008 ⎤ε = ⎢ 0.00197 ⎥12⎢⎣ 0⎥⎦⎡ −830.168 ⎤σ = ⎢ −15.269 ⎥ MPa2⎢⎣ −21.581 ⎥⎦⎡ −0.00551 ⎤ε = ⎢ −0.00053 ⎥3⎢⎣ 0.00432 ⎥⎦⎡ −1200.217 ⎤σ =⎢−0.267 ⎥ MPa11⎢⎣⎥⎦0⎡ −830.168 ⎤σ = ⎢ −15.269 ⎥ MPa3⎢⎣ 21.581 ⎥⎦⎡ −0.00551 ⎤ε = ⎢ −0.00053 ⎥4⎢⎣ 0.00432 ⎥⎦⎡ −1200.217 ⎤σ =⎢−0.267 ⎥ MPa12⎢⎣⎥⎦0⎡ −830.168 ⎤σ = ⎢ −15.269 ⎥ MPa4⎢⎣ 21.581 ⎥⎦⎡ 0.00197 ⎤ε = ⎢ −0.008 ⎥5⎢⎣ 0⎥⎦⎡ 279.977 ⎤σ = ⎢ −60.275 ⎥ MPa5⎢⎣ 0⎥⎦⎡ 0.00197 ⎤ε = ⎢ −0.008 ⎥6⎢⎣ 0⎥⎦⎡ 279.977 ⎤σ = ⎢ −60.275 ⎥ MPa6⎢⎣ 0⎥⎦⎡ 0.00197 ⎤ε = ⎢ −0.008 ⎥7⎢⎣ 0⎥⎦⎡ 279.977 ⎤σ = ⎢ −60.275 ⎥ MPa7⎢⎣ 0⎥⎦⎡ −0.008 ⎤ε = ⎢ 0.00197 ⎥8⎢⎣ 0⎥⎦⎡ −1200.217 ⎤σ =⎢−0.267 ⎥ MPa8⎢⎣⎥⎦0⎡ −0.008 ⎤ε = ⎢ 0.00197 ⎥9⎢⎣ 0⎥⎦⎡ −1200.217 ⎤σ =⎢−0.267 ⎥ MPa9⎢⎣⎥⎦0⎡ −0.008 ⎤ε = ⎢ 0.00197 ⎥10⎢⎣ 0⎥⎦⎡ −1200.217 ⎤σ =⎢−0.267 ⎥ MPa10⎢⎣⎥⎦0.
