ТВиМС_4с_ИУ1-4_М1_РК_подг (ТВиМС для ИУ 1-4 все для подготовки.)

ТВиМС, 4-й семестр, ИУ1–4Модуль 1 (операционное исчисление)Материал для подготовки к рубежному контролюI(a). Изображения и оригиналы.ОРИГИНАЛσ+i∞Z1−1est F (s) dsf (t) = L [F (s)] ≡2πinXИЗОБРАЖЕНИЕZ∞F (s) = L[f (t)] ≡ e−st f (t) dt0σ−i∞nXCk fk (t)k=1Ck Fk (s)k=1eat f (t) 1tf, α>0ααF (s − a)f (t − b) , где b > 0 и f (t − b) ≡ 0 при t < be−bs F (s)f(n)F (α s)sn F (s) − sn−1 f (+0) − sn−2 f 0 (+0)−(t) , n ∈ {1, 2, . . .}− . . .

− s f (n−2) (+0) − f (n−1) (+0)t f (t)−F 0 (s)f (τ ) dτ1F (s)sZt0Z∞f (t)f (t), где ∃ lim= N : |N | < ∞t→+0 ttF (p) dpsNXRes F (s0k ) es0k t , гдеF (s) =k=1{s0k }Nk=1 − конечные изолированныеAm (s)− частное двух полиномовBn (s)степеней m и n соответственно, где m < nособые точки изображения F (s)n!tn , n ∈ {0, 1, 2, .

. .}sn+11s−αλ2s + λ2ss2 + λ2λ2s − λ2ss2 − λ2eαtsin(λt)cos(λt)sh(λt)ch(λt)1I(б). Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами может быть представлена в следующем виде:ẋ(t) = A x(t) + f (t) , t > 0,x(0) = x0где A ∈ Mn×n (R) – известная матрица коэффициентов; f (t) – известная вектор-функция со значениями из Rn , а x0 ∈ Rn – известный вектор.В изображениях интегрального преобразования Лапласа:Z∞4X(s) = L[x(t)] ≡e−st x(t) dt ;04F (s) = L[f (t)]исходная задача принимает следующий вид:s X(s) − x0 = A X(s) + F (s) .Таким образомX(s) = (s In − A)−1 x0 + (s In − A)−1 F (s) ,(∗)где (s In − A)−1 – изображение резольвенты системы ẋ(t) = A x(t) резольвентойназывают нормированную матрицу фундаментальной системы решений системы x = A x(t) .Таким образом, с учётом линейности оператора L−1 и теоремы о свёртках, решение исходной задачиКоши может быть представлено в стандартной форме:Ztx(t) = R(t)x0 + R(t − τ )f (τ ) dτ ,0либо найдено непосредственно путём перехода к оригиналам в равенстве (*).2.