Федоровский. Лекции по линейной алгебре

Лекции по алгебреЧасть I – Линейная алгебраК. Ю. ФедоровскийТекст лекций для студентов факультета ФНОглавлениеРаздел1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1. Предварительные сведенияМножества и отображенияОтношения эквивалентности, факторизация множеств и отображенийОтношения порядка, упорядоченные множестваПонятие числового поляКомплексные числа558101011Раздел2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.

Линейные пространстваПонятие линейного пространстваЛинейная зависимость векторов в линейном пространствеБазис и размерность линейного пространстваИзоморфизм линейных пространствПодпространства линейных пространствФакторпространства линейных пространствПреобразование координат при преобразовании базиса конечномерноголинейного пространства141415171920243.

Евклидовы и эрмитовы пространстваОпределение и основные свойства евклидовых пространствОртонормированный базис конечномерного евклидова пространстваОртонормированные базисы и ортогональные матрицыЭрмитовы пространства2727303536Раздел3.1.3.2.3.3.3.4.Раздел4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4. Линейные операторыОпределение и основные свойства линейных операторовЯдро и образ линейного оператораМатричная запись линейных операторовИнвариантные подпространства линейных операторовХарактеристический многочлен, собственные числа и собственные векторылинейных операторов4.6. Линейные функционалы и полуторалинейные формы в эрмитовомпространстве4.7. Норма линейного оператораРаздел5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.

Двойственное пространство. Сопряженный операторДвойственное пространство и двойственный базисСлучай эрмитова пространстваРефлексивностьУсловия линейной независимостиОбщее понятие сопряженного оператораРаздел6.1.6.2.6.3.6. Самосопряженные линейные операторыЛинейные самосопряженные операторы в эрмитовом пространствеМатрица самосопряженного оператораСамосопряженные операторы в эрмитовых пространствах с точки зренияобщего понятия сопряженного оператора6.4.

Свойства самосопряженных операторов32539394244474851545656585960636565676869Оглавление6.5. Эрмитовы формы, критерии эрмитовости6.6. Случай евклидова пространства47475Раздел7.1.7.2.7.3.7.4.7. Канонический вид линейный операторовПриведение квадратичной формы к сумме квадратовКанонический вид линейных операторовНормальные операторыУнитарные и ортогональные операторы7878798284Раздел8.1.8.2.8.3.8.4.8.5.8. Билинейные и квадратичные формы в вещественных пространствахМатрица билинейной формыКвадратичные формыПриведение квадратичной формы к сумме квадратовЗакон инерции квадратичных формБилинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве8989919396989. Гиперповерхности второго порядкаОбщее уравнение гиперповерхности второго порядкаИнварианты уравнения гиперповерхности второго порядкаУпрощение уравнения гиперповерхности второго порядка аффиннымипреобразованиями9.4.

Классификация уравнений центральных гиперповерхностей второгопорядка9.5. Классификация уравнений нецентральных гиперповерхностей второгопорядка100100102Раздел9.1.9.2.9.3.103104105Раздел10.1.10.2.10.3.10.4.10. Дополнительный материалРешение проблемы собственных значений методом вращенийПсевдообратная матрицаМинимальный многочлен линейного оператораО структуре канонической матрицы линейного оператора109109111115117Раздел11.1.11.2.11.3.11. Понятие о тензорахОпределение и основные свойства тензоровСлучай евклидова пространства.

Метрический тензорОсновные операции над тензорами122122126127Раздел 12. Программа и задачи к экзамену12.1. Программа экзамена12.2. Задачи к экзамену130130132РАЗДЕЛ 1Предварительные сведенияМы начинаем изучение линейной алгебры. В самом широком смысле можно считать,что основная задача и основное содержание линейной алгебры как математической дисциплины состоит в разработке специального математического языка для выраженияодной из наиболее общих и фундаментальных естественнонаучных идей – идеи линейности. Одним из наиболее важных частных случаев этой идеи является т.н. принципмалых приращений, согласно которому почти всякий естественный процесс почти всюдув малом линеен.

На этом принципе основаны, например, многие разделы современного математического анализа и их приложения. Аппарат линейной алгебры оказалсяадекватным и удобным инструментом для формулировки многих фундаментальныхфизических законов.С другой стороны, с позиции математика-пуриста, линейная алгебра – это разделтеории алгебраических структур, в котором рассматриваются структуры специальноговида – линейные пространства и их отображения.В предлагаемом курсе лекций учтено, что теория матриц и определителей, а такжеосновные элементы теории систем линейных уравнений изучаются студентами в рамкахкурса аналитической геометрии в первом семестре. Соответственно, основные понятияэтого курса считаются известными.Многие простые утверждения о свойствах изучаемых объектов приводятся в курсев качестве упражнений.

Читателю рекомендуется самостоятельно выполнять такиеупражнения при чтении соответствующего материала. Упражнения, выполнение которых может вызвать затруднения, могут быть разобраны на семинарских занятиях покурсу.1.1. Множества и отображенияНапомним ряд обозначений, которые будут использоваться в дальнейшем (в обоихчастях курса на протяжении обоих семестров). Через S(X) обозначим совокупностьвсех подмножеств некоторого множества X, при этом ∅ ∈ S(X) (где, как обычно, ∅обозначает пустое множество) и X ∈ S(X). Система подмножеств S ⊂ S(X) называется нетривиальной, если S =6 {∅, X}.

Всюду в дальнейшем, если обратное не оговореноспециально, запись X ⊂ Y не исключает равенства X = Y . Таким образом, множестваX и Y равны если и только если X ⊂ Y и Y ⊂ X.Пусть X и Y — некоторые множества.Определение. Если задан некоторый закон (правило), по которому для каждого элемента x ∈ X ставится в соответствие некоторый элемент f (x) ∈ Y , тоговорят, что задано отображение f : X → Y . Множество X называется областьюопределения отображения f , а множество Y — его областью значений.Выражение f (x) обозначается также символом f x.

Сопоставление элементу x ∈ Xзначения f (x) ∈ Y обозначается также символом x 7→ f (x).Из определения отображения непосредственно вытекает, что два отображения f :X → Y и g : X → Y равны, если f (x) = g(x) для любого элемента x ∈ X.Напомним несколько понятий, связанных с отображением f : X → Y .Определение. Множество Im(f ) = {f (x) : x ∈ X} называется образом f . ЕслиIm(f ) = Y , то отображение f называется сюръективным (или “отображением на”).51.1.

МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ6Для любого элемента y ∈ Y определяется множество f −1 (y) = {x ∈ X : f (x) = y},которое называется прообразом элемента y ∈ Y . По определению прообраза, f −1 (y) = ∅при y ∈ Y \ Im(f ). Для любого подмножества Y0 ⊂ Y определяетсяего прообразSотносительно отображения f : f −1 (Y0 ) = {x ∈ X : f (x) ∈ Y0 } = y∈Y0 f −1 (y).Определение.

Отображение f называется инъективным, если из неравенстваx1 6= x2 вытекает, что f (x1 ) 6= f (x2 ). Всякое инъективное и, одновременно, сюръективное отображение f : X → Y называется биективным.Легко привести пример отображения, не являющегося ни сюръективным ни инъективным.

В самом деле, пусть (φn : n ∈ N) – последовательность чисел Фибоначчи,т.е. φ1 = φ2 = 1, а φn = φn−1 + φn−2 при n ≥ 3. Нетрудно проверить, что отображенияf : N 7→ N множества натуральных чисел в себя, определенное по правилу f (n) = φn ,обладает указанным свойством.Рассмотрим теперь отображение, определенно правилом x 7→ x2 . Это отображение,рассматриваемое как отображение R → R, не является ни сюръективным, ни инъективным. Если отображение x 7→ x2 , рассматривается как отображение R → R+ (гдеR: = {t ∈ R : t ≥ 0}), то оно является сюръективным, но не инъективным. И, наконец,отображение x 7→ x2 , рассматривается как отображение R+ → R+ , является взаимнооднозначным (биективным).Определение.

Отображение idX : X → X, определенное по правилу x 7→ x, называется единичным (или тождественным) отображением.Другими словами, единичное отображение переводит каждый элемент своей области определения в себя. Часто тождественное отображение обозначается символом eX .Пусть задано отображение f : X → Y . Тогда для любого подмножества X0 ⊂X можно определить отображение f0 : X0 → Y по правилу f0 (x) = f (x) при x ∈X0 . Отображение f0 называется сужением (или ограничением) отображения f на X0 иобозначается символом f0 = f|X0 .Если же заданы множества X1 и Y1 такие, что X ⊂ X1 и Y ⊂ Y1 и отображениеf1 : X1 → Y1 такое, что f1 (x) = f (x) для любого x ∈ X, то отображение f1 называетсяпродолжением отображения f с X на X1 . Понятия сужения и продолжения отображений широко используются во всех разделах математики.Определение.

Если определены два отображения g : X → Y и f : Y → Z, тоотображение f ◦ g : X → Z, определенное соотношением(f ◦ g)(x) = f (g(x)),x ∈ X,называется композицией отображений f и g.Часто композицию отображений называют произведением отображений и, если этоне вызывает путаницы, обозначают символом f g. Заметим, что операция композицииопределена не для любых пар отображений.

Для того, чтобы оно была определена,необходимо, чтобы область определения отображения f совпадала с областью значенийотображения g.Для любого отображения f : X → Y верны равенства f ◦ idX = f и idY ◦f = f .Предложение 1.1. Операция композиции отображений ассоциативна, т.е. длялюбых отображений h : X → Y , g : Y → Z и f : Z → W выполняется равенствоf ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.Доказательство. Рассмотрим два отображения q1 : X → W и q2 : X → W определенные, соответственно, равенствами q1 = f ◦ (g ◦ h) и q2 = (f ◦ g) ◦ h.

Как нетруднопроверить, обо отображения q1 и q2 определены при всех x ∈ X и имеют свой областьюзначений множество W . Так какq1 (x) = (f ◦(g ◦h))(x) = f ((g ◦h)(x)) = f (g(h(x))) = (f ◦g)(h(x)) = ((f ◦g)◦h)(x) = q2 (x)1.1. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯдля любого x ∈ X, то отображения f ◦ (g ◦ h) и (f ◦ g) ◦ h равны.7Нетрудно заметить, что операция композиции отображений не является коммутативной: для отображений f, g : X → X, в общем случае, f ◦ g 6= g ◦ f .

В самом деле, эторавенство нарушается, например, для отображений f, g : {a, b} → {a, b} определенныхравенствами f (a) = b, f (b) = a, g(a) = g(b) = a.Определение. Если f : X → Y и g : Y → X такие отображения, чтоf ◦ g = idYи g ◦ f = idX ,(1.1)то g называется обратным отображением для f и обозначается символом f −1 .Непосредственно из определения обратного отображения вытекает, что если g является обратным отображением для f , то f является обратным отображением для g.Предложение.

Если отображение f : X → Y имеет обратное отображение, тоэто обратное отображение единственно.Доказательство. Предположим, что существуют два отображения g1,2 : Y → Xсо свойствами f ◦ g1 = idY , g1 ◦ f = idX и f ◦ g2 = idY , g2 ◦ f = idX . Тогда, в силуассоциативности операции композиции отображений:g2 = idX ◦g2 = (g1 ◦ f ) ◦ g2 = g1 ◦ (f ◦ g2 ) = g1 ◦ idY = g1 . Далее, имеет место следующее утверждение:Лемма 1.2. Если f : X → Y и g : Y → X – такие отображения, что g ◦ f = idX ,то отображение f инъективно, а отображение g сюръективно.Доказательство. Начнем с проверки инъективности f . Пусть x1 , x2 ∈ X таковы,что f (x1 ) = f (x2 ). Тогдаx1 = eX (x1 ) = (g ◦ f )(x1 ) = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = (g ◦ f )(x2 ) = eX (x2 ) = x2 .Далее, если x – произвольный элемент из X, то x = eX (x) = g(f (x)), т.е.