Электростатика Макаров, Лунева (Методические указания Электростатика Макаров, Лунева)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаМетодические указанияЭЛЕКТРОСТАТИКА. МАГНИТОСТАТИКА.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯИздательство МГТУ им. Н.Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЭЛЕКТРОСТАТИКА. МАГНИТОСТАТИКА.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯМетодические указания к выполнениюдомашнего задания по курсу общей физикиПод редакцией д-ра техн. наук, проф. А.М. МакароваМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э.

Баумана20111УДК 5.38ББК 22.33Э45Рецензент В.И. ХвесюкЭ45Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитнаяиндукция : метод. указания к выполнению домашнего заданияпо курсу общей физики / Л.А. Лунева, С.Н. Тараненко,А.В. Козырев, В.Г. Голубев, А.В. Купавцев ; под ред. А.М. Макарова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. —55, [1] с. : ил.В методических указаниях изложены методы решения задач пофундаментальным разделам курса общей физики. В каждом разделеприведены необходимые краткие теоретические сведения, содержащие фундаментальные утверждения в виде теорем или обобщений, а также даны примеры решения типовых задач.Для студентов 2-го курса 3-го семестра обучения всех специальностей.

Также будут полезны для углубленного изучения указанных разделов курса общей физики.УДК 5.38ББК 22.33Учебное изданиеЛунева Любовь АлександровнаТараненко Сергей НиколаевичКозырев Александр ВалентиновичГолубев Владимир ГеннадиевичКупавцев Анатолий ВладимировичЭЛЕКТРОСТАТИКА.

МАГНИТОСТАТИКА.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯРедактор С.А. СеребряковаКорректор Р.В. ЦареваКомпьютерная верстка С.А. СеребряковойПодписано в печать 30.12.2010. Формат 60×84/16.Усл. печ. л. 3,26. Изд. № 40. Тираж 500 экз. Заказ.Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.Типография МГТУ им. н.Э.Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 201121. ЭЛЕКТРОСТАТИКА1.1. Основные теоретические сведенияТеорема Гаусса для вектора напряженности электростатиGGческого поля E в диэлектрике. Поле вектора E в диэлектрикеGобладает замечательным и важным свойством: поток вектора Eсквозь любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов (как сторонних q, так и связанных q′), охватываемыхэтой поверхностью, деленной на ε0, т.

е.GG1v∫ ( E , d s ) = εS(q + q′),(1.1)0G GGгде вектор d s = nds, n — нормаль к элементу поверхности ds,внешняя по отношению к объему, охватываемому поверхностью S;кружок у знака интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности S. Уравнение (1.1) является математическимвыражением теоремы Гаусса для вектора напряженностиKE электростатического поля в диэлектрике в интегральной форме.Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора наGпряженности электростатического поля E в диэлектрике:G 1div E = (ρ + ρ′ ),ε0(1.2)где ρ и ρ′ — объемные плотности сторонних и связанных зарядовGв той точке, где вычисляется div E.

При использовании теорем(1.1) и (1.2) для вакуума следует учесть, что в этом случаеq′ = ∫ ρ′dV = 0 и ρ′ = 0 .V3GТеорема Гаусса для вектора поляризованности среды P :Gпоток вектора P сквозь любую замкнутую поверхность S равенвзятому с обратным знаком суммарному связанному зарядудиэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью интегрирования S, т. е.G G(1.3)v∫ ( P, d s ) = − q′.SДифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора поGляризованности среды P :Gdiv P = −ρ′.(1.4)Общее выражение для оператора div в ортогональных криволинейных системах координат приведено в приложении к методическим указаниям.GЕсли выразить заряд q′ через поток вектора P по формуле (1.3)и подставить его в уравнение (1.1), то выражение (1.1) можно преобразовать к следующему виду:G G Gv∫ ((ε0 E + P), d s ) = q.SВеличину, стоящую под знаком интеграла во внутренних скобках,Gобозначают буквой D и называют вектором электрического смеGщения, или просто вектором D :GG GD = ε0 E + P.(1.5)Поток этого вектора через любую замкнутую поверхность S зависит только от стороннего заряда q, находящегося в ограниченном поверхностью интегрирования S объеме.GТеорема Гаусса для вектора электрического смещения D :Gпоток вектора D сквозь произвольную замкнутую поверхность Sравен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемыхэтой поверхностью, т.

е.G G(Dv∫ , d s ) = q.S4(1.6)GЗаметим, что свойство (1.6) поля вектора D оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках [1].Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектораGэлектрического смещения D :Gdiv D = ρ ,(1.7)Gт. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.Если диэлектрик линейный и изотропный, то вектор поляризованности диэлектрикаGGP = ε0 κE ,(1.8)где κ — диэлектрическая восприимчивость вещества — скалярнаявеличина, не зависящая от модуля вектора напряженности электрического поля.

Подставив зависимость (1.8) в соотношение (1.5),получимGGGD = ε0 (1 + κ) E = ε 0 εE.(1.9)Безразмерную величину ε = 1 + κ называют диэлектрической проницаемостью диэлектрика.1.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Электростатика»В условиях предлагаемых задач, как правило, задан (явно в виде q или неявно в виде разности потенциалов) сторонний заряд наобкладках конденсатора.

Выбирая поверхность интегрирования всоответствии с видом симметрии каждой задачи, по теореме ГаусGса (1.6) находим распределение зависимости вектора D от пространственных координат, которые для каждого рассматриваемогослучая могут быть различны: либо декартовы ( x, y, z ) , либо сферические (r , θ, ϕ) , либо цилиндрические (r , ϕ, z ) . Ниже мы будемрассматривать сферически симметричный случай, поэтому определяемые величины будут зависеть только от одной пространственной координаты — радиальной координаты r.5Далее из соотношения (1.9) определяем зависимость вектораGнапряженности электростатического поля E от радиальной координаты в диэлектрике:D( r ).(1.10)E (r) =ε 0ε ( r )GВектор поляризованности P связан с вектором напряженностиGэлектростатического поля E соотношением (1.8), поэтомуP( r ) = ε 0 [ε(r ) − 1]E (r ).(1.11)В результате поляризации среды в диэлектрике возникают связанные заряды с объемной плотностью ρ′, которая определяется изсоотношения (1.4).

Объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри однородного диэлектрика будет равна нулю, есливнутри него отсутствует объемная плотность сторонних электрических зарядов (ρ = 0). Для неоднородного диэлектрика ( grad ε ≠ 0 )Gк указанному условию необходимо добавить условие E = 0 [1].В нашем случае ρ = 0, поэтому появление связанных зарядов собъемной плотностью ρ′ обусловлено неоднородностью диэлектрика и наличием напряженности электрического поля между обкладками конденсатора.В результате поляризации среды на границе раздела диэлектриков или на границе раздела «диэлектрик — вакуум» могут появляться также поверхностные связанные заряды.

ЗависимостьGмежду поляризованностью среды P и поверхностной плотностьюσ′ связанных зарядов на границе раздела диэлектриков имеет видP2 n − P1n = −σ′,(1.12)Gгде P2n и P1n — проекции вектора поляризованности P в диэлектGриках 2 и 1 на общую нормаль n к границе раздела в данном месGте (вектор n проводят от диэлектрика 1 к диэлектрику 2).Из соотношения (1.12) следует, что на границе раздела диэлекGтриков нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв,величина которого равна зависящей от свойств диэлектриков по6верхностной плотности σ′ связанных зарядов.

Если среда 2 является вакуумом, то условие (1.12) приобретает более простой вид:σ′( M ) = Pn (M ),(1.13)где M — точка, находящаяся на поверхности диэлектрика; Pn —GGпроекция вектора P на нормаль n, внешнюю по отношению к занятой диэлектриком области. Знак проекции Pn определяет и знакповерхностной плотности σ′ связанного заряда в данной точке.Далее необходимо найти суммарный связанный заряд диэлектрика:q′ = ∫ ρ′(V )dV + ∫ σ′(M )ds.V(1.14)SВ соотношении (1.14) первое слагаемое учитывает суммарный связанный заряд, распределенный по объему диэлектрика, авторое — суммарный связанный заряд, распределенный по всейповерхности рассматриваемого диэлектрика. Заметим, что алгебраическое значение q′ в (1.14) должно быть равно нулю. Этот фактиспользуется для проверки полученных результатов.Для нахождения емкости C конденсатора необходимо определить разность потенциалов между обкладками:R0G GU = ϕ( R) − ϕ( R0 ) = ∫ ( E , d r ).RТогда по определениюq,(1.15)Uгде заряд q соответствует поверхности конденсатора, потенциалкоторой равен ϕ(R).

Под зарядом конденсатора q имеют в виду заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке.Замечание. Полученное значение емкости C конденсатора определено верно, если оно удовлетворяет соотношениюC=CU 2= ∫ wdV ,2V(1.16)7G G( E , D)где w =— объемная плотность энергии электростатическо2го поля; V — объем, в котором локализовано электростатическоеполе в конденсаторе.1.3.

Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Электростатика»Задача. Радиусы внешней и внутренней обкладок сферического конденсатора равны R0 и R соответственно. Заряд конденсатораравен q. Диэлектрическая проницаемость среды между обкладкамиизменяется по закону ε = f ( r ), где r — расстояние от центра сфер(рис. 1.1).Найти распределение модулей векторов электростатическогоGGполя: электрического смещения D , напряженности E и поляризоGванности P в зависимости от радиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ).Определить поверхностную плотность связанных зарядов навнутренней σ1′ и внешней σ′2 поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности связанных зарядов ρ′( r ) и емкость Сконденсатора.Выполнить проверку полученных результатов.Рис.

1.18Решение. Пусть заданы следующие зависимости:R0 3= ,R 1ε(r ) =R0n,R0n + R n − r nn = 4.(1.17)Преобразуем зависимость для диэлектрической проницаемостиε( r ) с учетом заданного соотношения R0 = 3R :ε(r ) =(3R ) 481R 4=.(3R) 4 + R 4 − r 4 82 R 4 − r 4(1.18)Расчет характеристик электростатического поля начнем с опGределения вектора электрического смещения D( r ) между обкладками конденсатора.Пусть сторонний заряд q > 0 равномерно распределен повнутренней обкладке. Воспользуемся теоремой Гаусса (1.6):G Gv∫ ( D, d s ) = q.SРассматриваемая задача обладает сферической симметрией, поэтому в качестве поверхности интегрирования S выбираем сферическую поверхность с произвольным радиусом R < r < R0 и центром вначале координат, которая на рис.