ЛЕКЦИИ (Все лекции по информатике)

Лекция 1Случайные событияОпределение 1.1 Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, есливыполнены следующие требования:1) в результате опыта один из исходов обязательно происходит;2)появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;3)в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой Ω, асами элементарные исходы — строчной буквой ω, снабженной, при необходимости, индексами. То,что элемент ω принадлежит Ω, записывают в виде ω ∈ Ω, а тот факт, что множество Ω состоитиз элементов ω1 , ω2 , .

. ., ωn , . . ., и только из них, записывают в виде Ω = {ω1 ; ω2 ; . . . ; ωn ; . . .} или ввиде Ω = {ωi , i = 1, 2, . . . , n, . . .}. В частности, Ω может содержать конечное число элементарныхисходов.Рассмотрим примеры, поясняющие понятие пространства элементарных исходов.Пример 1.1 Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением “герба” (можно обозначить этот исход Г, ωГ или ω1 ) и выпадением “цифры” (Ц, ωЦ или ω2 ).

Таким образом,Ω = {Г, Ц}, Ω = {ωГ , ωЦ } или Ω = {ω1 , ω2 }.При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет, очевидно, содержать 4 элемента, т.е. Ω ={ωГГ , ωГЦ , ωЦГ , ωЦЦ }, где ωГГ — появление “герба” и при первом, и при втором подбрасываниях,и т.д.Пример 1.2 При однократном бросании игральной кости возможен любой из шести элементарныхисходов ω1 , .

. . , ω6 , где ωi , i = 1, 6, означает появление i очков на верхней грани кости, т.е. Ω ={ωi , i = 1, 6}.При двукратном бросании игральной кости каждый из шести возможных исходов при первомбросании может сочетаться с каждым из шести исходов при втором бросании, т.е.

Ω = {ωij , i, j =1, 6}, где ωij — исход опыта, при котором сначала выпало i, а затем j очков.Нетрудно подсчитать, что пространство элементарных исходов Ω содержит 36 элементарныхисходов.Пример 1.3 Пусть опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефоннуюстанцию в течение заданного промежутка времени. Разумеется, реально это число не превышает некоторого значения (определяемого, в частности, пропускной способностью линий связи), но,поскольку это значение может быть достаточно большим, в качестве пространства элементарныхисходов можно принять множество целых неотрицательных чисел, т.е.

Ω = {0, 1, . . . , n, . . .}.Пример 1.4 Предположим, что стрелок производит единственный выстрел по плоской мишени.В этом случае Ω естественно отождествить с множеством точек на плоскости или множеством пар(x; y) действительных чисел, где x — абсцисса, а y — ордината точки попадания пули в мишень внекоторой системе координат. Таким образом, Ω = {(x; y) : −∞ < x < +∞, −∞ < y < +∞}.1События, действия над нимиВведем понятие случайного события.

Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только случайные события, то, начиная с этого момента, будем называть их, как правило, просто событиями.Определение 1.2 Любой набор элементарных исходов, или, иными словами, произвольное подмножество пространства элементарных исходов, называют событием.Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называют элементарными исходами, благоприятствующими данному событию,или образующими это событие.События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимостииндексами, например: A, B1 , C3 и т.д.Сразу же оговоримся, что определение 1.2 события будет уточнено в следующем параграфе втом случае, когда Ω не является счетным множеством. Здесь же мы вводим определение 1.2 по двумпричинам.Во-первых, основная цель настоящего параграфа — наглядно показать, как физическое понятие случайного события формализуется в математических понятиях теории множеств, и описатьоперации над событиями.Во-вторых, определение 1.2 вполне удовлетворительно можно применять для решения практических задач, в то время как строгое определение события служит лишь для построения теории вероятностей как раздела современной математики, оперирующей логически безупречными, носложными для неподготовленного читателя понятиями.Часто используется следующая терминология: говорят, что событие A произошло (или наступило), если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов ω ∈ A.Пример 1.5 В примере 1.2 было показано, что при однократном бросании игральной кости Ω ={ωi , i = 1, 6}, где ωi — элементарный исход, заключающийся в выпадении i очков.

Рассмотрим следующие события: A — выпадение четного числа очков; B — выпадение нечетного числа очков; C —выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, что A = {ω2 ; ω4 ; ω6 }, B = {ω1 ; ω3 ; ω5 } и C ={ω3 ; ω6 }.Определение 1.3 Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным событием.Достоверное событие, как и пространство элементарных исходов, обозначают буквой Ω.Определение 1.4 Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. событие, котороеникогда не происходит вданном опыте, называют невозможным событием.Невозможное событие будем обозначать символом ∅.Пример 1.6 При бросании игральной кости достоверное событие можно описать, например, каквыпадение хотя бы одного очка, а невозможное — как выпадение 7 очков. #Часто бывает полезно наглядно представить события в виде диаграммыЭйлера — Венна.

Изобразим все пространство элементарных исходов прямоугольником. При этом каждый элементарный исход ω соответствует точкевнутри прямоугольника, а каждое событие A — некоторому подмножеству точек этого прямоугольника. Трактовкой диаграммы Эйлера — Венна может служить опыт с бросанием случайным образом частицы в прямоугольник. ТогдаРис. 1.1.элементарный исход ω — это попадание частицы в точку ω прямоугольника, асобытие A — в часть прямоугольника, задаваемую подмножеством A.Рассмотрим теперь операции (действия) над событиями, которые, по существу, совпадаютс операциями над подмножествами.

Эти операции будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера— Венна. На рис. 1.2–1.7 заштрихованы области, которые соответствуют событиям, являющимсярезультатами таких операций.Определение 1.5 Пересечением (произведением) двух событий A и Bназывают событие C, происходящее тогда и только тогда, когда одновременнопроисходят оба события A и B, т.е. событие, состоящее из тех и только техэлементарных исходов, которые принадлежат и событию A, и событию B.Пересечение событий A и B записывают следующим образом:C = A ∩ B,или2C = A B.Рис.

1.2.Определение 1.6 События A и B называют несовместными, или непересекающимися, если их пересечение является невозможным событием, т. е. еслиA ∩ B = ∅. В противном случае события называют совместными, или пересекающимися.Рис. 1.3.Определение 1.7 Объединением (суммой) двух событий A и B называютсобытие C, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно изсобытий A или B, т.

е. событие C, состоящее из тех элементарных исходов, которыепринадлежат хотя бы одному из подмножеств A или B.Объединение событий A и B записывают в видеC = A ∪ B,илиРис. 1.4.C = A + B.Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий для любого конечного числа событий и даже для бесконечных последовательностей событий. Так, событие∞A1 A2 . . . An . . . = ∩ Ann=1состоит из элементарных исходов, принадлежащих всем событиям An ,n ∈ N, а событие∞A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ∪ .

. . = ∪ Ann=1состоит из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий An , n ∈ N. В частности, события A1 , A2 , . . . , An называют попарно несовместными (непересекающимися), еслиAi Aj = ∅ для любых i, j = 1, n, i 6= j, и несовместными (непересекающимися) в совокупности, если A1 A2 . . . An = ∅.Определение 1.8 Разностью двух событий A и B называют событие C,происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B, т.е. событие C, состоящее из тех элементарных исходов, которыепринадлежат A, но не принадлежат B. Разность событий A и B записывают ввиде:C = A \ B.Определение 1.9 Дополнением события A (обычно обозначают A) называют событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

(Другими словами, A = Ω \ A). Событие A называют также событием,противоположным событию A.Если некоторое событие записано в виде нескольких действий над различными событиями, то сначала переходят к дополнениям, а затем умножают и,наконец, складывают и вычитают (слева направо) события. Так, формулаРис. 1.5.Рис. 1.6.C = A1 A2 B1 ∪ A3 B 2 \ B3эквивалентна формулеC=©£¤ª¤ £A1 (A2 )B1 ∪ A3 (B 2 ) \ B3 .Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения). Основанием для этого утверждения служат законы де Моргана, а также соотношение A \ B = AB.Кроме перечисленных выше действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятиевключения.Определение 1.10 Событие A включено в событие B, что записывают A ⊂ B,если появление события A обязательно влечет за собой наступление события B(, или каждый элементарный исход ω, принадлежащий A, обязательно принадлежит и событию B.Ясно, что включение A ⊂ B эквивалентно равенству AB = A.

Используют иобратное понятие: событие B включает событие A (B ⊃ A), если A ⊂ B.Рис. 1.7.3Пример 1.7 Рассмотрим техническое устройство (ТУ), состоящее из m элементов. В теории надежности принято говорить, что элементы соединены последовательно, если ТУ прекращает функционировать при отказе любого элемента, и соединены параллельно, если прекращение функционирования ТУ наступает только при отказе всех m элементов. Условное изображение параллельногои последовательного соединений представлено на рис.