IDU_M3_L17 (Лекции)

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковИнтегралы и дифференциальные уравненияконспект лекцийдля студентов 1-го курса 2-го семестраспециальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2Лекция 17Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация (n = 2).Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).

Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов дифференциальных уравнений nго порядка.Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнениеF (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0 ,где x – независимая переменная, y−y(x) – неизвестная функция, y 0 = y 0 (x), . . . , y (n) = y (n) (x)– производные соответствующих порядков неизвестной функции, F – заданная функцияуказанных переменных.В дальнейшем в основном ограничимся рассмотрением дифференциальных уравненийn-го порядка, разрешенных относительно старшей производной, т.е. уравнений видаy (n) = f (x, y, y 0 , .

. . , y (n−1) ).(1)Мы будем считать, что правая часть последнего уравнения определена и непрерывна нанекоторой области (n + 1)-мерного пространства переменных x, y, y 0 , . . . , y (n−1) . Решениемуравнения (1) называется n раз (непрерывно) дифференцируемая функция y = y(x), заданная на некотором интервале I, после подстановки которой в уравнение получается верноеравенство при всех x ∈ I. Общим решением уравнения (1) называется функцияy = y(x, C1 , .

. . , Cn ) ,(2)заданная на некоторой области D (n + 1)-мерного пространства переменных x, C1 , . . . , Cnи обладающая следующими свойствами.1. При любых фиксированных C1 , . . . , Cn , для которых существует хотя бы один интервал I такой, что для любого x ∈ I точка (x, C1 , . . . , Cn ) лежит в области D, функция(2) является решением уравнения (1) на любом таком интервале. Иногда это свойствоформулируют короче: при любых фиксированных C1 , . .

. , Cn функция (2) есть решениеуравнения (1).(n−1)2. Для любой точки (x0 , y0 , y00 , . . . , y0) из области определения правой части уравнения (1) найдутся числа C10 , . . . , Cn0 такие, что функцияy = y(x, C10 , . . . , Cn0 )1определена на некотором интервале, содержащем точку x0 , и удовлетворяет начальнымусловиямy(x0 , C10 , . . . , Cn0 ) = y0 ,y 0 (x0 , C10 , . . .

, Cn0 ) = y00 ,························.(n−1)y (n−1) (x0 , C10 , . . . , Cn0 ) = y0СоотношениеΦ(x, y, C1 , . . . , Cn ) = 0 ,неявно задающее общее решение, называют общим интегралом. Подробно смысл последнего определения не рассматриваем. Всякое решение уравнения (1), получающеесяиз общего решения при фиксированных C1 , .

. . , Cn , называется частным решением этогоуравнения; неявно заданное решение, получаемое таким способом из общего интеграла,называется частным интегралом.Решить дифференциальное уравнение – значит найти все его решения; обычно делосводится к нахождению общего интеграла (общего решения). Если заданы начальныеусловия (или иные дополнительные условия), то требуется найти частное решение, удовлетворяющее этим условиям.Для уравнений n-го порядка справедлива теорема, аналогичная теореме существованияи единственности для уравнений первого порядка.Теорема (Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка).Если в уравненииy (n) = f (x, y, y 0 , . .

. , y (n−1) )функция f и ее частные производные по переменным y, y 0 , . . . , y (n−1) непрерывны в некоторой области G пространства переменных x, y, y 0 , . . . , y (n−1) , то для любой точки(n−1)(x0 , y0 , y00 , . . . , y0) из этой области существует решение y = y(x) данного уравнения,удовлетворяющее начальным условиям.y(x0 ) = y0 ,(n−1)y 0 (x0 ) = y00 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0.Любые два решения, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям, совпадаютвсюду, где они оба определены.Эту теорему принимаем без доказательства.Как и в случае уравнения первого порядка задача отыскания решения уравнения (1),удовлетворяющего начальным условиямy(x0 ) = y0 ,(n−1)y 0 (x0 ) = y00 , .

. . , y (n−1) (x0 ) = y0,называется задачей Коши. Из сформулированной теоремы следует, что при выполненииее условий решение задачи Коши существует и единственно. Рассмотрим геометрическуюинтерпретацию задачи Коши для уравнения второго порядка.y 00 = f (x, y, y 0 ) .(3)Здесь требуется найти решение этого уравнения, удовлетворющее начальным условиямy 0 (x0 ) = y00 ,y(x0 ) = y0 ,где (x0 , y0 , y00 ) – некоторая точка из области определения правой части (3).2yy = y(x)ϕy0Ox0xРис.8Геометрически это означает, что надо найти интегральную кривую на плоскости переменных x, y, проходящую через точку (x0 , y0 ) и касающуюся в этой точке прямой с заданнымугловым коэффициентом tg ϕ = y00 . Варьируя y00 , мы можем получить бесконечно многоинтегральных кривых, проходящих через указанную точку.

Отсюда следует, что (привыполнении условий сформулированной теоремы) уравнение (3) второго порядка имеетбесконечно много решений. Аналогичный вывод справедлив и для уравнений более высоких порядков.При решении задачи Коши для уравнения (1) n-го порядка при известном общем решении y = y(x, C1 , . . . , Cn ) проходится выделять частное решение, определяя C1 , .

. . , Cn изсистемыy(x0 , C1 , . . . , Cn ) = y0 ,y 0 (x0 , C1 , . . . , Cn ) = y00 ,·····················(n−1)y (n−1) (x0 , C1 , . . . , Cn ) = y0,в которой начальные значения заданы в одной точке x0 . При решении многих задач,однако, приходится находить частное решение, удовлетворяющее начальным значениям,заданным при различных x. Задача отыскания такого частного решения называется краевой задачей для уравнения n-го порядка.Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядкаy 00 = f (x, y, y 0 )(4)При этом будем рассматривать решения этого уравнения, заданные не на интервале, а наотрезке; под производными функции y = y(x) в граничных точках отрезка будем понимать соответствующие односторонние производные. Общее решение уравнения второгопорядка содержит две произвольные постоянные, поэтому для их определения потребуетсядва условия.Пусть требуется найти решение уравнения (4), заданное на отрезке [x1 , x2 ] и удовлетворяющее условиямy(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 .Эти условия называются краевыми условиями 1-го рода.yy2yβαy1x1x2xOРис.9x1x2xРис.10Геометрически такая задача означает, что требуется найти интегральную кривую,проходящую через две заданные точки (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ).Если задать значения производныхy 0 (x1 ) = y10 ,y 0 (x2 ) = y20 ,то получим краевые условия второго рода.

Задача отыскания решений решений уравнения(4), удовлетворяющего таким условиям, геометрически означает, что требуется найти3интегральную кривую, имеющую в точках с абсциссами x1 и x2 касательные с угловымикоэффициентами y10 = tg α и y20 = tg β соответственно.Рассматривают и смешанную краевую задачу, когда задаются условия разного рода.В отличие от задачи Коши, которая при достаточно общих предположениях имеетединственное решение, краевая задача может не иметь решений или иметь несколько (идаже бесконечно много) решений. Для решения краевой задачи находят общее решениесоответствующего дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные C1 и C2 , а затем (если это возможно), определяют C1 и C2 , при которых выполняютсякраевые условия.Пример. Пусть имеется уравнениеy 00 + y = 0 .Нетрудно проверить, что общее решение имеет в данном случае вид:y = C1 cos x + C2 sin x .Найдем решение, удовлетворяющее краевым условиямπ =1.y(0) = 1 , y2ИмеемC1 cos 0 + C2 sin 0 = 1.ππC1 cos + C2 sin = 122Полученная система имеет единственное решение C1 = C2 = 1.

Требуемое решение естьy = cos x + sin x .Если задать краевые условия в виде y(0) = 1, y(π) = 1, то для определения C1 и C2получим систему:C1 cos 0 + C2 sin 0 = 1,C1 cos π + C2 sin π = 1которая, как легко видеть, несовместна. Решений у соответствующей краевой задачи нет.Нетрудно проверить, что при краевых условиях y(0) = 1, y(π) = −1 краевая задачадля рассматриваемого уравнения имеет бесконечно много решений.Рассмотрим некоторые уравнения, допускающие понижение порядка. Пусть дано уравнениеF x, y 0 , y 00 , . . .

, y (n) = 0 ,не содержащее явно y. Положим z = y 0 и в результате получим уравнение (n − 1)-гопорядкаF x, z, z 0 , . . . , z (n−1) = 0относительно новой неизвестной функции z. Решив его (если это возможно), найдем z, азатем и y.Если требуется решить уравнение n-го порядка, не содержащее явно x, т.е. уравнениевидаF y 0 , y 00 , .

. . , y (n) = 0 ,то понизить порядок такого уравнения можно с помощью новой неизвестной функцииp = p(y), для которой y 0 = p(y). Из последнего равенстваy 00 = p0 (y) · y 0 = p0 (y) · p(y) ,4и при n = 2 для определения неизвестной функции p получаем уравнениеF y, p(y), p0 (y) · p(y) = 0первого порядка, при решении которого y следует считать независимой переменной, аp = p(y) – неизвестной функцией этой переменной. Решив последнее уравнение, найдемp(y), а затем и y из уравнения y 0 = p(y). В случае уравнения n-го порядка этот приемпозволяет свести исходную задачу к аналогичной задаче для уравнения (n − 1)-го порядка.Пример.

Пусть требуется найти решение уравнения2yy 00 = 1 + (y 0 )2 ,удовлетворяющее начальным условиям y(0) = y 0 (0) = 1.Введем новую неизвестную функцию p(y), для которой y 0 = p(y). Посколькуy 00 = p0 (y) · y 0 = p0 (y) · p(y), то для определения p(y) имеем уравнение 1-го порядка2y p · p0 = 1 + p2 .Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и находя первообразные, получаемln(1 + p2 ) = ln |y| + C .(5)Для определения C запишем это уравнение так2 0ln 1 + y (x)= ln |y(x)| + C .Подставив x = 0, получим с учетом начальных условийln 2 = ln 1 + C ,т.е.

C = ln 2. Поэтому из (5) получаем1 + p2 = ±2y ;т.к. y(x) > 0 в окрестностиинтересующей нас точки x = 0, то справа выбираем знак ”+”;0поскольку p y(0) = y (0) также также положительно, тоp=p2y − 1 .Для определения y имеем, следовательно, уравнениеpy 0 = 2y − 1 .Решив это уравнение с разделяющимися переменными, получимp2y − 1 = x + C .√подставив x = 0, найдем C = 1. Поэтому 2y − 1 = x + 1, и окончательноy=1 2x + 2x + 2 .25.