IDU_M2_L12_13 (Лекции)

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковИнтегралы и дифференциальные уравненияконспект лекцийдля студентов 1-го курса 2-го семестраспециальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2Лекции 12-13Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения. Метод Симпсона приближенного вычисленияопределенного интеграла.Определенные интегралы можно применять и для вычисления объемов. Пусть телоM (рис.

1) заключено между плоскостями x = a и x = b , и пусть для каждой точкиx ∈ [a, b] известна площадь S(x) фигуры, получающейся в сечении тела M плоскостью,перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через указанную точку. Предположим далее,что проекции двух сечений тела M такими плоскостями на плоскость OY Z лежат однав другой (во всяком случае, для сечений, отвечающих достаточно близким плоскостям).Разобьем отрезок [a, b] на части точкамиa = x0 < x1 < ... < xn = b.(∗)Рис. 1Тогда объем Vi части Mi тела, расположенной между плоскостями x = xi−1и x = xi в силу сделанного выше предположения о проекциях сечений тела M придостаточно малом диаметре разбиения (*) удовлетворяет неравенствуS(ηi )∆xi 6 Vi 6 S(ξi )∆xi ,где S(ηi ) и S(ξi ) − соответственно минимальное и максимальное значение функцииS(x) на отрезке [xi−1 , xi ]; здесь мы предполагаем дополнительно, что S(x) непрерывнана [a, b].Геометрический смысл величин S(ηi )∆xi и S(ξi )∆xi очевиден - это объемы прямых1круговых цилиндров, один из которых содержится в части Mi тела M, а другойсодержит внутри себя эту часть.

Переходя в этом неравенстве к пределу при maxi ∆xi →0, получим неравенствоZbV =S(x)dx ,где V =nXVi −объем тела M.i=1aЕсли тело M получено вращением графика непрерывной функцииx 6 b, то, очевидно,S(x) = πf 2 (x),y = f (x) , a 6и мы получаем такую формулу для вычисления объема тела вращения:ZbV +πf 2 (x)dx.aПример.

Найти объем эллипсоидаx2 y 2 z 2+ 2 + 2 = 1.a2bcРассматриваемое тело расположено между плоскостями x = ±a. В сечении этого телаплоскостью, проходящей через точку x ∈ (−a, a) перпендикулярно оси абсцисс, имеемэллипсz2y2+= 1.22b2 (1 − xa2 ) c2 (1 − xa2 )Площадь сечения S(x) равнаx2S(x) = πbc 1 − 2a=πbc 2(a − x2 ).a2Заметим, что это равенство справедливо и при x = ±a.

Отсюда для искомого объема Vполучаем:ZaV =202πbcS(x)dx = 2aZa2πbc(a − x )dx = 2a220ax3 4=πabc.a x−3 0 32Рассмотрим вопрос о вычислении длины дуги кривой. В начальном курсе анализа былоустановлено, что непрерывно дифференцируемая плоская кривая Γ, заданная уравнениямиx = x(t), y = y(x), a 6 t 6 bспрямляема, и производная S 0 (t) переменной длины дуги вычисляется по формуле:pS 0 (t) = (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 .Т.к. одной из первообразных функции из правой части этого равенства являетсяF (t) =Zt p(x0 (τ ))2 + (y 0 (τ ))2 dτ,a2то отсюда, поскольку F (a) = 0, следует равенствоS(t) =Zt p(x0 (τ ))2 + (y 0 (τ ))2 dτ.aПоэтому для длины всей кривой имеем формулуZb p(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt.l(Γ) =aЕсли кривая Γ задана явно уравнениемy = y(x),a 6 x 6 b,то, беря x в качестве параметра, получаем такую формулуl(Γ) =Zb p1 + (y 0 (x))2 dx.aПусть кривая Γ задана в полярных координатах:r = r(ϕ),Тогдаpα 6 ϕ 6 β.x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, α 6 ϕ 6 β;p(x0 (ϕ))2 + (y 0 (ϕ))2 = (r0 (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ)2 + (r0 (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ)2 =p= (r0 (ϕ))2 + r2 (ϕ).ПоэтомуZβ p(r0 (ϕ))2 + r2 (ϕ)dϕ.l(Γ) =αОтметим еще формулуZb pl(Γ) =(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dtaдля длины пространственной кривой Γ, заданной уравнениямиx = x(t),y = y(t),z = z(t),a 6 t 6 b.Пример.

Пусть кривая Γ задана уравнениямиx = cos t,Тогдаl(Γ) =Z1 py = sin t,z = ch t,22sin t + cos2 t + sh tdt =00 6 t 6 1.Z1 p1 + sh2 tdt =03Рис. 2Z1=ch tdt = sh t|10 = sh 1 =e2 − 1.2e0Рассмотрим понятие площади поверхности вращения (рис. 2).Из курса элементарной стереометрии известно, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равнаr 1 + r2· l.2π2Пусть плоская кривая Γ задана в виде графика непрерывно дифференцируемой неотрицательной функцииy = y(x),a 6 x 6 b,и пусть поверхность S получена вращением этой кривой вокруг оси OX (рис. 3).Рис.

3Рассмотрим разбиение τa = x0 < x1 < ... < xn = bотрезка [a, b],построим ломаную с вершинами в точках (xi , y(xi )), i = 0, 1, ..., n, вписанную в кривуюΓ, и рассмотрим поверхность S 0 , полученную вращентем этой ломанной вокруг оси OX.Эта поверхность является объединением боковых поверхнеостей усеченных конусов, и ееплощадьnXy(xi−1 ) + y(xi ) p0µS =2π(xi − xi−1 )2 + (y(xi ) − y(xi−1 ))2 .2i=1Площадью µS поверхности S, полученной вращением кривой Γ вокруг оси OX,называется предел площадей µS 0 приλ(τ ) = maxi ∆xi → 0. Для вычисления этого4µS 0 ,предела преобразуем указанное выше выражение дляприем с применением теоремы Лагранжа:0µS = 2πnXy(xi−1 ) + y(xi ) p2i=1+2π1+= 2πnXpy(ξi ) 1 + (y 0 (ξi ))2 ∆xi +i=1n Xy(xi−1 ) + y(xi )p− y(ξi ) · 1 + (y 0 (ξi ))2 ∆xi .2i=1(y 0 (ξi ))2 ∆xiиспользуя уже известный(∗)При λ(τ ) → 0 первая сумма, очевидно, стремится к интегралуZb2πpy(x) 1 + (y 0 (x))2 dx.aВторое слагаемое при указанном предельном переходе стремится к нулю.

Чтобы доказатьэто, заметим сначала, что y 0 (x) в силу непрерывности ограничена на отрезке [a, b] :|y 0 (x)| 6 MПоэтомудля любого x ∈ [a, b]. y(xi−1 ) + y(xi ) 6 |y(xi−1 ) − y(ξi )| + |y(xi ) − y(ξi )| =−y(ξ)i22|y 0 (ηi )(ξi − xi−1 )| + |y 0 (ξi )(xi − ξi )|6 M ∆xi .2Пользуясь этой оценкой, получаемn nXXp√y(x)+y(x)i−1i0 (ξ ))2 ∆x 6−y(ξ)1+(yM 1 + M 2 ∆x2i 6iii2i=1i=1=√6 λ(τ )M 1 +M2nX√∆xi = λ(τ )M 1 + M 2 (b − a) → 0 при λ(τ ) → 0.i=1Поэтому в (*) вторая сумма стремится к нулю при λ(τ ) → 0 и для площади поверхностивращения имеем формулуZby(x) ·µS = 2πp1 + (y 0 (x))2 dx.aЗаметим, что если в этой формуле заменить под знаком интеграла y(x) на |y(x)|, тоусловие неотрицательности функции y(x) можно отбросить.Пример.

Площадь поверхности вытянутого эллипсоида вращения. Такой эллипсоидполучается при вращении вокруг оси OX эллипсаx2 y 2+ 2 = 1,a2bИмеемy 2 = b2 −b2 2x,a2a > b.y · y0 = −5b2x,a2ryp1 + y 02 =py 2 + (yy 0 )2 =b2b4bb2 − 2 x 2 + 4 x 2 =aaara2 −a2 − b 2 2x.a2a2 − b 2= ε2 , где ε − эксцентриситет эллипса, поэтому, учитывая симОтношениеa2метричность рассматриваемой поверхности, для искомой площади µS получаем такоеtвыражение (которое преобразовываем с помощью замены x = ):εZa √Zaε √bbµS = 4πa2 − ε2 x2 dx = 4πa2 − t2 dt.aaε00Используя найденную ранее первообразнуюZ √t√ 2a2ta2 − t2 dt =a − t2 + arcsin + C,22aполучаем отсюда:aεt√ 2t ba2b aε √ 2a2222µS = 4πa − t + arcsin= 4πa − a ε + arcsin ε .aε 22a 0aε 222− b2Т.к.

a − a ε = a − a= b2 , то окончательно имеемab abε a2aµS = 4π+ arcsin ε = 2πb b + arcsin ε .aε22ε22 222a2Рассмотрим теперь формулу Симпсона, позволяющую находить приближенные значенияопределенных интегралов. Формулы для приближенных значений интегралов называютсяквадратурными формулами.Пусть на отрезке [a, b] задана функция f (x). Возьмем разбиение этого отрезка точкамиb−ai,nна n равных частей и выберем точкиi = 0, 1, ..., n,xi = a +b−axi + xi−1ξi ==a+2n1i−2,являющиеся серединами отрезков разбиения.ZxiНа каждом отрезке [xi−1 , xi ] заменим приближенно интегралf (x)dxинтеграломxi−1Zxi(Ax2 + Bx + C)dx(∗)xi−1от квадратичной функции, график которой проходит через точки(xi−1 , f (xi−1 )),(ξi , f (ξi )),(xi , f (xi )).Непосредственное нахождение коэффициентов A, B, C связано с громоздкими вычислениями, которых можно избежать, например, следующим образом.

В интеграле (*) сделаемзамену переменной x = t + ξi . Тогда получим интегралZη 1Ãt2 + B̃t + C̃ dt,где η = ∆xi ,2−η6Ãt2 + B̃t + C̃ = A(t + ξi )2 + B(t + ξi ) + C.Подставляя в последнее равенство вместо t последовательно числа −η, 0, η, получаемтакую систему уравнений для нахождения коэффициентов Ã, B̃ и C̃ : Ãη 2 − B̃η + C̃ = f (xi−1 )C̃ = f (ξi )2Ãη + B̃η + C̃ = f (xi ).Используя специфику этой системы, легко находим, чтоà =B̃ =f (xi−1 ) + f (xi ) − 2f (ξi ),2η 2f (xi ) − f (xi−1 ),2ηC̃ = f (ξi ).Поэтому последний интеграл равен 3ηtt2f (xi−1 ) + f (xi ) − 2f (ξi ) η 3à + B̃ + C̃t = 2 ·+ 2f (ξi )η =·322η 23−ηf (xi−1 ) + f (xi ) + 4f (ξi )f (xi−1 ) + f (xi ) + 4f (ξi )·η =∆xi .36Таково же и значение интеграла (*), из которого вычисленный интеграл был полученZbзаменой переменной.

Для исходного интегралаf (x)dx получаем теперь такую при=aближенную формулу:Zban∆xi Xf (x)dx ≈(f (xi−1 ) + f (xi ) + 4f (ξi )) =6 i=1b−a=6nf (a) + f (b) + 2n−1Xf (xi ) + 4i=1nX!f (ξi ) ,i=1b−ab−a1в которой xi = a +i, i = 1, ..., n − 1, ξi = a +i−, i = 1, ..., n.nn2Полученная приближенная формула называется формулой Симпсона. Можно доказать, что если f (x) четырежды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b], и|f (4) (x)| 6 M для всех x из этого отрезка, то абсолютная погрешность формулы Симпсона оценивается сверху величинойM (b − a)51·.2880n47.