IDU_M2_L08 (Лекции)

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковИнтегралы и дифференциальные уравненияконспект лекцийдля студентов 1-го курса 2-го семестраспециальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2Лекция 8Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода).Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке(2-го рода).Определенный интеграл от неограниченной на отрезке функции не существует; функцию, заданную на неограниченном промежутке, нельзя проинтегрировать по этому промежутку.

Эти ограничения оказываются неудобными при рассмотрении многих теоретических и прикладных задач. Поэтому возникает необходимость расширить понятиеинтеграла. Это делается с помощью дополнительного предельного перехода.Рассмотрим сначала интегралы по неограниченному промежутку.Пусть функция f (x) определена при x > a и интегрируема на любом отрезке [a, b] .Тогда на промежутке [a, +∞) определена функцияZbF (b) =f (x)dx.aЕсли существует (конечный) пределlim F (x),(∗)b→+∞то этот предел называется несобственным интегралом (1-го рода) от функции f (x) попромежутку [a, +∞) и обозначаетсяZ∞f (x)dx.aВ случае существования предела (*) последний интеграл называют сходящимся, в противном случае - расходящимся.R∞Если f (x) > 0 и интегралf (x)dx сходится, то значение этого интеграла можноaистолковать геометрически как площадь бесконечной криволинейной трапеции (рис.

1).Для функции f (x) , заданной для x 6 b и интегрируемой на любом отрезке [a, b] ,можно рассмотреть несобственный интегралZbZbf (x)dx = limf (x)dx.a→−∞−∞a1Рис. 1Если же функция f (x) определена на всей вещественной прямой и интегрируема на любомотрезке [a, b] , то, выбрав произвольно точку c на этом отрезке, можно рассмотретьнесобственный интегралZ∞Zcf (x)dx = limf (x)dx + lima→−∞−∞Zbf (x)dx.b→∞acТакой интеграл считается сходящимся, если существуют оба предела в правой части последнего равенства.

Нетрудно проверить, что сходимость (т.е. существование) интегралаZ∞f (x)dx и его значение не зависят от выбора точки c .−∞Из определений несобственных интегралов следует, что для непрерывной функции f (x)в случае сходимости соответствующих интегралов справедливы следующие обобщенияформулы Ньютона-Лейбница:Z∞∞f (x)dx = F (x) ,aaZbbf (x)dx = F (x) ,−∞−∞Z∞∞f (x)dx = F (x) ,−∞−∞где F (x) - первообразная функции f (x) на соответствующем промежутке;F (−∞) = lim F (x),F (+∞) = lim F (x).x→−∞Пример.Рассмотрим интегралx→+∞Z∞dxxα1При α 6= 1 имеемZ∞1При α = 1 получаем(∞∞,dxx1−α 1==,xα1 − α 1α−1Z∞∞dx= ln x = ∞.x112α<1α > 1.Z∞Итак, интегралdxсходится при α и расходится при α 6 1 .xα1Cвойства несобственных интегралов вытекают из известных свойств пределов и определенных интегралов.В перечисленных ниже свойствах 1-3 будем считать, что функции f (x) и g(x) определены при x > a и интегрируемы на любом отрезке [a, b] .1.Аддитивность.Пусть c ∈ [a, +∞) . Тогда несобственные интегралыZ∞Z∞f (x)dxf (x)dxиacсходятся или расходятся одновременно и в случае сходимостиZ∞Z∞Zc=+.aacZbZcZbВ самом деле,=a+a.cПереходя здесь к пределу при b → ∞ , получаем требуемое.2.Линейность.Пусть существуют интегралыZ∞Z∞f (x)dxg(x)dx.иaaТогда для любых вещественных чисел α и β существует интеграл от функции αf (x)+βg(x)по промежутку [a, ∞), причемZ∞Z∞Z∞(αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx.aaaСправедливость этого утверждения непосредственно вытекает из определения несобственных интегралов.3.Пусть функции f (x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a, ∞), и пустьдля любого x из этого промежутка f (x) 6 g(x).ТогдаZ∞Z∞f (x)dx 6g(x)dx.aaДоказательство очевидно.Рассмотрим несобственные интегралы 2-го рода.

Пусть функция f (x) определена на[a, b) и не ограничена ни на каком интервале вида (b−, b), 0 < < b−a. Предположимдалее, что эта функция интегрируема на отрезке [a, η] при любом η < b.Предел (если он существует)lim f (x)dx(∗)η→b−03называется несобственным интегралом (2-го рода) от (неограниченной) функцииf (x) по промежутку [a, b) и обозначаетсяZbf (x)dx.aМожно доказать, что если при выполнении прочих перечисленных выше условий функцияf (x) ограничена на [a, b), то после доопределения этой функции при x = b любым знаZbчением получается интегрируемая на [a, b] функция, причем интегралf (x)dx равенaпределу (*).

Поэтому новое понятие получается лишь для функции f (x) , неограниченнойна любом интервале вида (b − ε, b). Геометрически несобственный интеграл рассматриваемого вида истолковывается как площадь неограниченной криволинейной трапеции(рис. 2).Рис. 2Если функция f (x) задана на полуинтервале (a, b] и не ограничена на интервале(a, a + ε) при любом ε, 0 < ε < b − a, и при этом интегрируема на любом отрезке[ξ, b], ξ > a, то можно рассмотреть пределZblimf (x)dx.ξ→a+0ξВ случае существования этот предел называется несобственным интегралом от функцииZbf (x) по промежутку (a, b] и обозначаетсяf (x)dx.aВ случае неограниченности функции f (x) , заданной на интервале (a, b), в соответствующих полуокрестностях точек a и b, можно рассмотреть интегралZbf (x)dx = limf (x)dx + limξ→a+0aZηZcf (x)dx,η→b−0cξ4(∗)который существует тогда и только тогда, когда существуют оба предела в правой части.Как и в случае несобственных интегралов 1-го рода, можно доказать, что значение интеZbгралаf (x) не зависит от выбора точки c .aРазумеется, при рассмотрении последнего интеграла предполагалось, что функция f (x)интегрируема на любом отрезке [ξ, η] ⊂ (a, b).

Для несобственных интегралов 2-го родасправедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница; для интеграла (*) эта формулаимеет вид:Zbf (x)dx = F (b − 0) − F (a + 0),aгде функция f (x) непрерывна на (a, b) и F (x) − первообразная этой функции науказанном интервале; F (b − 0) = lim F (x), F (a + 0) = lim F (x).x→a+0x→b−0Примеры.1. Пусть требуется вычислить интегралZ1I=√−1Первообразной функции f (x) = √arcsin x. Поэтомуdx.1 − x21на интервале (−1, 1) является функция F (x) =1 − x21I = arcsin x = π.−1Z12. Рассмотрим интегралdx.xα0Несобственным такой интеграл является при α > 0. Пусть α 6= 1.

ТогдаZ10При α = 1 имеем(1∞,dxx1−α 1==,xα1 − α 01−αZ1α>1α < 1.1dx= ln x0 = ∞.x0Т.о., рассматриваемый интеграл сходится при α < 1 и расходится при α > 1.Свойства несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны свойствам интегралов по неограниченным промежуткам.5.