IDU_M1_L05_06 (Лекции)

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковИнтегралы и дифференциальные уравненияконспект лекцийдля студентов 1-го курса 2-го семестраспециальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2Лекции 5-6Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теоремаоб интегрируемости кусочно-непрерывной функции (без доказательства). Геометрическая интерпретация определенного интеграла.Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке ио среднем значении.Множество точек a = x0 < x1 < ... < xn = b называется разбиением отрезка [a, b] ;отрезки [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n, называются отрезками разбиения; длина i−го отрезкаразбиения обозначается ∆xi т.е. ∆xi = xi − xi−1 ; число λ(τ ) = max ∆xi называетсяiдиаметром разбиения.Пусть на отрезке [a, b] задана функция f (x) .

Выберем произвольно точки ξi ∈[xi−1 , xi ], i = 1, ..., n, и составим суммуσ(τ ) =nXf (ξi )∆xi ,i=1которая называется интегральной суммой функции f (x) , отвечающей разбиению τ иточкам ξ1 , ..., ξn , выбранным на отрезках разбиения. Предел интегральных сумм σ(τ )при условии, что диаметр разбиения λ(τ ) −→ 0 , называется определенным интеграломот функции f (x) по отрезку [a, b] . Этот предел ( если он существует и не зависит отвыбора точек ξi ) обозначаетсяZbf (x)dx,aв котором a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Более точно определение предела интегральных сумм выглядит так.Число I называется пределом интегральных сумм σ(τ ) при λ(τ ) −→ 0 , если длялюбого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что для любого разбиения τ ,для которого λ(τ ) < δ при любом выборе точек на отрезках разбиения выполняетсянеравенство|I − σ(τ )| < ε.Это же определение, как и в случае предела функций, можно записать и на языке последовательностей.1Примеры.1.

Пусть f (x) ≡ C на отрезке [a, b]. Тогдаσ(τ ) =nXf (ξi )∆xi = CnXi=1(xi − xi−1 ) = C(b − a).i=1Мы видим, что в данном случае интегральные суммы не зависят от способа разбиенияотрезка и выбора точек на отрезках разбиения. Поэтому предел таких сумм (при условии,что диаметр разбиения стремится к нулю) равен C(b − a) ; этому же числу равен исоответствующий интеграл:ZbCdx = C(b − a).aZb2. Пусть f (x) = x на отрезке [a, b] .

Можно доказать, что интегралxdx суaществует. Поэтому предел интегральных сумм не зависит от выбора точек на отрезкахразбиения, и , следовательно, данный интеграл равен пределу полусуммы двух интегральных сумм:!nnnX1X 211 Xxi−1 ∆xi +xi ∆xi =(xi − x2i−1 ) = (b2 − a2 ).2 i=12 i=12i=1Отсюда ясно, чтоZbxdx =.b 2 − a22a3. Рассмотрим функцию Дирихле1, если x рациональноχ(x) =0, если x иррационально.Для любого отрезка [a, b] и для любого его разбиения τ , выбрав все точки на отрезкахразбиения рациональными, получим, как и выше, чтоσ(τ ) =nX1 · ∆xi = b − a.i=1Выбрав указанные точки иррациональными, получим,чтоσ(τ ) =nX0 · ∆xi = 0.i=1Нетрудно проверить, что теорема о единственности предела справедлива и для пределовинтегральных сумм.

Поэтому для функции Дирихле интегральные суммы не имеют предела (при λ(τ ) −→ 0 ), и эта функция неинтегрируема.В связи с последним примером возникает вопрос об условиях интегрируемости функции.Теорема (о необходимом условии интегрируемости функции).Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена (на этом отрезке).В связи с этой теоремой (на доказательство которой у нас нет времени) заметим, что одной лишь ограниченности еще недостаточно для интегрируемости функции - в этом можно2убедиться на примере функции Дирихле.Пусть снова имеется функция f (x) , определенная на отрезке [a, b] .

Эта функция называется кусочно-непрерывной на этом отрезке, если существует разбиениеa = x0 < x1 < ... < xn = bтакое, что f (x) непрерывна на каждом интервале (xi−1 , xi ) , и при этом существуютконечные односторонние пределыlim f (x) иlim f (x), i = 1, 2, ..., n.x→xi −0x→xi−1 +0Иными словами, функция f (x) непрерывна во всех точках отрезка [a, b] за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых f (x) имеет разрывы 1-го рода. Вчастности, непрерывная на отрезке [a, b] функция кусочно- непрерывна на этом отрезке.Теорема (об интегрируемости кусочно-непрерывной функции).Если функция кусочно-непрерывна на некотором отрезке, то она интегрируема на этомотрезке.Эту теорему принимаем без доказательства.

Из нее следует, что непрерывная на отрезкефункция интегрируема (на этом отрезке). Заметим еще, что кусочная непрерывностьфункции не является необходимым условием интегрируемости.Рассмотрим геометрическую интерпретацию определенного интеграла. Пусть дана геометрическая фигура, ограниченная свеерху графиком непрерывной неотрицательной функции f (x) , с боков отрезками вертикальных прямых x = a и x = b и снизу отрезком[a, b] оси абсцисс. Такая фигура называется криволинейной трапецией (рис. 1).Рис.

1Вычислим площадь S криволинейной трапеции. Для этого возьмем разбиение a =x0 < x1 < ... < xn = b на отрезке [a, b] и выберем на отрезке [xi−1 , xi ] точкиξi и ηi , в которых достигается соответственно минимальное и максимальное значениянепрерывной на этом отрезке функции f (x); i = 1, 2, ..., n. Обозначив через Si площадькриволинейной трапеции, отвечающей изменению x на отрезке [xi−1 , xi ] , запишемочевидное неравенствоf (ξi )∆xi 6 S 6 f (ηi )∆xi .PnПросуммируем такие неравенства по i = 1, 2, ..., n.

Т.к.тоi−1 Si = S ,nXf (ξi )∆xi 6 S 6i=1nXi=13f (ηi )∆xi .Поскольку непрерывная функция интегрируема,то при стремлении диаметра разбиения кнулю получаем отсюда, чтоZbZbf (x)dx 6 S 6f (x)dx.aСледовательно, S =Rbaf (x)dx. Т.о., интеграл от неотрицательной непрерывной функцииaравен площади соответствующей криволинейной трапеции.Рассмотрим основные свойства определенного интеграла.1. Линейность. Пусть функции f1 (x) и f2 (x) интегрируемы на отрезке [a, b] , и пустьα1 и α2 - произвольные вещественные числа.

Тогда функция α1 f1 (x) + α2 f2 (x) такжеинтегрируема на [a, b] , иZbZbZb(α1 f1 (x) + α2 f2 (x))dx = α1af1 (x)dx + α2af2 (x)dx.aДля доказательства запишем очевидное равенство для интегральных сумм:nX(α1 f1 (ξi ) + α2 f2 (ξi ))∆xi = α1nXi=1f1 (ξi )∆xi + α2i=1nXf2 (ξi )∆xi .i=1Переходя здесь к пределу при λ(τ ) −→ 0 , получаем требуемое. Заметим, что простосослаться на известные теоремы из теории пределов мы здесь не можем, т.к. понятиепредела интегральных сумм не сводится непосредственно к понятию предела функции.При более подробном изложении следовало бы рассмотреть несколько теорем о свойствахпределов интегральных сумм (при λ(τ ) −→ 0).2. Аддитивность.

Пусть функция f (x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b] . Тогдаона интегрируема и на отрезке [a, b] , причемZbZcZbf (x)dx =af (x)dx +af (x)dx.cДоказательство. Интегрируемость функции f (x) на отрезке [a, b] очевидна в случаекусочно-непрерывной функции; в общем случае оставляем этот факт без доказательства.Поскольку f (x) интегрируема на [a, b] , то при составлении интегральной суммы дляинтеграла из левой части доказываемого равенства можно считать, что соответствующееразбиение a = x0 < x1 < ...

< xn = c = y0 < y1 < ... < ym = b содержит точку c . ТогдасуммаnmXXf (ξi )∆xi +f (ηj )∆yji=1j=1будет интегральной суммой для интегралаRbf (x)dx и одновременно суммой интеграль-aных сумм для интеграловRcaf (x)dx иRbf (x)dx.cПосле перехода к пределу при max ∆xi −→ 0 и max ∆yj −→ 0 получим требуемое.Можно доказать, что на самом деле определенный интеграл является аддитивной функцией ориентированного промежутка. Для того, чтобы сформулировать соответствующее4свойство, распространим понятие определенного интеграла на случай a > b (т.е. наслучай, когда нижний предел интегрирования больше верхнего) с помощью равенстваZbZaf (x)dx = −af (x)dx;bпри a = b будем считать, чтоZbf (x)dx = 0.aПри таком обобщении понятия интеграла справедливо следующее утверждение.Если функция f (x) интегрируема на отрезке I , и если a, b, c − произвольные точкиэтого отрезка, тоZbZcZbf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx,aacпричем, разумеется, все написанные интегралы существуют.Для доказательства следует рассмотреть все возможные случаи расположения точек a, b,c на отрезке I (при этом, если среди точек a, b, c есть совпадающие, то получается очевидное равенство, а если все эти точки различны, то доказываемое равенство очевиднымобразом следует из установленного выше свойства ”обычной” аддитивности определенного интеграла).3.