IDU_M1_L04 (Лекции)

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковИнтегралы и дифференциальные уравненияконспект лекцийдля студентов 1-го курса 2-го семестраспециальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2Лекция 4Интегрирование выражений, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций.Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.Через R(x, y, ..., t) будем обозначать рациональную функцию указанных аргументов(т.е. отношение двух многочленов от этих аргументов).

Выше мы научились интегрировать рациональные функции. В дальнейшем основным приемом интегрирования функций различных классов будет применение таких подстановок, которые приводят подынтегральное выражение к рациональному виду. Этот прием называется рационализациейподынтегрального выражения.ИнтегралZR(sin x, cos x)dx(∗)подстановкойxu = tg , −π < x < π,2сводится к интегралу от рациональной функции.В самом деле,sin x =2 sin x2 cos x22 tg x2=1 + tg2cos2 x2 + sin2 x2cos2cos x =cos2x2x2− sin2+ sin2x2x21 − tg2=1 + tg2x = 2 arctg u,следовательно,Zdx =ZR(sin x, cos x)dx = 2Rx2x2x2=2u,1 + u2=1 − u2,1 + u22du,1 + u22u 1 − u2,1 + u2 1 + u2du.1 + u2Рассмотренная подстановка называется универсальной.Пример.

Применим универсальную подстановку для вычисления интегралаZdxI=.1 + 3 cos xИмеемZ I=1 − u21+3·1 + u2−112du·=1 + u2Zdu=2 − u2√√ 2 + u 2 + tg x 112= √ ln √ + C = √ ln √ + C.x2 2 2 − u2 2 2 − tg 2 При вычислении интеграла (*) часто используют также подстановкиu = cos x,u = sin x,u = tg x.В некоторых случаях применение этих подстановок оказывается более выгодным, чем применение универсальной подстановки.

В качестве примера рассмотрим интегралZIm,n = cosm x · sinn xdx,где m и n - целые числа. Пусть сначала n - нечетное число; тогдаZZn−1mn−1Im,n = cos x · sinx · sin xdx = − cosm x · (1 − cos2 x) 2 d cos x =Z=−um (1 − u2 )n−12du,где u = cos x . Если нечетным является m , то применяем подстановку u = sin x . Еслиm и n являются четными, то, посколькуcos2 x =1,1 + tg2 xsin2 x =tg2 x,1 + tg2 xможно применить подстановку u = tg x . В этом случае x = arctg u,получаем, что m2 n2Z 1u2duIm,n =··,221+u1+u1 + u2dx =du, и мы1 + u2т.е. дело сводится к интегрированию рациональной функции. Если оба числа m и nявляются нечетными, то можно применить подстановку u = cos 2x . В самом деле,Zn−1m−1Im,n = (cos2 x) 2 · (sin2 x) 2 · cos x · sin xdx =1=−4 m−1 n−11 + cos 2x 21 − cos 2x 2·d cos 2x =22 m−1 n−1Z 11+u 21−u 2=−·du,422Z и получился интеграл от рациональной функции, т.к.

показатели степениявляются целыми числами (быть может, отрицательными).m−1n−1и22Пример. Применим последний прием для вычисления интегралаZI9,7 = cos9 x · sin7 xdx.ИмеемZI9,7 =1(cos x) · (sin x) · cos x · sin xdx = −424232Z 1+u24 31−u·du =2ZZ12 32 3(1 + u)(1 − u ) du = −(1 − u ) du + (1 − u ) udu =512ZZ112462 32(1 − 3u + 3u − u )du −=−(1 − u ) d(1 − u ) =51223 5 u7 (1 − u2 )413u−u + u −−+ C,u = cos 2x.=−512578ZZZИнтегралыsin αx · cos βxdx,sin αx · sin βxdx иcos αx · cos βxdx1=− 92Z2 3вычисляются с помощью формул элементарной тригонометрии:1sin αx · cos βx = (sin(α + β)x + sin(α − β)x),21sin αx · sin βx = (cos(α − β)x − cos(α + β)x),21cos αx · cos βx = (cos(α + β)x + cos(α − β)x).2Например,Z1sin 2x · cos xdx =2Z1sin 3xdx +2Z11sin xdx = − cos 3x − cos x + C.62Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций.

Пусть требуется вычислить интеграл rr Zαx + β 1αx + β nI = R x,, ...,dx,гдеγx + δγx + δαγβδ6= 0;r1 , ..., rn − рациональные числа, m − их общийнаименьший знаменатель.Пустьt=тогдаx = r(t) =и мы получаем, чтоZI=αx + βγx + δδtm − β;α − γtm m1;dx = r0 (t)dt,R(r(t), tmr1 , ..., tmrn )r0 (t)dt,после чего дело сводится к интегрированию рациональной функции.Пример. ПустьZ rI=4x+1dx·.x−1 x+1Тогда, применяя указанную выше подстановку, получаемrx+1t4 + 1−8t3 dtt= 4,x= 4,dx = 4;x−1t −1(t − 1)23Z Zt4 − 1 −8t3 dtdt11I = t·= −2−dt =· 4= −42t4(t − 1)2t4 − 1t2 − 1 t2 + 1rt + 1x+1 + 2 arctg t + C,= ln t= 4.t−1x−1√RРассмотрим теперь интегралы видаR(x, ax2 + bx + c)dx ;разберем два случая.Пусть сначала квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет вещественных корней; в этомслучае a > 0 , и имеет смысл подстановка√√ax2 + bx + c = t − a · x.√Тогдаax2 + bx + c = t2 − 2 a · tx + ax2 ;0t2 − ct2 − c√dt;x= √;dx =2 a·t+b2 a·t+bZZR(x,√Zax2+ bx + c)dx =Rt2 − c√;2 a·t+bt−√t2 − ca √2 a·t+b 0t2 − c√·dt,2 a·t+bи дело сводится к интегрированию рациональной функции.

Рассмотренная подстановкаявляется одной из подстановок Эйлера.Пример. ПустьZI=Применим подстановку Эйлера:ZI=2t2t −1√t2 − 1t−2tdx.x x2 + 1√x2 + 1 = t − x,x=t2 − 1,tdx =t2 + 1dt;2t2−1Zt − 1t2 + 1dt+C =·dt = 2= ln 2t2t2 − 1t + 1 x + √x2 + 1 − 1 √= ln + C.2x + x + 1 + 1Пусть теперь квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет два вещественных корня, т.е.ax2 + bx + c = a(x − λ)(x − µ).Тогда√ax2+ bx + c =pra(x − λ)(x − µ) = |x − λ| ·ax−µ,x−λи мы имеем интеграл уже рассмотренного типа:rZZ√x−µ2R(x, ax + bx + cdx = R x, |x − λ| · adx.x−λЗдесь рационализация достигается подстановкойrx−µ.t= ax−λВ заключении отметим, что многие интегралы от элементарных функций не выражаются через ZэлементарныеZ функции;Z таковы, например,встречающиесяZZZв приложениях инcosxsinxdx2тегралыe−x dx,cos x2 dx,sin x2 dx,dx,dx,и др.xxln x4.