IDU_M1_L01 (Лекции)

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковИнтегралы и дифференциальные уравненияконспект лекцийдля студентов 1-го курса 2-го семестраспециальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2Лекция 1Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенныхинтегралов.В дифференциальном исчислении рассматривались методы вычисления производнойзаданной функции.

Теперь мы займемся обратной задачей:по данной функции f (x) требуется найти такую функцию, для которой f (x) была бы производной.Пусть функции f (x) и F (x) заданы на одном и том же промежутке I.Функция F (x)называется первообразной для f (x) на этом промежутке,если для любого x ∈ I существуетпроизводная F 0 (x), равная f (x).Для граничной точки (если она принадлежит I под F 0 (x)понимается соответствующая односторонняя производная.Функция F (x) = x3 является первообразной для f (x) = 3x2 на промежутке1на−∞ < x < ∞ функция F (x) = arcsin x является первообразной для f (x) = √1 − x2√2 3промежутке −1 < x < 1; функция F (x) = x 2 является первообразной для f (x) = x3промежутке[0; +∞).Если F (x) — какая-либо первообразная для f (x), то F (x) + C, где C — постоянная,также будет первообразной этой функции (т.к. F 0 (x) = (F (x) + C)0 ).Далее, если F (x) и G(x) — первообразные функции f (x), то (F (x) − G(x))0 = F 0 (x) −G0 (x) = f (x) − f (x) ≡ 0.

Поэтому в силу известного условия постоянства функции напромежутке разность F (x) − G(x) является константой, т.е. F (x) − G(x) = C. Такимобразом, вся совокупность первообразных функции f (x) описывается выражением F (x) +C, где F (x) — какая-либо фиксированная первообразная, а C — произвольная постоянная.Совокупность всех первообразных функции f (x) (на некотором промежутке) называетсянеопределенным интегралом и обозначаетсяZf (x)dx;Пример.Zпри этом символназывается интегралом; f (x) называется подынтегральной функцией;f (x)dx — подынтегральным выражением; x -переменной интегрирования. Из вышесказанного следует, что если F (x) — некоторая первообразная функции f (x) , тоZf (x)dx = F (x) + C ,1где C — произвольная постоянная. Восстановление функции по ее производной (или, чтотоже самое, отыскание соответствующего неопределенного интеграла) называется интегрированием этой функции.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную поотношению к операции дифференцирования.Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.Пример.Проверим, что при a 6= 0Zxdx1= arctg + C.22x +aaaИмеем1xarctgaa0=1111·= 2.2 ·xa 1 + a2 ax + a2Впоследствии будет доказано, что всякая функция, непрерывная на некотором промежутке,имеет на этом промежутке первообразную.

Всюду в дальнейшем будем считать, что функции, стоящие под знаком интеграла,непрерывны; если же подынтегральная функция имеетточки разрыва, то будем рассматривать эту функцию лишь на тех промежутках, на которых она непрерывна.Поэтому все первообразные, о которых будет идти речь, существуют, и мы не будем этокаждый раз особо оговаривать.Пример.Пусть функция f (x) дифференцируема на промежутке I . Тогда, как известно из курса дифференциального исчисления, на любом промежутке I1 ⊂ I , не содержащем нулей рассматриваемой функции, выполняется равенство(ln |f (x)|)0 =f 0 (x).f (x)ПоэтомуZf 0 (x)dx = ln |f (x)| + C;f (x)в частности,Zdx= ln |x| + C,xпричем применять последнюю формулу можно на любом промежутке, не содержащем нуля.Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла, непосредственно вытекающиеиз соответствующего определения.1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:0Zf (x)dxZ= f (x);df (x)dx = f (x)dx.2.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этойфункции и произвольной постоянной:2ZF (x) = F (x) + C.3. Постоянный множитель, отличный от нуля, можно вынести за знак неопределенногоинтеграла, т.е.ZZαf (x)dx = αf (x)dx,α 6= 0.В самом деле, пустьZf (x)dx = F (x) + C;тогда αF (x) -одна из первообразных функции αf (x), иZαf (x)dx = αF (x) + C.Поэтому доказываемое равенство принимает вид:αF (x) + C = α (F (x) + C) .Такое равенство (понимаемое как равенство двух множеств функций) справедливо, т.к.если C пробегает множество всех вещественных чисел, то и αC при α 6= 0 также пробегаетэто множество.4.

Неопределенный интеграл от суммы двух ( или большего числа ) функций равенсумме неопределенных интегралов от слагаемых:ZZ(f1 (x) + f2 (x))dx =Zf1 (x)dx +f2 (x)dx.Если F1 (x) и F2 (x) — первообразные соответственно функций f1 (x) и f2 (x) , то F1 (x) +F2 (x) есть первообразная суммы f1 (x) + f2 (x) . Поэтому доказываемое равенство принимает видF1 (x) + F2 (x) + C = F1 (x) + C1 + F2 (x) + C2 ,где C, C1 , C2 независимо пробегают множество вещественных чисел; само равенство понимается как равенство двух множеств функций.

Ясно, что сумму C1 + C2 в правой частиможно ”заменить на одну произвольную постоянную”, и, следовательно, доказываемое равенство справедливо.Вычисление неопределенных интегралов основано на применении таблицы основных интегралов и правил интегрирования.3Таблица интеграловZZdxxα+1α1.x dx =+ C, α 6= −1; 2.= ln |x| + C;α x+ 1ZZxa3.ax dx =+ C, a > 0, a 6= 1;ex dx = ex + C;lnaZ4.cos xdx = sin x + C;Z5.sin x = − cos x + C;Zdx6.= tg x + C;Z cos2 xdx7.= − ctg x + C;2Z sin xdxx18.arctg+ C, a 6= 0;=22a a Z x +ax − adx1 + C, a 6= 0;9.ln =222ax + aZx −adxx√= arcsin + C, a > 0;10.aa2 − x 2Z√dx√= ln |x + x2 ± a2 | + C, a 6= 0.11.x 2 ± a2Полезно также помнить некоторые интегралы, содержащие гиперболические функции:Z12.sh xdx = chx + C;Z13.ch xdx == sh x + C;Zdx14.= th x + C;2Z ch xdx15.= − cth x + C.sh2 xВсе приведенные формулы могут быть доказаны дифференцированием правых частей.Проверим, например, формулу 11; имеем√1x1022√(ln |x + x ± a |) =· 1+ √=√,x + x 2 ± a2x 2 ± a2x 2 ± a2и мы видим, что данная формула справедлива.4.