2 (теория в пдф)

2.Учет симметрии при расчете статически неопределимых стержневых систем Использование метода сил для расчета систем с высокой степенью статическойнеопределимости связано с решением совместной системы большого количества линейныхуравнений. Даже самый экономичных метод решения таких систем – алгоритм Гаусса –требуетвычислительных операций (где n – число уравнений, т.е. степень статическойнеопределимости системы), при условии, что все коэффициенты системы отличны от нуля.

Всвязи с этим нужно стремиться так выбрать основную систему, чтобы возможно большее числопобочных единичных перемещений,и свободных членовобратилось в ноль. Основным средством для достижения этой цели является использование симметрии.Стержневая система является симметричной, если симметричны не только оси и опорныезакрепления (геометрическая симметрия), но и жесткости (упругая симметрия). При этом внешняянагрузка может быть и несимметричной. При выборе основной системы лишние неизвестные следует выбирать в видесимметричных и обратно симметричных усилий. Симметричные неизвестные создаютсимметричные эпюры моментов, а обратно симметричные неизвестные –кососимметричные эпюры. Такие эпюры обладают свойством взаимной ортогональности, т.е.результат их перемножения равен нулю: (14.18)Ортогонализация эпюр может достигаться различными способами:1) выбор симметричной основной системы; 2) выбор симметричныхи обратносимметричных неизвестных; 3) группировка неизвестных; 4) устройствожестких консолей (способ упругого центра); 5) использование статически неопределимойосновнойсистемы;6)разложениепроизвольнойнагрузкина симметричную и обратносимметричную составляющие.Рассмотрим раму, имеющую ось геометрической симметрии (рис.19, а).

Заменимвнешнюю нагрузку ей статически эквивалентной, такой, что она представляет суммусимметричной (рис.19, б) и кососимметричной (рис.19, в) нагрузок относительно осигеометрической симметрии.а)б)в)Рис. 19Аналогично можно классифицировать внутренниепроизвольном сечении стержневой системы (рис.20).силовыефакторывИзгибающие моменты МХ, МУ, нормальная сила N являются зеркальнымотражением друг друга относительно плоскости поперечного сечения. Эти внутренниесиловые факторы назовём симметричными.

Остальные (перерезывающие силы Qx, Qy икрутящий момент Мz ) назовём антисимметричными или кососимметричными силовымифакторами.Рис. 20Докажем теперь положение:у геометрически симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричнойвнешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные внутренние силовые факторы, апри кососимметричной внешней нагрузке – симметричные силовые факторы (рис.21).Канонические уравнения метода сил для изображённой на рис.19 триждыстатически неопределимой рамы имеют вид(14.19)а)б)Рис. 21На рис.

22 приведены эпюры изгибающих моментов от единичных сил.На основании этих эпюр находим:а)б)в)Рис. 22Следовательно, канонические уравнения (14.19) принимают вид(14.20)На рис. 23 приведены эпюры моментов от внешних симметричной (рис.23, а)и кососимметричной (рис.23, б) нагрузок.В первом случае симметричной внешней нагрузки имеем:а)б)Рис. 23Из (14.20) следует Х2 = 0, т.е. при симметричной внешней нагрузке обращается внуль кососимметричный силовой фактор (перерезывающая сила), что и требовалосьдоказать.Во втором случае кососимметричной внешней нагрузки имеем:Канонические уравнения (14.20) принимают вид(14.21)Т.к.

определитель системы двух первых уравнений (14.21)то, что и требовалось доказать.Полученные результаты могут быть распространены на пространственныестержневые системы. .