Моделирование технологических процессов, страница 4

8 изображены семейства распределений φΣ(х) для различных функций a(t),а на рис. 9 - соответствующие им точностные диаграммы технологических процессов.Влияние C(t) оценивается здесь относительным параметром λа.Рис. 8. Полные распределений погрешностей параметра качества изделий приразличных функциях a(t); na - показатель степени функции a(t);гауссовскоераспределение;предельный закон распределенияПри линейной функции a(t) все кривые φΣ(х) симметричны (рис. 8). Причем приувеличении значения λа полное распределение стремится к закону равной вероятности, апри уменьшении λа к гауссовскому закону. В первом случае имеет место пренебрежимомалое влияние случайных слагаемых, а во втором - неслучайных слагаемых.

По существуполное распределение для рассматриваемой суммы является композицией гауссовскогозакона и закона равной вероятности.Для ускоренно возраставшей функции a(t) композиционные распределенияявляется асимметричными (см. рис. 86), и в пределе, когда влияние ΣYi- по сравнению с Сtпренебрежимо мало (σ0 стремится к 0), полное распределение стремится к законуускоренно возрастающей вероятности.18Рис. 9.

Точностные диаграммы технологических процессов при линейной (а) иускоренно возрастающей (б) функции a(t)Рассмотренная схема суммы случайных и неслучайных слагаемых исоответствующие полные распределения часто встречается в технологии гибридныхинтегральных микросхем. Так, погрешности параметров качества тонкопленочныхконденсаторов и резисторов распределяются по законам, близким изображенным на рис.8а; распределения погрешностей толщины тонких пленок в партии (при условииравномерного распределения толщины пленок по поверхности отдельно взятых подложек)аналогичны рис. 8б.3.Сумма, состоящая из двух груш случайных слагаемых, из которых перваяудовлетворяет условиям центральной предельной теоремы, а вторая - следующемуусловию: число слагаемых (или значения параметров их рассеяния) изменяется взависимости от значения некоторого аргумента t, а средние значения остаютсянеизменными, т.е.(27)Очевидно, что мгновенные распределения случайной величины X будутподчиняться гауссовскому закону с параметрами a0, σt.

Полное распределение длярассматриваемой схемы имеет вид(28)где tb -функция, обратная функции b(t) характеризующей изменение параметрарассеяния σt в зависимости от аргумента t.В соответствии c (28) закон полного распределения определяется видом функцииb(t) и влиянием в (27) группы слагаемых Ys(t) в сравнении с первой группой, На рис. 10приведены кривые полных распределений при различных зависимостях b(t).Соответствующие точностные диаграммы технологических процессов представлены нарис.

11 в общем виде.Отметим, что независимо от вида функции b(t) кривые полного распределенияявляются симметричными и имеют положительный эксцесс по сравнению с кривымигауссовского закона. При этом эксцесс увеличивается по мере увеличения параметра λb.19Такие распределения характерны для погрешностей параметров качестватонкопленочных элементов при закономерном изменения точности оборудования и принеизменной его настройке на номинал или при смешивании партий изделий с различныхединиц оборудования, отличающихся точностью работы.4.Сумма, образованная группами слагаемых: случайных Yi и Ys(t), а такженеслучайных Сt, т.е.(29)Для этой схемы мгновенные распределения подчиняются гауссовскому закону спараметрами at=a0+Ct и σt, а полное распределение определяется так:(30)Формы кривых полного распределения (30) отличаются большим разнообразием,что определяется совместным влиянием всех групп слагаемых и видами функций a(t) иb(t).Рис.

10. Полные распределения при различных функциях b(t): nb – показательстепени функции b(t);- гауссовское распределение20Рис. 11. Точностные диаграммы технологических процессов при различныхфункциях b(t)На рис. 12 изображены кривые полных распределений для нелинейных функцийа(t) и b(t), имеющих точки перегиба. Соответствующая точностная диаграммапредставлена на рис. 13. Для удобства здесь вместо параметров λа и λb введены соответственно параметрыТакая схема возникновения производственных погрешностей характерна длятехнологического процесса горячего луженая плат интегральных схем (распределениевысоты слоя полуды).Риc. 12.

Дачные распределения при нелинейных функциях а(t) и b(t) с точкамиперегиба:- гауссовское распределение; na и nb - показатели степени функций a(t) иb(t) соответственно; ma и mb - абсциссы точек перегиба в функциях a(t) и b(t)соответственно21Рис. 13. Точностная диаграмма технологического процесса при нелинейныхфункциях a(t) и b(t) с точками перегиба5.Сумма, образованная только случайными слагаемыми Yi, но среда которыхесть одно резко доминирующее слагаемое Yk.В этом случае полным законом распределения погрешностей будет композициягауссовского распределения случайной величины и некоторого распределения случайнойвеличины(31)где φi(yk) - плотность вероятности распределения случайной величины yk.Вид кривой распределения φΣ(х) зависит от характера закона распределенияφ1(yk). Если доминирующее слагаемое распределено по закону Гаусса, то полноераспределение также гауссовское.Кроме рассмотренных пяти схем возможны более сложные схемы возникновенияпроизводственных погрешностей, для которых случайная величина является функциейодной или нескольких случайных величин, образованных, в свою очередь, по схемесуммы.

Такие случаи связаны, например, с наличием погрешностей измерения параметровкачества на контрольно-разбраковочных операциях в производстве гибридныхинтегральных микросхем и микросборок.Следует отметить, что всегда отклонение распределений производственныхпогрешностей параметров качества изделий от гауссовского означает нарушение одногоиз условий центральной предельной теоремы и делает необходимым анализ точности истабильности технологических процессов с целью установления причин этого нарушения.Рекомендуется следующий порядок анализа стабильности технологическогопроцесса:1)Сбор статистического материала, представляющего собой совокупностьизмерений параметров качества изделий за определенный период времени.2)Обработка статистического материала с целью получения полногораспределения погрешностей параметра качества и точностной диаграммы процесса.3)По виду полного распределения и точностной диаграммы принимаетсягипотеза об определенной теоретической схеме возникновения производственныхпогрешностей в данном технологическом процессе.4)Анализ физико-технологической сущности процесса и проведение принеобходимости дополнительных экспериментов для подтверждения принятой гипотезы иопределения факторов, обусловливающих данную теоретическую схему.5)Выработка рекомендаций к изменению технологического процесса дляконструкций изделия с целью повышения точности ж стабильности процесса,6)Анализ и контроль в течение определенного периода временитехнологического процесса для подтверждения эффективности модернизаций.22Методика проведения контроля и анализа стабильности технологическогопроцесса статистическим методомПри серийном и массовом производстве электронной аппаратуры необходимосистематически вести оценку стабильности и устойчивости технологических процессов.Материалом для анализа стабильности технологического процесса могут служить те жестатистические данные, что и для анализа точности.

Однако они должны бытьрезультатом непрерывных наблюдений в течение большого промежутка времени (месяц,неделя, сутки, смена) или составлены из выборок, извлеченных через определенныефиксированные промежутка времени, (час, доли часа). В первом случае исследовательбудет располагать достаточно обширным статистическим материалом, порядканескольких сотен опытов (наблюдений). Во втором случае объем собранного материалабудет весьма ограничен - несколько десятков наблюдений, но при этом затраты напроведение контроля ж анализа технологического процесса значительно снижаются, а присоответствующей обработке ограниченного статистического, материала могут бытьполучены необходимые сведения.

Поэтому в производственных условияхпредпочтительным является использование выборок.Оценки генеральных характеристик (математическое ожидание, дисперсия)случайной величины, полученные на основе выборок, называются точечными оценками.Полученная информация используется для построения точностной диаграммытехнологического процесса.Построенная таким образом точностная диаграмма будет иметь приближенныйхарактер, поскольку при малом числе наблюдений точечная оценка в значительной мереслучайна и колеблется от выборки к выборке. Замена генеральной характеристики ееоценкой в этом случае может привести к большим ошибкам, что даст неправильнойпредставление о качестве технологического процесса.

Поэтому для каждойстатистической характеристики, вычисленной по результатам выборки, следует знатьточность и надежность оценки. Для этого строится доверительный интервал при заданнойдостоверности (доверительной вероятности, или надежности). Обычно достоверность,которую обозначим через β, выбирается близкой к единице (0,9; 0,95; 0,99),Достоверность - это вероятность того, что оцениваемый параметр лежит междудоверительными границами. Доверительный интервал рассматривается как интервалзначений случайной величины, совместимых с опытными данными и не противоречащихим. При этом величины вероятности и доверительных границ взаимосвязаны.Рассмотрим вопрос построения доверительных интервалов числовых параметровслучайной величины, распределенной по гауссовскому закону.Постановка задачиНад случайной величиной X произведено n не зависимых опытов и полученыточечные оценки параметров закона распределения(32)Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров,соответствующие заданной доверительной вероятности β.Построение доверительного интервала для математического ожиданияБудем рассматривать такой доверительный интервал, границы которогосимметричны относительно оценки.

Обозначим половину длины интервала через εβ.Величина εβ должна быть такой, чтобы выполнялось условиегде М(х) - математическое ожидание генеральной совокупности.Согласно теории вероятностей и математической статистике, величина εβ23находится по выражению(33)Значение параметра tβ, входящего в (33), зависит от доверительной вероятности βи числа степеней свободы ν=n-1 и определяется по таблице [3].Искомый доверительный интервал с центром в случайной точке(34)Построение доверительного интервала для среднего квадратического отклоненияОбозначим границы данного интервала через σ1 и σ2 (σ1<σ2)Требуется найти эти границы из условия(35)где σ(х) - среднее квадратическое генеральной совокупности.Чтобы построить доверительный интервал для среднего квадратическогоотклонения, представил (35) как разность вероятностей событий σ(х)<σ2 и σ(х)>σ1, т.