Семестр_3_Лекция_17 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекция 17Лекция 17. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом.Электронная теория дисперсии. Нормальная и аномальная дисперсия.Закон Бугера. Рассеяние света.Рассмотрим классическую модель взаимодействия электромагнитного излучения с веществом. Эта модель приводит к качественно верным результатам, нодостоинством её рассмотрения является простота описания.При прохождении электромагнитной волны через вещество на заряженныечастицы, входящие в атомы (и молекулы) вещества будет действовать сила Лоренца( ()) F = q E+ v×B .Найдем отношение величин магнитной и электрической составляющих этой силыεFM qvB vµ0 Hv=== vµ 0 0 = .FЭqEEµ0 cДвижение частиц в атомах ограничено в пространстве (как говорят, движение является финитным), поэтому его можно представить как колебания вблизи(усреднённых) положений равновесия. Амплитуда скорости частиц связана с амплитудой колебаний v = ωA0 .

Циклическая частота вынужденных колебаний совпадает с частотой волны ω =2πc, поэтомуλAFM v ωA0 2πc A0= === 2π 0 .λ cλFЭ ccИз этого соотношения видно, что магнитная сила по величине много меньше электрической, если амплитуда колебаний много меньше длины волны A0 << λ .При рассмотрении движения заряженных частиц, входящих в состав атомов вещества амплитуда колебаний не превышает размеров атомов, т.е. A0 ∼ 10−10 м. Следовательно, в случае электромагнитной волны, например, видимого света, для которой λ ∼ 10−7 ÷ 10−6 м условиеAFM v= = 2π 0 << 1 можно считать выполненным.FЭ cλ1Семестр 3.

Лекция 17Это означает, что можно пренебречь магнитной силой (и сообщаемым ею ускорением) и рассматривать вынужденные колебания заряженных частиц в неподвижных атомах как линейные колебания электронов вдоль направления вектора E .Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси X, в которой для вектора напряженности E = E0 sin ( ωt − kx + ϕ ) .Пусть волна линейно поляризована вдоль Y. Тогда вектор напряженности в координатах имеет вид E = ( 0,E,0 ) и E = E0 sin ( ωt − kx + ϕ ) .Предположим, что в точке, с координатами r = ( x0 ,0,0 ) находится заряженнаячастица массы m и зарядом q.

Уравнение движения частицы вдоль оси Yma = FУПР + FВЫН + FР _ТРЕНгдеFУПР = −k ⋅ y - сила упругости, возникающая при смещении частицы от положенияустойчивого равновесия (как следует из лекций предыдущего семестра для квазиd 2WПОТупругой силы k = −> 0 );dx 2FВЫН = qE y = qE0 sin ( ωt − kx0 + ϕ ) - вынуждающая сила со стороны электромагнитнойволны;FР _ ТРЕН =1 2q 2 da- сила радиационного трения.4πε 0 3c3 dtТ.е.ma = −k ⋅ y + qE y +Обозначим η =1 2q 2 da.4πε 0 3c3 dt1 2q 2mkqи перепишем уравнение y = y + y − Ey .34πε0 3cηηηПроделаем некоторые очевидные преобразования:- cначала вычтем из обеих частей равенства выражение αy , где α - вещественноечисло:2Семестр 3.

Лекция 17y − αy=mkqy − αy + y − Ey ;ηηη- затем в правой части вычтем и прибавим слагаемое, пропорциональное y :mmky − αy =  − α  ( y − αy ) +  − α  α  y +mηη η − α  αηЕсли потребовать выполнение равенстваkmη − α  αηqy  − Ey . η= −α , то можно ввести новуюпеременную s = y − αy , где константа α определяется из кубического уравненияηα3 − mα 2 − k = 0 .

Т.к. это алгебраическое уравнение нечётной степени, то оно обяза-тельно имеет, хотя бы один, вещественный корень α.Теперь найдем знаки у коэффициентов дифференциального уравнения.Т.к.mkkm= −α 2 , то  − α  = − 2 < 0 , откуда α > > 0 , следовательноηαηmηη − α ηmmk − α  α < 0 . Если ввести новые обозначения  − α  = − 2 = −2β < 0 иηαηηm2 η − α  α = −ω0 < 0 , то новая переменная s = y − αy будет являться решением уравнеqηния обыкновенного дифференциального уравнения s = −2βs − ω02 s − E y илиs + 2βs + ω02 s = −qE0 sin ( ωt − kx0 + ϕ ) .µЭто уравнение вынужденных колебаний. Как известно из предыдущего семестра(см. лекции 1-го курса), в этом случае общее решение является суммой решения,затухающего с течением времени sЗАТ = AЗАТ e −βt sin ( ωЗАТ t + ϕЗАТ ) , и решения, описывающего вынужденные колебания с частотой вынуждающей силыsВЫН = ABЫН sin ( ωBЫН t + ϕBЫН ) .Замечание.

Зная какое-либо решение для переменной s, можно найти решение идля переменной y из дифференциального уравнения y − αy = s .3Семестр 3. Лекция 17Например, для вынужденных колебаний y − αy = ABЫН sin ( ωBЫН t + ϕBЫН )решение имеет вид y = ABЫН sin ( ωBЫН t + ϕ BЫН + ψ ) ,где tg ψ =ωBЫН. Таким образом, амплитуда пространственных колебаний такая жеαкак и амплитуда колебаний величины s. Поэтому эта амплитуда равнаAВЫН =f0(ω20− ω2ВЫН ) + 4β2 ω2ВЫН2qη, где f 0 = E0 .Фаза вынужденных колебаний отличается фазы вынуждающей силы на величину θ, гдеAВЫНδtg θ =E02βωBЫН,ω20 − ωBЫН 2поэтому общая величина сдвига фазы δ = θ + ψ .На амплитудно-векторной диаграмме видно, чтопроекция вектора амплитуды вынужденных колебаний AВЫН на направление вектора амплитуды напряженности электрического поля волны E0 равна( AВЫН ) Е0= AВЫН cos ( δ )В зависимости от частоты эта проекция может как положительной, так и отрицательной, так как δ = θ + ψ тоже зависит от частоты.При колебаниях электроны движутся с ускорением, поэтому излучают электромагнитные волны такой же частоты, что и частота падающей волны.

Мощностьизлучения пропорциональна квадрату ускорения. При колебаниях амплитуда ускорения равна aMAX = Aω2 . Следовательно, мощность излучения электронов под действием падающей волны пропорциональна 4й степени частоты волны. Это излучениеназывается рассеянным излучением.Атомы (и молекулы) вещества могут тоже совершать колебания под действием падающей волны. Кинетическая энергия колебаний пропорциональная квадратускорости vMAX = ωA , т.е. квадрату частоты колебаний.

Увеличение кинетическойэнергии колебаний приводит к увеличению внутренней энергии тела. Таким образом, часть энергии волны поглощается веществом.4Семестр 3. Лекция 17Закон Бугера.При рассеянии и поглощении энергия падающей волны уменьшается. Припрохождении волной расстояния dl интенсивность I уменьшается на величину dI.Введём коэффициент пропорциональности k, называемый коэффициентом поглощения (единицы измерения 1/м)dI = − k ⋅ I ⋅ dl .Откуда получаем закон уменьшения интенсивности (закон Бугера)I = I 0 e − klгде I0 – величина интенсивности при l=0.

При прохождении расстояния, величинакоторого обратная коэффициенту поглощения, интенсивность излучения уменьшается в е раз.Так как причиной появления рассеянного излучения и поглощения энергииявляются вынужденные колебания электронов и атомов, и вблизи резонансныхчастот должно наблюдаться резкое увеличение амплитуды колебаний, то коэффициент поглощения k зависит от частоты излучения. Таких частот, вообще говоря,может быть несколько.Для веществ, атомы которых слабо взаимодействуют между собой (газы приневысоких давлениях) коэффициент поглощения заметно отличен от нуля тольковблизи резонансных частот поглощения (линейчатый спектр поглощения).Например, результаты опытов показывают, что спектр солнечного излучениянепрерывный. Но при прохождении солнечного света через атмосферу Солнца по-kkωωглощается часть излучения при резонансных частотах, соответствующих газам, находящихся в составе атмосферы Солнца.

Изучая эти частоты, можно определитьхимический состав атмосферы Солнца (или звёзд).5Семестр 3. Лекция 17Для газов при высоких давлениях, жидкостей и твердых тел характерны широкие полосы поглощения.Дисперсия.Рассмотрим вещества, не являющиеся проводниками (или плазмой). В такихтелах, когда внешнее поле отсутствует EВНЕШН = 0 , усредненноё положение электрических зарядов является равновесным.

Под воздействием внешнего электрическогополя более лёгкие электроны смещаются и начинают совершать колебания околоположения равновесия. При смещении отрицательно заряженного электрона навектор y , электрический дипольный момент, равный p = q ⋅ y , будет направленпротивоположно смещению p =↑↓ y . Но из выражения для вектора поляризованности вещества P = æE следует, что для определения коэффициента поляризуемостивещества æ надо рассматривать только проекцию вектора поляризованности P нанаправление вектора E :p∑n qy n qAcos δPN æ = E . Но P = V= p = nОБ p = nОБ qy , æ = ОБ = ОБ ВЫН,EVVEE0т.е.

æ =nОБ qAВЫН cos δ=E0ηnОБ q 2 cos δ(ω20− ω2ВЫН ) + 4β2 ω2ВЫН2(здесь nОБ - концентрация диполей).Показатель преломления вещества равен n = µε . Большинство оптическипрозрачных веществ являются парамагнетиками ( µ ≈ 1 ), поэтомуnОБ q 2 cos δn ≈ ε = 1+ æ = 1+2η( ω02 − ω2ВЫН ) + 4β2ω2ВЫН2.Это формула получена с помощью классического рассмотрения при различныхпредположениях. Но она даёт качественно верное представление о явлениях привзаимодействии излучения с веществом. В зависимости от частоты и величиныcos δ показатель преломления может быть как больше, так и меньше 1.Явление зависимости показателя преломления вещества от длины волны излучения называется дисперсией.

Нормальная дисперсия – показатель преломленияувеличивается при уменьшении длины волны (увеличении частоты).6Семестр 3. Лекция 17Обратная зависимость носит название аномальной дисперсии.Нормальная дисперсия наблюдается, в частности, вопыте Ньютона по разложению белого света в спектр припрохождении его через стеклянную призму. В этом опыте украсного света, имеющего бóльшую длину волны, меньшийпоказатель преломления, чем у фиолетового, длина волны которого меньше.Аномальная дисперсия в веществе наблюдается в области частот, соответствующих сильному поглощению.

Действительно, качественно это можно наблюдатьна классической модели рассмотренной выше.nОБ q 2 cos δВеличина показателя преломления n ≈ 1 +η(ω20− ω2ВЫН ) + 4β2 ω2ВЫН2зависит от частоты волны. Если частота сильно отличается от резонансной, тосдвиг фаз δ незначительный ( cos δ ≈ 1 ), поэтому значение дроби положительное ипоказатель преломления больше единицы.knВблизи резонансной частоты величин дробиk(ω)начинает резко возрастать, поэтому при cos δ > 0n(ω)показатель n увеличивается. Но при некоторой1частоте величина cos δ становится отрицательной, что приводит к резкому уменьшению поωказателя преломления.Если совместить два графика – зависимость ко-эффициента поглощения и показателя преломления от частоты, то можно увидеть,что аномальная дисперсия в веществе наблюдается в области частот, соответствующих сильному поглощению.

Аномальную дисперсию можно наблюдать, например, в разреженных газах и парах металлов.Групповая скорость.Электромагнитные волны, испущенные естественными источниками, не являются монохроматичными, но их можно представить в виде волнового пакета –как суперпозицию монохроматичных волн с близкими частотами. Из-за дисперсии7Семестр 3. Лекция 17монохроматичные волны, составляющие пакет, будут иметь разные фазовые скорости в веществе. Если вещество является сильно диспергирующим, т.е. показательпреломления сильно меняется даже при небольшом изменении частоты, то разныефазовые скорости волн будут являться причиной распадения пакета – отдельныезначительно волны обгонят другие.Если волновой пакет распространяется в слабо диспергирующей среде, то онбудет сохранять целостность длительное время, хотя его «форма» будет меняться.Пример.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, являющуюся суперпозицией двух монохроматических волн с близкими частотами ω и ω+∆ω, ∆ω<<ω ираспространяющуюся в веществе. Частоты волн разные, поэтому им соответствуют разные показатели преломления n и n+∆n, где ∆n =ют разные фазовые скорости vФ ( ω) =dn∆ω . Поэтому волны имеdωc. Предполагаем, что вещество являетсяn ( ω)слабо диспергирующим при данной частоте:∆n dn ∆ω=<< 1 , т.е. если даже частотаn dω nизменится в несколько раз ∆ω = N ω , то изменение показателя преломления будетмалым∆n dn ωN << 1 .