Программа по теории. РК №2, тема «Кривые и поверхности 2-го порядка, матрицы и СЛАУ», для МТ и РК

Программа по теории для Рубежного контроля по второму модулюДисциплина: Аналитическая геометрия, для МТ и РКТема: Кривые и поверхности второго порядка, матрицы и СЛАУ1. Эллипс: определение, уравнение со смещенным центром. Эксцентриситет, координаты фокусовсмещенной кривой (два случая: фокусы располагаются горизонтально или вертикально). Оптическое свойство эллипса2. Гипербола: определение, уравнение со смещенным центром (два случая: фокусы располагаютсягоризонтально или вертикально). Эксцентриситет, координаты фокусов (два случая), уравненияасимптот смещенной кривой.

Оптическое свойство гиперболы.3. Парабола: определение, уравнение со смещенной вершиной (два случая: вертикальная или горизонтальная ось симметрии). Эксцентриситет параболы. Координаты фокуса, уравнение директрисы смещенной кривой (два случая). Оптическое свойство параболы.4.

Эллипсоид: каноническое уравнение, сечения, рисунок. Гиперболоиды: канонические уравнения, сечения, рисунки. Коническая поверхность: каноническое уравнение, сечения, рисунок. Параболоиды: канонические уравнения, сечения, рисунки.5. Поверхность вращения, её уравнение. Цилиндрические поверхности, уравнения цилиндрической поверхности (в частности, второго порядка) с образующей, параллельной координатной оси.6.

Определение суммы двух матриц и произведения матрицы на число. Определение произведениядвух матриц, условие его существования. Свойства этих операций. Определение степени матрицыс натуральным показателем, её свойства ( An ⋅ Am = .?. = Am ⋅ An , ( An ) m = ? ). Свойство определителя произведения двух квадратных матриц. Определение операции транспонирования двух матриц, её свойства: ( AT ) T = ? , ( λ A )T = ? , ( A ± B ) T = ? , ( AB ) T = ?7. Определение: (а) обратной матрицы; (б) алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы. Количество матриц, обратных к данной матрице. Критерий существования обратной матрицы.

Методы нахождения обратной матрицы с помощью: (а) алгебраических дополнений; (б) элементарных преобразований. Свойство матрицы: (а) обратной к произведению двух матриц, (б) об−1ратной к транспонированной матрице: ( AB ) − 1 = ? , ( AT ) = ?8. Определение элементарных преобразований матрицы. Определение эквивалентных матриц. Определение ступенчатой матрицы.

Теоремы о приведении с помощью элементарных преобразований: (а) произвольной матрицы к ступенчатому виду; (б) квадратной невырожденной матрицы кединичной.9. Определения: (а) минора произвольной матрицы; (б) ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и её следствия. Влияние элементарных преобразований: на ранг матрицы, на определительквадратной матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Нахождение ранга матрицы: (а) методом окаймляющих миноров; (б) с помощью элементарных преобразований.10. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): координатная, матричная и векторнаяформы записи. Определение совместной СЛАУ. Формулы Крамера для решения «квадратной»СЛАУ, условия их применимости.

Сформулировать критерии: (а) совместности СЛАУ; (б) существование единственного решения совместной СЛАУ.11. Однородная СЛАУ: условие её совместности, критерий существования ненулевого решения:(а) произвольной однородной СЛАУ (в терминах ранга); (б) «квадратной» однородной СЛАУ (втерминах определителя). Свойство частных решений однородной СЛАУ. Размерность пространства решений однородной СЛАУ.

Определение фундаментальной системы решения однороднойСЛАУ, структура общего решения однородной СЛАУ.12. Свойство частных решений неоднородной СЛАУ. Структура общего решения неоднороднойСЛАУ. Как проверить правильность полученного общего решения неоднородной СЛАУ:X oн = D + C1F1 + ... + Ck Fk ?.