Программа по теории 1-ого рубежного контроля ИБМ, МТ, РК

Программа по теории рубежного контроля №1 на тему«Векторы, прямые и плоскости»Для факультетов ИБМ, МТ и РК(доказательства и выводы, помеченные звёздочкой (*), относятся только для факультета РК)1. Дать определение определителя второго и третьего порядка, сформулировать свойстваопределителя произвольного порядка. Описать методы вычисления определителя третьего ипроизвольного порядка. Написать и пояснить формулы Крамера, условия их применимости.2.

Дать определение свободного вектора. Дать определение и сформулировать свойстваарифметических операций над векторами (сложение, умножение на число).3. Дать определения линейно зависимой и независимой систем векторов. Сформулировать:(а) общий критерий линейной зависимости векторов и его следствия; (б) критерий линейнойзависимости: (1) двух, (2) трех (доказать*), (3) четырех геометрических векторов.4. Дать определение базиса и координат вектора в базисе. Доказать(*) единственностьразложения вектора по базису. Записать формулу для координат суммы векторов и координат вектора,умноженного на число.5. Дать определение, записать формулу проекции вектора на ось, написать и доказать(*) еёсвойства. Дать определение скалярного произведения векторов.

Сформулировать алгебраическиесвойства скалярного произведения. Написать и вывести(*) формулу для вычисления скалярногопроизведения и длины вектора через координаты в ортонормированном базисе.6. Направляющие углы вектора, написать и вывести(*) формулу для их косинусов.7. Дать определение векторного произведения векторов. Сформулировать алгебраические свойствавекторного произведения, критерий равенства нулю, написать и вывести(*) формулу для вычислениячерез координаты векторов в ортонормированном базисе. Геометрические приложения векторногопроизведения.8.

Дать определение смешанного произведения векторов. Сформулировать алгебраическиесвойства смешанного произведения, критерий равенства нулю, написать и вывести(*) формулу длявычисления через координаты векторов в ортонормированном базисе. Проверка геометрическойориентации векторов.9. Система координат на плоскости и в пространстве, определение координат точки, связькоординат вектора с координатами его концов. Написать формулы для (а) расстояния между двумяточками; (б) координат точки М, делящей отрезок A1 A2 в данном отношении A1M : MA2 = α1 : α 2 .10. Перечислить, записать различные виды уравнений прямой на плоскости, геометрический смыслих коэффициентов.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Написать и вывести(*)формулу расстояния от точки до прямой на плоскости.11. Перечислить и записать различные виды уравнений плоскости, геометрический смыслравенства нулю одного из коэффициентов общего уравнения плоскости. Вывести(*) общее уравнениеплоскости, уравнение плоскости проходящей через три точки и уравнение плоскости в отрезках.Написать формулы расстояния (а) от точки до плоскости; (б) и между двумя параллельнымиплоскостями.

Сформулировать условия перпендикулярности, параллельности и совпадения двухплоскостей, формула для угла между двумя пересекающимися плоскостями.12. Записать и вывести(*) параметрические (в векторной и в координатной форме), канонические иобщие уравнения прямой в пространстве. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярностипрямой и плоскости. Написать условие, при котором данная прямая лежит в данной плоскости. Записатьформулы: (а) угла между прямой и плоскостью; (б) расстояния от точки до прямой в пространстве.13. Написать и вывести(*) условия, при которых две прямые в пространстве, заданные каноническимиуравнениями: (а) совпадают; (б) параллельны; (в) пересекаются; (г) скрещиваются. Записать формулы дляугла и расстояния между: (а) параллельными и (б) скрещивающимися прямыми..