Kovalev_M_D_Matematicheskaya_statistika_ 2014 (4 типовой расчет)

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМ. Д. Ковалев, Н. С. Полякова, Х. Р. ФедорчукМатематическая статистикаМетодические указания к выполнению типового расчетапо курсу «Статистика»УДК 519.2ББК 22.172К56Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ruпо адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book219.htmlФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Вычислительная математикаи математическая физика»Рекомендовано Учебно-методической комиссиейНаучно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»МГТУ им.

Н. Э. Баумана в качестве методических указанийРецензентканд. физ.-мат. наук, доцент О. В. ПугачевК56Ковалев, М. Д.Математическая статистика : методические указания к выполнению типового расчета по курсу «Статистика» / М. Д. Ковалев, Н. С. Полякова, Х. Р. Федорчук. — Москва : ИздательствоМГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014.

— 67, [5] с.ISBN 978-5-7038-3997-3Кратко изложены основы теории математической статистики иприведены задачи на нахождение точечных и интервальных оценок,регрессионного и однофакторного дисперсионного анализа, на применение параметрических и непараметрических методов статистики. Большинство задач дано в текстовом виде.Для студентов 2-го и 3-го курсов машиностроительных и приборостроительных специальностей.УДК 519.2ББК 22.172ISBN 978-5-7038-3997-32© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014© Оформление.

ИздательствоМГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014ПРЕДИСЛОВИЕМетоды математической статистики прочно вошли в жизнь.Они широко применяются в производстве, медицине, сельскомхозяйстве, во всех опытных науках и технических дисциплинах.При изучении и сравнении различных технологических процессов,методов обработки по определенным измеряемым признакам,например по точности или по прочности, результаты наблюденийиспользуют для получения оценок некоторых величин или дляпроверки предположений — гипотез.В данном пособии кратко изложена теория и приведены задачина нахождение точечных и интервальных оценок, регрессионного иоднофакторного дисперсионного анализа, задачи на применениепараметрических и непараметрических методов статистики. С болееподробным изложением теории математической статистики можноознакомиться в изданиях [1 − 4].

Приведенные в пособии условиязадач типового расчета имеют двойную нумерацию: первое числосоответствует номеру задачи, второе — номеру варианта.31. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯПредметом математической статистики является суждение ослучайной величине X по результатам опытов (случайных испытаний), в которых получаются определенные значения этой случайной величины. Например, при наличии случайных погрешностей измерения физической величины ее можно рассматривать какслучайную величину, а выводы о ней мы делаем на основании ряда ее значений, полученных при измерении. С некоторой идеализацией то же можно сказать, и когда, например, исследуют распределение по массе зерен пшеницы из большой партии, выбираяслучайным образом и взвешивая несколько зерен. Выборкой объема n называют совокупность X 10 , X 20 , …, X n0 независимых измерений случайной величины X. При этом говорят, что выборка взятаиз генеральной совокупности X.

(В примере с зерном генеральной совокупностью можно считать всю партию зерна.) Выборкойтакже называют совокупность независимых одинаково распределенных (так же, как и X) случайных величин X 1 , ..., X n , отвечающих результатам n наблюдений случайной величины X.Определение.

Выборочным начальным моментом k-го порядка называют величину µˆ k ( X n ), вычисляемую по формуле1 nµˆ k ( X n ) = ∑ X ik .n i =1Выборочный начальный момент 1-го порядка обозначают1 nX = µˆ 1 ( X n ) = ∑ X in i =1и называют выборочным средним.4Определение. Выборочным центральным моментом k-го порядка называют величина υˆ k ( X n ), вычисляемую по формуле1 nυˆ k ( X n ) = ∑ ( X i − X ) k .n i =1Замечание.

При k = 2 получаем выборочную дисперсиюS02 =1 n∑ ( X i − X )2 .n i =1Однако эта оценка оказывается смещенной, поэтому рассматривают оценку дисперсииS2 =1 n∑ ( X i − X )2 ,n − 1 i =1называемую исправленной выборочной дисперсией.Определение. Если имеется две выборки одинакового объемаX n и Yn , то для них может быть вычислен выборочный корреляционный момент 1 nKˆ ( X n , Yn ) = ∑ ( X i − X )(Yi − Y ).n i =1Определение. Выборочным коэффициентом корреляцииназывают величину Kˆ ( X n , Yn ) ,ρˆ ( X n , Yn ) =σˆ x ( X n )σˆ y (Yn )1 n1 nгде σˆ 2x ( X n ) = ∑ ( X i − X ) 2 ; σˆ 2y (Yn ) = ∑ (Yi − Y ) 2 — выборочныеn i =1n i =1дисперсии.Замечание. Если известна плотность распределения f ( x) непрерывной случайной величины X, то величиныkmk = Μ ( X ) =+∞∫xkf ( x)dx,−∞5называют теоретическими начальными моментами k-го порядка, авеличиныm k = Μ ( X − Μ ( X )) k =+∞∫ ( x − Μ ( X ))kf ( x )dx−∞— теоретическими центральными моментами k-го порядка.В частности, m1 = M( X ) — математическое ожидание,m 2 = D( X ) — дисперсия случайной величины X.2.

МЕТОД МОМЕНТОВВ математической статистике разработано большое число методов оценивания неизвестных параметров распределения случайной величины X по данным случайной выборки. Метод моментов,метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов относятся к числу наиболее часто употребляемых.Метод моментов состоит в приравнивании эмпирических (выборочных) моментов, вычисленных по данной выборке, и теоретических, вычисленных по предполагаемой плотности распределения, содержащей неизвестные параметры.

Если число полученныхмоментов равно числу неизвестных параметров распределения,получают систему уравнений для вычисления этих неизвестныхпараметров. Например, если неизвестен один параметр, то для егонахождения достаточно выборочное среднее приравнять к математическому ожиданию. Если неизвестны два параметра, то вычисляют также дисперсию и выборочную дисперсию, в итоге получают второе уравнение и т.

д.Отметим, что при решении задач, приведенных в методическихуказаниях, используют «неберущиеся» интегралы, приводящие кнеэлементарным функциям, а именно к функции Лапласа, гамма- ибета-функциям Эйлера. Таблицы значений этих функций приводятся в специальной литературе, например [1, 2, 5—7]. ФункцииЛапласа, гамма- и бета-функции Эйлера также встроены в системыкомпьютерной математики Maple, Mathcad и др.6Определение. Функцию Φ ( x) =x1∫e− t 2 /22π −∞dt называют функ-цией Лапласа.Перечислим некоторые свойства функции Лапласа:1) Φ ( +∞) = 1 ;2) Φ (− x) = 1 − Φ ( x).Функция Лапласа является интегральной функцией стандартного нормального распределения. В общем случае нормальное(гауссово) распределение с параметрами (m, σ 2 ) имеет плотность⎡ ( x − m) 2 ⎤1exp ⎢ −⎥ .

К числу часто используемых рас2σ 2 ⎦2πσ⎣пределений следует отнести также следующие распределения:экспоненциальное, χ 2 (хи-квадрат), Стьюдента и Фишера.f ( x) =Определение. Функцию Γ( x) =+∞∫tx −1 − te dt называют гамма-0функцией (Г-функцией Эйлера).1Определение. Функцию Β( p, q ) = ∫ x p −1 (1 − x) q −1 dxназывают0бета-функцией (В-функцией Эйлера).Перечислим некоторые свойства Г-функции.

Прежде всегоΓ ( x) определена, непрерывна и дифференцируема любое числораз при x > 0 . Далее имеем:1π;1) Γ (1) = 1 ; 2) Γ ( ) = π ; 3) Γ ( x)Γ (1 − x) =sin πx24) Γ ( x + 1) = xΓ ( x) ; 5) Γ (n) = (n − 1)! ;Γ( x ) ⋅ Γ( y )1 ⎞ 1 ⋅ 3 ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1)⎛6) Γ ⎜ n + ⎟ =.π ; 7) Β( x, y ) =n2⎠Γ( x + y )2⎝В качестве примера рассмотрим решение задачи 1 варианта 24. Найти методом моментов по выборке x1 , …, xn точечнуюоценку θ̂ неизвестного параметра θ данного распределения случайной величины, заданной плотностью вероятностей7f ( x) =⎡ ( x − 1) 2 ⎤exp ⎢ −⎥ , x > 1.θ2 ⎦θ π⎣2Решение.

Найдем математическое ожидание данной случайнойвеличины:М( X ) =+∞∫ x f ( x)dx =−∞+∞⎡ ( x − 1) 2 ⎤xexp⎢−⎥ dx.θ2 ⎦θ π ∫1⎣2Выполним замену переменной ( x − 1) / θ = t. Тогда x = tθ + 1, dx == θdt. Далее имеемМ( X ) =2θ π+∞2−t∫ (tθ + 1) e θdt =0=−2π+∞θπ+∞2−t∫ tθe dt +0∫e− t22πd ( −t 2 ) +0+∞∫e−t 2dt =02πθ=+ 1.π 2πТеперь приравняем полученный теоретический начальный моментпервого порядка (т. е. найденное математическое ожидание) соответствующему эмпирическому моменту (т. е.

выборочному среднему):M( X ) = X ;θπ+1= X.Решая это уравнение относительно θ, получаем точечную оценкуθˆ = ( X − 1) π .3. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯОпределение. Функцией правдоподобия случайной выборкиX n = { X 1 ,..., X n } из генеральной совокупности X, закон распределения которой известен с точностью до параметра θ , называютфункцию, определяемую как произведение вероятностей:8nL( X 1 , ..., X n , θ) = ∏ p( X i , θ).i =1Если генеральная совокупность имеет непрерывное распределениес плотностью вероятности f ( x, θ), также известной с точностью допараметра θ , то функция правдоподобия принимает видnL( X 1 , ..., X n , θ) = ∏ f ( X i , θ).i =1Метод максимального правдоподобия состоит в нахождениизначений неизвестного параметра распределения, при которомфункция правдоподобия достигает максимума.ˆ Оценка θ( X n ) максимального правдоподобия параметра θдолжна удовлетворять условию ˆ L( X n , θ) = max L ( X n , θ),θиз которого следует, что функция правдоподобия L удовлетворяетнеобходимому условию экстремума.

Поскольку при логарифмировании точки экстремума остаются теми же, а уравнения, как правило, упрощаются, условие в случае скалярного параметра θ может быть записано в виде∂ ln L( X n , θ)= 0,∂θа в случае векторного параметра θ = (θ1 ,..., θ k ) — в виде ∂ ln L( X n , θ)= 0, i = 1,..., k .∂θiПолученные уравнения называют уравнениями правдоподобия.После того как получены их решения, можно проверить и достаточные условия максимума:∂ 2 ln L( X n , θˆ )<0∂θ 29для скалярного параметра θ и отрицательную определенностьквадратичной формы второго дифференциала для векторного параметра. При k = 2 эти условия имеют следующий вид (критерийСильвестра):⎧ ∂ 2 ln L( X , θˆ )n⎪< 0,∂θ12⎪⎨2⎪ ∂ 2 ln L( X n , θˆ ) ∂ 2 ln L( X n , θˆ ) ⎛ ∂ 2 ln L( X n , θ) ⎞−⎜⎟ > 0.⎪∂θ1∂θ2∂θ12∂θ22⎝⎠⎩В качестве примера рассмотрим решение задачи 2 варианта 24.

Найти методом максимального правдоподобия по выборкеx1 = 6 , x2 = 12 , x3 = 15 , x4 = 24 , x5 = 30 точечную оценку θ̂ неизвестного параметра θ данного распределения случайной величины,заданной плотностью вероятностейθ ⎛ 3⎞f ( x) = ⎜ ⎟3 ⎝ x⎠θ+1, x > 3.Решение. Составим функцию правдоподобия:nnθ⎛ 3 ⎞L( X 1 , …, X n , θ) = ∏ f ( X i , θ) = ∏ ⎜ ⎟i =1i =1 3 ⎝ X i ⎠θ+1nn1⎛θ⎞= ⎜ ⎟ 3n (θ+1) ∏ θ+1 .⎝3⎠i =1 X iДля удобства вычислений рассмотрим логарифмическую функциюправдоподобия:⎡⎛ θ ⎞n n ( θ+1) n 1 ⎤ln L( X 1 , …, X n , θ) = ln ⎢⎜ ⎟ 3∏ X θ+1 ⎥ =i =1⎢⎣⎝ 3 ⎠⎥⎦in= n ln θ + n θ ln 3 − ( θ + 1)∑ ln X i .i =1Сначала применим необходимое условие экстремума:n∂ ln L( X 1 , …, X n , θ) n= + n ln 3 − ∑ ln X i = 0.∂θθi =110Решив это уравнение относительно θ, получимθ=nn∑ ln X i − n ln 3.i =1Так как∂ 2 ln L( X 1 , …, X n , θ)n= − 2 < 0,2∂xθв найденной точке θ имеет место максимум.

Осталось подставитьчисловые значения:θ=55== 0,62.ln 6 + ln12 + ln15 + ln 24 + ln 30 − 5ln 3 7 ln 2 + 2ln 54. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИОпределение. Доверительным интервалом для параметра θназывают интервал (θ1 ; θ2 ) , содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью p = 1 − α , т. е. P{θ1 < θ < θ 2 } == 1 − α. Число 1− α называют доверительной вероятностью, азначение α — уровнем значимости.Для вычисления доверительного интервала с уровнем значимости α для математического ожидания нормально распределенной совокупности при известной дисперсии σ 2 по выборке объема n можно использовать формулуX−σnu1−α /2 < m < X +σnu1−α /2 ,где u1−α / 2 — квантиль уровня 1 − α / 2 нормального распределения.Напомним, что квантиль уровня q распределения с непрерывной (интегральной) функцией распределения F ( x) представляет11собой решение уравнения F ( x) = q.