шпора_по_теор._меху (1) (1) (три документа со шпорами)

Билет №1.1.2.Векторный способ задания движения точки.Траектория, скорость, ускорение точки.Эквивалентность пар. Сложение пар. Условиеравновесия системы пар сил.Билет №2.1.2.1. Векторная система координат.Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра Овыражен функцией времени t r= r(t)  задан способ определениямодуля вектора и его направления, если имеется система координат.Скорость и ускорение:tr(t), тогда(t+Δt)r(t+Δt), получаемΔr= r(t+Δt)-r(t) Vср=Δr/Δt.

V=lim(Δr/Δt)=dr/dt.aср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt².Переход от векторной формы к координатной:r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.Обратно:x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k.2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия парсил.Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты,эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскостидействия, перемещать в параллельную плоскость, менятьодновременно силу и плечо.Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару,лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментовэтих пар.M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2.

При переносе силвдоль линии действия момент пары не меняется  BA×F1=M1,BA×F2=M2, M=M1+M2.СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях,эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двухданных пар.Дано: (F1, F1’), (F2, F2’)Доказательство:Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей.Получим пары:(Q1,Q1’) и (Q2,Q2’). При этом M1=M(Q1,Q1’)=M(F1, F1’),M2=M(Q2,Q2’)=M(F2, F2’).Сложим силы R=Q1+Q2, R’=Q1’+Q2’. Т. к.

Q1’= - Q1, Q2’= - Q2  R= R’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R’).M(R,R’)=BA×R=BA×(Q1+Q2)=BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1’)+M(Q2,Q2’)=M(F1,F1’)+ M(F2,F2’)  M=M1+M2.УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:Система находится в равновесии, если суммарный момент всех парсил, действующих на тело, равен нулю.M1+ M2+…+ Mn=0.Билет №7.1.Число степеней свободы твердого тела вобщем и частных случаях его движения.2.Лемма о параллельном переносе силы.1. Число степеней свободы твердого телаn=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-числосвязей.

n =6-для свободного тв.телаДля тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты,поскольку оно имеет 3 степени свободы.2. Лемма о параллельном переносе силы.Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентнатакой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил,момент которой равен моменту данной силы относительно новойточки приложения.Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке Всистему F’ и F”.|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, тоF ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).Но M(F,F”)=BAxF=MB(F).Получаем:F ~ (F’,M(F,F”))Ч.

т. д.Координатный способ задания движенияточки (прямоугольная декартова системакоординат). Траектория, скорость, ускорениеточки.Аксиомы статики.1. Декартова система координат.Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk.Движение материальной точки полностью определено, если заданытри непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t),z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Этиуравнение называются кинематическими уравнениями движенияточки.

Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z,которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтомупроизводная r‫(׳‬t) может быть вычислена по правилуdr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt.Отсюда вытекает, что v=vxi+vyj+vzk.V=√(vx²+vy²+vz²)Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равныйпроизводной от вектора скорости v по времени. А=x‫(׳׳‬t)I+y‫(׳׳‬t)j+z‫(׳׳‬t)k.А=√((x‫(׳׳‬t))²+(y‫(׳׳‬t))²+(z‫(׳׳‬t))²)2. Аксиомы статики.1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют наодной прямой и направлены в противоположные стороны.2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело неизменится, если к ней добавить или отнять систему сил,эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переноситьвдоль линии её действия.3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то ихможно заменить равнодействующей (любую силу можноразложить на составляющие бесконечное число раз).4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю ипротивоположны по направлению.Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.Билет №3.1.2.1.

Естественный способ.Если задана траектория движения точки, выбрано начало иположительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимостьпути от времени, то такой способ задания движения точки называетсяестественным. V=dr/dt∙dS/dS=S‫(׳‬t)∙dr/dS=S‫(׳‬t)∙τ= =vτ∙τ. Dr/dS=τ. Τнаправлена всегда в «+» направлении отсчета S.A=dv/dt=S‫(׳׳‬t)∙τ+S‫(׳‬t)∙dτ/dt=S‫∙׳׳‬τ+(S‫)׳‬²n/ρ.Aτ=S‫׳׳‬-тангенциальноеускорение, an=(S‫)׳‬²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρрадиус кривизны.A=√((a τ)²+(an)²).2. Векторный и алгебраический момент пары сил.Алгебраический момент M=F∙d (пара). M=dF1=dF2=2SΔABC= S‫ٱ‬.Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ниплечо, ни направление вращения не меняются).Векторный момент – вектор M=M(F,F’), направлен перпендикулярноплоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление парыповернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равеналгебраическому моменту пары.M(F1,F2)=BAxF1=ABxF2.Моменты относительно точки.Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называетсявзятое со знаком «+» или «-» произведение |F| на её плечо:MO(F)=Fh=2SΔOAB ∙ MO(F).

«+» - против часовой стрелки.Характеризует вращательный эффект F.Свойства:А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действиясилы. (т.к. |F|sinα= const).Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.Плоскость действия M – через F и O.Векторный момент силы F относительно точки О – вектор MO(F)=rxF(r – радиус- вектор из А в О). |MO(F)|=|F|∙|r|∙sinα=Fh.i j kMO(F)=x A yA zA =>Fx Fy FzMOz(F)=xFy-yFxБилет №8.1.2.Поступательное движение твердого тела.Число степеней свободы, уравнения движения.Скорости и ускорения точек тела.Связь векторного момента силы относительноточки с моментом силы относительно оси,проходящей через эту точку.1. Поступательное движение.Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокругнеподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общийслучай.

Поступательное движение твердого тела – движение, прикотором любая прямая этого тела при движении остаетсяпараллельной самой себе.Траектории любой точки тела, совершающего поступательноедвижение, одинаковы.Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равенrB=rA+AB, AB=const.

drB/dt=dr A/dt+ dAB/dt=dr A/dt => vB=vA, aB=aA2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось векторамомента силы F относительно произвольной точки О на этой оси.Доказательство:Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительноточки О перпендикулярен плоскости ОАВMO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. ТогдаПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα.Ч.т.д.Естественный способ задания движения точки.Траектория, скорость, ускорение точки.Алгебраический и векторный момент силыотносительно точки.Билет №9.1.2.Билет №4.1.2.Координатный способ задания движенияточки (полярная система координат).Траектория, скорость, ускорение точки.Пара сил.

Теорема о сумме моментов сил,составляющих пару, относительнопроизвольной точки.1. Полярные координатыOx – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Еслизадан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системекоординат. Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичныйвектор. Тогда v=dr/dt=r‫׳‬rº+rdrº/dt=r‫׳‬rº+rφ‫׳‬pº=vrrº+vppº. vp и vr – трансверсальная и радиальнаясоставляющаяскорости.A=dv/dt=d(r‫׳‬rº+rφ‫׳‬pº)/dt=r‫׳׳‬rº+r‫׳‬drº/dt+r‫׳‬φ‫׳‬pº+rφ‫׳׳‬pº+rφ‫∙׳‬dpº/dt=(r‫׳׳‬-(rφ‫)׳‬²)rº+(rφ‫׳׳‬+2r‫׳‬φ‫)׳‬pº= ar∙rº+appº.r²=x²+y², φ=arctg(y/x).vr=r‫(=׳‬xvx+yvy)/r,vp=rφ‫(=׳‬xvy-yv x)/r2. Т.

о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердоетело, можно привести к какому-либо центру О, заменив вседействующие силы главным вектором системы сил R, приложенным кточке О, и главным моментом MO системы сил относительно точки О.Доказательство:Пусть О – центр приведения. Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О:FO= F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждый разсоответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих парравнымоментамэтихсилотносительноточкиО.M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1).

На основании правила приведениясистем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk =>(F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О).Билет №5.1.2.Определение скорости точки при задании еедвижения в криволинейных координатах.Момент силы относительно оси.Билет №6.1.2.Понятие о криволинейных координатах.Координатные линии и координатные оси.Основные виды связей и их реакции.1. Скорость точки в криволинейных координатах.V=dr/dt=(∂r/∂q1)∙dq1/dt+(∂r/∂q2)∙dq2/dt+(∂r/∂q3)∙dq3/dt.v=(dq1/dt)H1e1+(dq2/dt)H2e2+(dq3/dt)H3e3.v=√(dq1/dt)²H1²+(dq2/dt)²H2²+(dq3/dt)²H3². vq1=(dq1/dt)H1, vq2=(dq2/dt)H2,vq3=(dq3/dt)H3.Пример: 1) скорость в цилиндрической системе.Т.к.

x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, тоH1=1, H2=ρ, H3=1.vρ=dρ/dt, vφ=ρdφ/dt, vz=dz/dt.2) Движение по винтовой.ρ=R=const, φ=kt, z=ut.vρ=0, vφ=kR, vz=u.2. Момент силы относительно оси.Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекцииэтой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительноточки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризуетвращательный эффект относительно оси.Mz(F)=2SΔABC=F┴∙h.Если Mz(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия еёдействия пересекает ось z.1. Криволинейные координаты.Устанавливают закон выбора 3 чисел q1, q2, q3.

q1, q2, q3 –криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q1,q2,q3) (източки О).Возьмем точку М0 с координатами q1,q10,q20.X=X(q1,q20,q30);Y=Y(q1,q20,q30);Z=Z(q1,q20,q30);Определяют кривую (переменная только q1). Кривая – координатнаялиния, соответствующая изменению q1 (аналогично q2 и q3).Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M0 всторону возрастания соответствующих координат – координатные оси:[q1], [q2], [q3].Билет №11.1.Билет №12.1.H1 =Коэффициент Ламе.e1=(∂r/∂q1)/H1.Аналогично Н2, Н3, е2, е3.2.

Виды связей и их реакции.Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело(занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связинаправлена в сторону, противоположную той, куда связь не даетперемещаться телу.1)Гладкая поверхность – по общей нормали.2)Нить – вдоль к точке закрепления.3)Сферический шарнир – по любому радиусу.4)Сферический шарнир – по любому радиусу.5)Подпятник, подшипник – любое направление.Дополнительно:А) Скользящий;Б) Внутренний.MOx(F)=yFz-zFyMOy(F)=zFx-xFzВращение твердого тела вокруг неподвижнойоси.