uchit (Теория по лекциям ДУБОГРАЙ. Все по БИЛЕТУ)

Билет 1Евклидово пространствоЛин. про-во наз-ся Евклидовым, если задан з-н, по которому каждым 2-м в-рам Х и У ∈ Еставится в соответствие действ. число, называемое их скалярным произведением (х,у),причем имеют место аксиомы:1) ( x+y,z)=(x,z)+(y,z); 2) (x,y)=(y,x); 3) Lx,y=L(x,y) 4) (x,x)≥0Примеры: 1) ЛП-во V={X}-ЕП, если (х,у)=|x|*|y|*cosA; 2) Мно-ва ариф. в-в в станд. базисеявл. ЕП, если (Х,Y)=(X1Y1+X2Y2+..+XnYn); 3) Мно-во С [a,b]-ЕП, если (f,g)= ∫ ()()Ортонормированный базисОртогональный базис наз-ся ортонормированным, если нормы всех векторов равны 1.Формула: (Х,Y)=(X1Y1+X2Y2+..+XnYn), ||X||=√ 1 2 + 2 2 + 2Неявная ФНПЕсли задано ур-е F(X1,X2..Xn,Y)=0,которое связывает функцию «у» и ее переменные, то«у» наз-ся неявной функцией Х1,Х2,Х3..Теорема о существовании неявной функции (без док-ва).Если F(x1,x2..xn,y) непрерывна вместе со своими ч.п.

в окр. U(x°, °), в самой точкеF(x°, °)=0, аF’y (x°, °)≠0, то в некоторой окр. V(x°, °) ⊆ (x°, °)существует непрерывная функцияy(x1,x2,..xn) однозначно определяемая ур-ем F(x,y)=0.Теорема о диф-ти неявной ф-ии ( с док-вом).-Если (x,y) непрерывны вместе со своими ч.п в окр. U(M0) в самой т.M(x0,y0), F(M0)=0,F’y(M0)≠0,тогда в нек.

окр. V(M0)⊆ (M0) функция у(х), определяется ур-ем F(x,y)=0, дифма в т.М0 и имеет в ней() = − ′ () ′ ()Док-во:В т. М0 дадим такое приращение ∆х и ∆у чтобы М(х0+∆х, у0+∆у) ∈V(M0). Т.к. F(x,y) и ее ч.п.непрерывны в U(х0,у0) =>F(x,y) в М0 диф-ма =>= (х0 + ∆х, у0 + ∆у) − F(х0, у0) = 0 − 0 = 0=>∆F(M0)={=>= ′ (0 )∆ + ′ (0 )∆ + 0(√∆ 2 + ∆ 2 )Т.к. F’y≠0, то ∆y(M0)=-22 ′ () 0(√∆ +∆ ) ′ ()+ ′ (0 ). Т.к у(х) непрерывна в т.(0 )( из теоремы), то ′ ()lim ∆ = 0 => lim √∆ 2 + ∆ 2 = 0 => 0(√∆ 2 + ∆ 2 ) = 0(∆) .

Ǝ число А=)=- ′ : ()∆х→0∆→0∆у(М0)=А∆х+О1(∆х), тогда по определению y(x) в т.М0 дифференцируема.Билет 2.ПОДПРОСТРАНСТВО ЛППодпро-во М ЛП-ва L наз-ся лин. подпространством, если для ∀ его 2-х в-ров Х и Увыполняется: x+y=z ∈M ; λx=u∈M.Пример: 1) геометрические векторы х⃗: V1 ⊆V2, V1⊆V3,V2⊆V3. 2){Pm(x): 0≤m≤k ⊆ ∁}ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКАЛин. оболочкой системы векторов (а1,а2,..аn) наз-ся мно-во векторов Х, каждый изкоторых есть линейная комбинация векторов этой системы. S=span(а1,а2,..аn)={: =∑ }.

Пример: любое конечномерное ЛП Ln- линейная оболочка своего базиса.ФНП ДИФ-МА В ТОЧКЕФНП y=f(x) наз-ся дифф-мой в т. Х, если она определена в некоторой окр. U(x) исуществуют числа Аii=1,n такие что полное приращение ф-ии в этой точке можнопредставить в виде: ∆y(x)=∑Aixi+O(|∆x|), где |∆x|=√∑1 ∆2ТЕОРЕМА О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ-Если ФНП y=f(x) и ее ч.п. по всем хi непрерывны в окр.

U(x°), то эта функциядифференцируема в т.x°.Док-во:Дано: z=f(x,y) и ее F’x, F’y непрерывны в окрестности U(M0). Дадим такое приращение ∆х и∆у, чтобы точки (х0+∆х, у0+∆у) и (х0, у0+∆у)∈U(M0).∆(0 , 0 ) = (х0+∆х, у0+∆у)-f(x0,y0)=[f(х0+∆х, у0+∆у)-f(х0, у0+∆у)]+[f(х0, у0+∆у)- f(x0,y0)],где [1]- разность значений функции f(х0, у0+∆у) в двух точках х0+∆х и х0=> ∃̃ ∈ (0 , 0 + ∆): [1] = ′ (̃, 0 + ∆)∆.Аналогично для [2] :∃̃ ∈ (0 , 0 + ∆): [2] = ′ (0 , ̃)∆=> ∆z(M0)= ′ (̃, 0 + ∆)∆+ ′ (0 , ̃)∆,̃ = 0 + ∆, 0 < < 1; ̃ = 0 + ∆, 0 < < 1.Т.к. f’x непрерывна в т.(х0,у0), ∃ lim : lim ′ (0 + ∆, 0 + ∆) = ′ (0 , 0 ).∆→0∆→0Из критерия существования предела: f’x(0 + ∆, 0 + ∆)= ′ (0 , 0 ) +1 (√∆ 2 + ∆ 2 ) ′ (0 , 0 + ∆) = ′ (0 , 0 ) + 2 (√∆ 2 + ∆ 2 )∆z(M0)= ′ (0 , 0 )∆ + ′ (0 , 0 )∆ + ̃(√∆ 2 + ∆ 2 ).∃числа А1 = f ′ x (M0 ), A2 = f ′ y (M0 ), полное приращ ∶ ∆z(M0 ) = A1 ∆x + A2 ∆y +̃ (√∆x 2 + ∆y 2 ), из определения z=f(x,y) диф-ма в т.

М0.OБилет 3.Линейный операторЕсли в ЛП задан з-н, по которому каждому его собственному в-ру ⃗⃗ ∈ ставится в̃соответствие ∈ ′ ⊆ , то этот з-н, отображающий Lна L’наз-ся оператором АМатрица ЛОМатрицей ЛО в базисе В наз-ся матрица, элементами которой явл-ся координатысоответственных образов базисных векторов, разложенных по В.Теорема о связи м/у матрицами одного и того же ЛО в различных базисах.̃ х⃗ = уПусть в Ln с базисом В действует А-ЛО => А⃗ => Ах = у. Выберем новый базис В’ вкотором ЛО-ру соответствует своя матрица А’=> ′ ′ = ′ => при переходе → ′ :⃗⃗⃗ = ′ ;:: = ′ .Определение полного диф-ла ФНПЕсли f(x) диф-ма в т.

°, то линейная часть приращения в точке °наз-ся полнымдифференциалом функции f в точке °, и обозначается: = 1 1 +. . + ( =∆ ).Определение дифференциала высших порядковДиф-лом n-го порядка dny функции y=f(x) наз-сядиф-л от диф-ла (n-1)-го порядка этойфункции , то есть = ( −1 ).Формула для вычисления диф-ла 2-го порядка, связь матрицы Гесса и диф-ла второгопорядка. 2 = ()1( )22 = (∑ ) = ∑ ( ) = ∑ ∑ = ∑ Т.к.2 =2 =1 =1,=12 2 2 2 2 2 1 22=> − КФ относ.

с матрицей Н = ( …22Матрица Гесса.2 21Если dx=( 2 ) => = () () => = ( 2 Тогда z=f(x,y) => 2 =2 2 2 + 22 +2 2 22 )2 2…… )2Билет 4.Определение собственного значения.Для того чтобы число ℷ было собственным значением ЛО-ра необходимо и достаточночтобы ℷ являлась корнем уравнения : det (A-ℷ)=0Определение собственного вектора.Ненулевой вектор ∈ наз-ся собственным в-ром ЛО-ра̃ = ℷ, где ℷчислособственного значения ЛО-ра.Алгебраическая кратность собственного значения.Число К равное кратности корня ℷ° характеристического уравнения |A-ℷ|=0 наз-сяалгебраической кратностью собственного значения ℷ°.Геометрическая кратность собственного значения.Кол-во ЛНЕЗ собственных в-ров соответствующих ℷ° наз-ся геометрической кратностьюэтого собственного значения.Теорема о кратностяхГеометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраическойкратности , т.е. n-r≤kОпределение касательной пл-ти к пов-тиЕсли существует пл-ть , содержащая касательные к кривым , проход.

по пов-ти через т.M0∈ , то эта пл-ть наз-ся касат. к пов-ти в т.M0.Теорема о существовании касательной плоскостиЕсли в ур-ии пов-ти : (, , ) = 0 функция(, , ) и ее ч.п. непрерывны в окр. т.M0∈ , а gradF(M0)≠0, то существует пл-ть , кас-ая к в т. M0.Док-во: : (, , ) = 0,т. M0(x0,y0,z0)∈ . Рассмотрим мно-во кривых Li, проходящих понашей пов-ти , через т.M0..Ур-я каждой из них L: 1) параметрические :x=x(t), y=y(t), z=z(t). 2) в-ное ур-е: () =((), (), ()).Т.к. L ∈ выполняется ур-е: F((), (), ())=0- левая часть есть сложная ф-ияпеременной t, для которой выполняются условия о диф-ти этой ф-ии=> ∃(0 ) =(0 )(0 ) +(0 )(0 ) +(0 )(0 ).В-р ⃗⃗⃗ ′ () = ( ′ (), ′ (), ′ ()) | 0 направ.

по кас. к кривой L0 через т.M0.Из ур-я =>=>( ;; (0 ) = 0 =>(0 )(0 ) +(0 )(0 ) +(0 )(0 )=0)| 0 = grad F(M0) и ′( 0 ) = (′, ′, ′)| 0 =>∃вектор grad F(M0) ⊥мно-ву кас. кLi(M0)=>касат. в одной пло-ти , - касат. пл-ть в т.M0Уравнение касательной плоскости∀ пл − ть проходящая через М0 (0 , 0 , 0 ) имеет ур − е: ( − 0 ) + ( − 0 ) +( − 0 ) = 0, где ⃗(, , ) => ⃗ = (0 ) => ′ (0 )( − 0 ) + ′ (0 )( −0 ) + ′ (0 )( − 0 ) = 0.Билет 5.Определение КФКФ в-ра̅ , принадлежащего – однородный многочлен 2-степени, связывающийкоординаты вектора в некотором базисе так, что:f(̅ )=∑=1 , где = – координатный вид КФ.f(̅ )=11 12 + 22 22 +…+ 2 + 12 1 2 + 13 1 3 +…+1 1 + 21 2 1 +23 2 3 +..+2 2 = 11 12 + 22 22 +…+ 2 + 212 1 2 +213 1 3 +…+2−1, −1 1В Ɓ ̅ =(1 , 2 , 3 …, )X=( …2 ) =>f(̅ )=X AX – матричный вид КФ, где А=( )× –симметрическая.Определение ранга КФРанг КФ – число, равное Rgеё матрицы в некотором базисе (̅ ) = .Теорема о ранге КФ при переходе к новому базисуРанг КФ не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен :1) Числу отличных от нуля канонических коэффициентов2) Кол-ву ненулевых собственных значени матрицы КФ в любом базисеЗакон инерцииВ любом каноническом виде КФ количество с > 0и с < 0сохраняется.Определение производной по направлению.Производной функции U=U(x,y,z) в т.0 по напр.

вектора ̅c «шагом» ∆Sназ-ся пределотнош. приращения функции, вызванное шагом ∆S, к этому шагу, при условии, что онстремится к 0.|0 = lim∆∆→0 ∆(0 )Определение градиента .Градиент функции U=U(x,yz) наз-ся вектор, координаты кот. равны соотв. ч.п.вычисленным в точке.̅̅̅̅̅̅̅U(0 )=(,,)| 0Свойства градиента1.Теорема (о связи градиента ФНП и её производной по направлению). Производная понаправлению ̅ в т.0 равна проекции вектора градиента в этой точке на направление ̅.Доказательство̅̅̅̅̅̅̅U(0 )=(,,)|0 (0 ) =(0 ) cos +(0 ) cos +(0 ) cos (1)Заметим, что правая часть (1) – скалярное произведение векторов ̅̅̅̅̅̅̅U(0 ) и (cos,cos, cos)=̅ => (0 ) =( , , )| =0 ̅̅̅̅̅̅̅ U(0 ), )=|̅̅̅̅̅̅̅U(0 )| ∙| ∙ cos = ПР̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ U(0 ), ^̅(U(0 ) = ̅0̅02.Из свойства 1 следует, что наиб. знач.̅̅̅̅̅̅̅U(0 ) и наибольшее1(0 ) получит, когда cos = 1, т.е.

1 ↑↑̅̅̅̅̅̅̅U(0 )|(0 )=|̅̅̅̅̅̅̅ (, )(0 ) ортогонален той линии уровня, которая проходит через точку 03. = (, )в т.0 (0 , 0′̅̅̅̅̅̅̅ (0 )составляет с осью OX угол 1 : 1 = ′(0 ) (0 )Условие линии уровня: z=c =>f(x,y)=c через т.0 проходит линия уровня с с=с0 =>0 :f(x,y)-с0 = 0. Ур-е F(x,y)=0 задаёт окр. в т.0 неявную функцию y(x):−2(0 )=−′ (0)′ (0 )=′ (0 )′ (0 )(0 )=tg2 , где 2 – угол наклона касательной к 0 (0 ). Найдём угол между̅̅̅̅̅̅̅ (0 ) и касательной 0 = |(1 − 2 )| = ⃒1 −21+1 2′⃒=1+ ′ |0 =0 => =̅̅̅̅̅̅̅ (0 ) ортог.касат.

к 0Вывод формулыТ.к. по усл. U и ее ч.п. непрерывны в D, то эта ф-ия в т.(0 )диф-ма( дост. усл. диф-ти)=>полное приращение в т.(0 ) можно представить в виде :∆(0 ) =Рассмотрим(0 )∆ + (√∆ 2 + ∆ 2 + ∆ 2 )|∆|∆(0 )∆x∆y∆lim= (0 ) + (0 ) + (0 ) + ( )∆s∆s∆∆∆→0 ∆(0 ) ∆x +(0 ) ∆y +.⃗⃗⃗ ↑↑ s => s°⃗⃗⃗ = (cosα, cosβ, cosγ); |s°⃗⃗⃗ | = 1;cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1; s°=>==(0 ) + +(0 ) +(0 ) (для функции 3-х переменных)( для ф-ии двух переменных)⃗⃗⃗Билет 6.Определение ЛПМно-во элементов одной природы L наз-ся ЛП, а сами элементы его в-рами , есливыполняется:1. ∈ , ∈ => ∃ + = ∈ 2. ∈ => ∃ ⃗ = , где ∈ , ⃗ ∈3. Линейный операции подчинены аксиомам: + =+⃗⃗⃗ + ) + = + ⃗⃗⃗⃗ (( + )⃗ : + 0⃗ = ; + − ∃0⃗⃗⃗⃗⃗ = 0; 1 ∗ = ⃗⃗⃗⃗ = +  ( + ) ( ) = (); ( + ) = + Пример:Мно-во геом.

в-ров явл. ЛП ; Мно-во многочленов { = + −1 +. . + + , 0 ≤ ≤ }Определение базиса ЛПУпорядоченная система ЛНЕЗ в-ров наз-ся базисным ЛП, если ∀ ∈ можно представить какЛК в-ров этой системы, и ∈ : = 1 ⃗⃗⃗1 + 2 ⃗⃗⃗2 +. . + ⃗⃗⃗⃗ -разложение вектора х по базису.Определение диф-мой в т.ФНПФНП y=f(x) наз-ся дифф-мой в т. Х, если она определена в некоторой окр. U(x) и существуютчисла Аii=1,n такие что полное приращение ф-ии в этой точке можно представить в виде:∆y(x)=∑Aixi+O(|∆x|), где |∆x|=√∑1 ∆2Определение сложной ф-ииЕсли задана ФНПy=f(x)=f(x1,x2,xn), где все xi= xi(t1..tm), то y=f(x1(t1..tm),x2(t1..tm)..xn(t1..tm)),то y наз-сясложной функцией переменных t1..t.Теорема о диф-ти сложной ФНПЕсли ФНП y=f(x) диф-ма в т.

X0=(10 , 20 , . . 0 ), а все = ( ), где ∈ диф-мы в т. t0 и (0 ) = , то сложная ф-ия y=f(x(t)) диф-ма в т. t0Док-во: z=f(x,y), где x=x(t), y=y(t), диф-мы в т. М0 и t0=>∆(0 ) = 1 ∆ + 2 ∆ +(√∆ 2 + ∆ 2 )∆(0 ) = 1 ∆ + 1 (∆ )∆(0 ) = 2 ∆ + 2 (∆ )Т.к. x(t) ,y(t) непрерывны и диф-мы =>непрерывны в т.t0 => lim ∆ = 0 , lim ∆ = 0 =>∆→0∆→0lim √∆ 2 + ∆ 2 = lim √∆ 2 + ∆ 2 = 0 => √∆ 2 + ∆ 2 б.

м. => (√∆ 2 + ∆ 2 ) = (∆ )∆→0∆→0∆→0Тогда получаем в т.М0 соответ. t0 =>∆(0 ) = 1 (1 ∆ + 1 (∆ )) + 2 (2 ∆ + 2 (∆ )) + (∆),то∆(0 ) = ∆ + ̃(∆ ), где А = 1 О1 + 2 О2, ̃(∆ ) = 1 1 (∆ ) + 2 2 (∆ ) + (∆ )=>по определению z(t) диф-ма в т.t0..