linal_2 (Теория по лекциям ДУБОГРАЙ. Все по БИЛЕТУ)

Билет 7.1.1.Дайте определение квадратичной формы (КФ). Напишите её в координатном и матричном виде. Дайтеопределение положительно и отрицательно определённой КФ. Сформулируйте критерий Сильвестра ознакопостоянстве КФ.Квадратичная форма вектора ̅ , принадлежащего – однородный многочлен 2-степени, связывающийкоординаты вектора в некотором базисе так, что:f(̅ )=∑=1 , где = – координатный вид КФ.f(̅ )=11 12 + 22 22 +…+ 2 + 12 1 2 + 13 1 3 +…+1 1 + 21 2 1 + 23 2 3 +..+2 2 =11 12 + 22 22 +…+ 2 + 212 1 2 + 213 1 3 +…+2−1, −1 1В Ɓ ̅ =(1 , 2 , 3 …, )  X=(…2 ) => f(̅ )=X AX – матричный вид КФ, где А=( )× – симметрическаяматрица порядка nЗнакоопределённость КФ.КФ положительно определенная, если ∀ ̅ f(̅ )>0; отрицательно определенная, если ∀ ̅ f(̅ ) <0; впротивном случае КФ знаконеопределённая.Критерий Сильвестра о знакоопределённости КФ.КФ является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы внекотором базисе положительны и отрицательно определённой тогда и только тогда, когда минорычередуют знаки.

Начиная с минуса.̅̅̅̅̅f(̅ )>0 ∆ >0; f(̅ )<0  ∆ > 0, k=1,2.1. Дайте определение градиента ФНП и её производной по направлению. Сформулируйте и докажитетеорему о связи между ними. Докажите свойства градиента ФНП.Градиент функции U=U(x,yz) наз-ся вектор, координаты кот. равны соотв. ч.п. вычисленным в точке. ̅̅̅̅̅̅̅ U(0 )=( , , )|0Производной функции U=U(x,y,z) в т. по напр. вектора ̅ c «шагом» ∆S наз-ся предел отнош.приращения функции, вызванное шагом ∆S, к этому шагу, при условии, что он стремится к 0.∆| = lim ∆ (0 ) 0∆→0Свойства градиента1.Теорема (о связи градиента ФНП и её производной по направлению).

Производная по направлению ̅ вт.0 равна проекции вектора градиента в этой точке на направление ̅.Доказательство ̅̅̅̅̅̅̅ U(0 )=( , , )|0(0 ) =(0 ) cos + (0 ) cos + (0 ) cos (1)Заметим, что правая часть (1) – скалярное произведение векторов ̅̅̅̅̅̅̅ U(0 ) и (cos,cos, cos)=̅ => (0 ) = (̅̅̅̅̅̅̅U(0 ), ̅ 0)=|̅̅̅̅̅̅̅ U(0 )| ∙|̅ 0 ∙ cos =( , , )|0 =ПР̅ ̅̅̅̅̅̅̅ U(0 ) = ̅̅̅̅̅̅̅ U(0 ), ^̅̅̅̅̅̅̅̅U(0 ) и2.Из свойства 1 следует, что наиб.

знач. (0 ) получит, когда cos = 1, т.е. 1 ↑↑ ̅̅̅̅̅̅̅ U(0 )|наибольшее (0 )=|1̅̅̅̅̅̅̅ (, )(0 ) ортогонален той линии уровня, которая проходит через точку 03. = (, ) в т. 0 (0 , 0′ (0 )̅̅̅̅̅̅̅ (0 ) составляет с осью OX угол 1 : 1 = ′ (0 )Условие линии уровня: z=c => f(x,y)=c через т. 0 проходит линия уровня с с=с0 => 0 : f(x,y)- с0 = 0. Ур-е′ (0) ′ ( )F(x,y)=0 задаёт окр. в т.

0 неявную функцию y(x): (0)=− ′ ( ) = − ′ (0 )00(0 )=tg2 , где 2 – угол наклона касательной к 0 (0 ). Найдём угол между ̅̅̅̅̅̅̅ (0 ) и касательной −210 = |(1 − 2 )| = ⃒ 1+1 2′2⃒=1+′ |0 =0 => =̅̅̅̅̅̅̅ (0 ) ортог.касат. к 0Билет 8.1.1.Дайте определение квадратичной формы (КФ). Её ранга, канонического вида и канонического базиса.Сформулируйте теорему об инвариантности ранга КФ относительно базиса линейного пространства, а такжезакон инерции.Квадратичная форма вектора ̅ , принадлежащего – однородный многочлен 2-степени, связывающийкоординаты вектора в некотором базисе так, что:f(̅ )=∑=1 , где = – координатный вид КФ.f(̅ )=11 12 + 22 22 +…+ 2 + 12 1 2 + 13 1 3 +…+1 1 + 21 2 1 +23 2 3 +..+2 2 = 11 12 + 22 22 +…+ 2 + 212 1 2 + 213 1 3 +…+2−1, −1 1В Ɓ ̅ =(1 , 2 , 3 …, )  X=( …2 ) => f(̅ )=X AX – матричный вид КФ, где А=( )× –симметрическая матрица порядка nРанг КФ – число, равное Rg её матрицы в некотором базисе (̅ ) = Канонический вид КФ – вид КФ, в котором содержатся только квадраты переменных.f(̅ )=1 12 + 2 22 +…+ 2Канонический базис КФ – базис, в котором КФ принимает канонический видТеорема 1.

Rg КФ не зависит от выбора базиса Rg ′ = = (())Теорема 2. (закон инерции) В любом каноническом виде КФ количество с > 0 и с < 0 сохраняется.2.1. Дайте определение векторной ФНП. Дайте определение матрицы Якоби и якобиана векторной ФНП.Сформулируйте теорему о производной сложной векторной ФНП. Выведите формулу для её вычисления,используя матрицу Якоби.Если задан закон, по кот. ∀ точке (вектору ̅ ) принадл. множеству D⊆ , ставится в соответствииединственная точка (вектор) =(1 , 2 … )∊ , то этот закон отобр.

→ и наз-ся векторной ФНПЕсли функция f: → в т. a ∈ имеет ч.п. по всем независимым переменным 1 , 2 , … ,то из этихпроизводных (а точнее, из ч.п. координатных функций1 (), 2 (), . . . , () векторной функции f(x))можно составить матрицу ( ′ () =)типа m × n – матрица Якоби и записывается:1 () 1() 1 ()...122 () 2 () ()…12() ()=(………………..() () ()…12, если m=n, то определитель матрицы Якоби наз-ся)якобианомТеорема о производной сложной ВФНП.

Если y=F(x) диф-ма в т.0 ∊ , ∊ () диф-ма в т. 0 ∊ и 0 ∊( 0 ), то сложная ВФ =F(G(t)) диф-ма в т. 0 и ∃ ( 0 ) = ( 0 ) ( 0 )Вывод формулы Рассмотрим 1= 1 2+ 2 + ⋯ + =(1 ,2 ,.. )(1 ,2 ,… ) ∀12= ( , , … )12как ч.п. от СФНП:Используя матрицу Якоби…( )1121=(1 1…2 2 2…2 1121=…… …12)(1 1…2 2 2…2 ∙….. …1 2 )× (11211 1…2 2 2…2 =>…… …1 2 )× = Билет 9.Квадратичная форма вектора ̅ , принадлежащего – однородный многочлен 2-степени, связывающийкоординаты вектора в некотором базисе так, что:f(̅ )=∑=1 , где = – координатный вид КФ.f(̅ )=11 12 + 22 22 +…+ 2 + 12 1 2 + 13 1 3 +…+1 1 + 21 2 1 + 23 2 3 +..+2 2 =11 12 + 22 22 +…+ 2 + 212 1 2 + 213 1 3 +…+2−1, −1 1В Ɓ ̅ =(1 , 2 , 3 …, )  X=(…2 ) => f(̅ )=X AX – матричный вид КФ, где А=( )× – симметрическаяматрица порядка nКанонический вид КФ – вид КФ, в котором содержатся только квадраты переменных.

f(̅ )=1 12 +2 22 +…+ 2Канонический базис КФ – базис, в котором КФ принимает канонический видТеорема . Любую КФ можно привести к каноническому виду ортогональным преобразованием.Пример() = (1 , 2 , 3 ) = 12 + 22 + 32 − 41 2 − 41 3 − 42 31 −2 −2а) А=(−2 1 −2) - матрица КФ в исходном ортонормированном базисе e.−2 −2 1Найдём собственные значения матрицы А с помощью характеристического уравнения1−|A-| = ( −2−2−21−−2−2−2 )1−det |A-|=0 => 1 = 2 = 3, 3 = −3 – корни хар.

уравнения3 0 0Λ=(0 3 0 ) – матрица КФ в новом базисе (в ортонормированном базисе из собственных векторов0 0 −3матрицы А). В базисе КФ имеет канонический вид () = (1 , 2 , 3 ) = 312 + 322 − 332б) Найдём собственные векторы4 −2 −201 1 1для 3 = −3 из СЛАУ (−2 4 −2) ∙ (12 )=(00) 3 = (1,1,1). Нормируя 3 , получим 3 = ( , , )√3√3 √33−2 −2 4−2 −2 −20для 1 = 2 = 3 из СЛАУ (−2 −2 −2) ∙ (12 )=(00) 1 = (−1,0,1), 2 = (−1,1,0) – ЛНЕЗ собств.векторы3−2 −2 −2Нормируем их с помощью метода ортогонализации Грама-Шмидта:1)1 = 1 = (−1,0,1), 1 = ||1 ||=(−12)(2 , 1 ) =−1√20U=1(√211)√2111√62√31√61−, 0,1, 2 = 2 − (2 , 1 ) ∙ 1 = (− 2 , 1, − 2),√2−1√2√6√31√3)2 = ||2 || = (−21,2√6 √6,−1)√6– ортог.

матрица перехода от старого ортонорм. базиса е к новому ортонорм. базису f1 = −1√2 12−2 =1√6 21+1√3 3 + 2√6 2√3111 − 2 + 3√2 1√6√3Чтобы получить канонический вид КФ, нужно эти знач. подставить в изнач.{ 3 =функцию2.1. Дайте определение локального экстремума ФНП. Сформулируйте и докажите теорему о необходимыхусловиях его существования. Сформулируйте теорему о достаточных условиях его существовании.т.

0 =(1 , 2 ,… ) наз-ся т. локального минимума (loc min) (максимума loc max) ФНП y=f(x), если сущ-етU(0 ) такая, что для всех её т. x выполняется условие f(x)>f(0 ) (f(x)<f(0 )). Все т. loc min и loc maxназываются т. экстремума ФНП,а сами значения функции в этих точках – экстремумами этой ФНП.Теорема (необходимые условия экстремума ФНП). Если ФНП y=f(0 ) непрерывна в V( 0 ), имеет в этой т.конечные производные 1-го порядка, и сама т. 0 – т.loc экстремума, то в этой т. все частные производные 1го порядка обращаются в 0.ДоказательствоДана y=f()=f(1 , 2 ,.. ) в U(0 ), зафиксируем все , кроме => y=f()=f( ) – функция одной̃переменной, для которой т. 0 – т.loc экстремума, где выполняются условия т.Ферма => 0 = 0, но =0=> ( )=0̅̅̅̅̅Т.к.

выбрано произвольно, утверждение верно для j=1,Теорема (достаточное условие экстремума ФНП). Если ФНП y=f() непрерывна вместе со своими ч.п. до 2го порядка включительно в U(0 ), в самой т. 0 все ч.п. 1-го порядка обращаются в 0, а диф-ал 2 ( 0 )знакоопределён, то т. 0 является т. loc экстремума, причём при 2 ( 0 ) > 0 – т.loc min, а при 2 ( 0 ) < 0– т.loc maxБилет 10.Дайте определение базиса линейного пространства. Сформулируйте определение матрицы перехода кновому базису. Напишите формулу, связывающую координаты вектора в новом и исходном базисе.Упорядоченная система ЛНЕЗ-ых векторов наз-ся базисом линейного пространства, если ∀̅ ∊L можнопредставить как линейную комбинацию векторов этой системы {̅ , = ̅̅̅̅̅, } – базис  векторы ̅, =̅̅̅̅̅1, ЛНЕЗ и ̅ ∊L: ̅ = 1 ̅1 + 2 ̅2 +…+ ̅̅̅ - разложение по ̅ базисуМатрица перехода от старого базиса к новому – матрица, элементами столбцов которой являютсякоординаты соответствующих новых базисных векторов, разложенных по старому базису.X=U ′ , где X – вектор в исходном базисе, U – матрица перехода, ′ - вектор в новом базисе2.1.

Дайте определение частных производных ФНП 1-го и высших порядков. Сформулируйте и докажитетеорему о смешанных частных производных ФНП для n=2.Частная производная ФНП в т. по называется lim∆ ∆ →0 ∆Обозначается:=(если он существует)= ′ = ′Частная производная k-го порядка называется частная производная от производной (k-1) порядкаТеорема (о независимости смешанной производной от порядка). Если x=f(x,y) и её частные производные 2 2 2 , ,инепрерывны в некоторой окрестности U( ), то в этой точке 2 2 = 0ДоказательствоА=f(0 + ∆, 0 + ∆)-f(0 + ∆, 0 )-f(0 , 0 + ∆) + (0 , 0 ), где x и y даны такие приращения, что точки(0 + ∆, 0 ), (0 + ∆, 0 + ∆),( 0 , 0 + ∆) ∊U(0 ), гдевыполняется условие теоремы 0 = 0 (0 , 0 )(0 , 0 + ∆)(0 + ∆, 0 )+ ∆0 + ∆A=[(0 + ∆, 0 + ∆) − (0 + ∆, 0 )] − [( 0 , 0 + ∆) − (0 , 0 )] (1)Рассмотрим () = (, 0 + ∆) − (, 0 ) (2)Из (1), (2) => А=(0 + ∆) − (0 ) (3)Функция () из условия теоремы непрерывна и имеетнепрерывную ′ () = ′ (, 0 + ∆) − ′ (, 0 )(4) наx∊(0 , 0 + ∆)(0 + ∆, 0 ), если ∆x<0 => по т.Лагранжа ∃ ̃=0 +0(0 + ∆, 0 )(0 , 0 ))00 + ∆+∆ ∊ (0 , 0 + ∆), если 0<ξ<1Из (3),(4) => А= ′ (̃)∆ = [′ (0 + ∆, 0 + ∆) − ′ (0 + ∆, 0 )]∆ (5)Рассмотрим () = ′ (0 + ∆, ), удовлетворяющая условию т.Лагранжа =>′′А=[′ (̃)∆]∆ = [(0 + ∆, 0 + ∆)∆]∆, где 0< < 1 => 0 + ∩ ∊ (0 , 0 + ∆)Рассмотрим функцию () = (0 + ∆, ) − (0 , )А= (0 + ∆) − (0 ) Функция () и её ′ () = ′ (0 + ∆, ) − ′ (0 , ) на y∊(0 , 0 + ∆)удовлетворяет условию т.Лагранжа => ∃т.̃∊(0 , 0 + ∆): A= ′ (̃)∆=[′ (0 + ∆, ̃) − −′ (0 , ̃)]∆.Функция ′ (, ̃) = () удовлетворяет условию т.Лагранжа на x∊((0 , 0 + ∆) => ∃̃′′A=[(̃)∆]∆ = (̃, ̃)∆∆Пусть ̃=0 + 1 ∆, 0<1 < 1;′′̃ = 0 + 1 ∆, 0 < 1 < 1 A=(0 + 1 ∆, 0 + 1 ∆)∆∆′′ (′′′′′′Из сравнения имеем 0 + ∆, 0 + ∆) = (0 + 1 ∆, 0 + 1 ∆).