Bilet_13_ispravlenny (Теория по лекциям ДУБОГРАЙ. Все по БИЛЕТУ)

Билет 131. Дайте определение линейного оператора, сопряжённого данному линейному оператору. Докажитетеорему о его матрице в ортонормированном базисе ЕП и теорему о его существовании и единственности.Линейный оператор A*: L → L0 называют сопряженным к линейному оператору A: L → L0, если для любыхвекторов x, y ∈ R верно равенство (Ax, y) = (x, A∗y)Теорема: Любому линейному оператору A: L → L0 соответствует единственный сопряженный оператор A*,причем его матрицей в любом ортонормированном базисе e является матрица AТ, транспонированнаяматрице A линейного оператора A в том же базисе e.Доказательство: Докажем, что линейный оператор B с матрицей B = AТ в базисе e является сопряженным клинейному оператору A. Для этого достаточно проверить выполнение равенства (Ax, y) = (x, By) (1) длялюбой пары векторов x, y ∈ R.Пусть x, y — столбцы координат векторов x, y в базисе e.

Тогда, согласно теореме о преобразованиикоординат вектора под действием линейного оператора, вектор Ax имеет столбец координат Ax, а левая частьравенства (1) равна (Ax)Тy, что следует из ортонормированности базиса. Аналогично правая часть этогоравенства имеет вид xТ(By).

Следовательно, равенство (1) в координатной записи имеет вид(Ax)Тy = xТ(By)(2)ТТ ТТак как (Ax) = x A в силу свойств матричных операций, равенство (2) эквивалентно равенствуxТAТy = xТBy (3) которое при B = A т превращается в тождество.Если некоторый линейный оператор B является сопряженным к линейному оператору A, то для любыхвекторов x и y выполняется равенство (1). Значит, для матриц A и B этих операторов равенство (3)выполняется для любых столбцов x и y. B = AТ, согласно следующей лемме:Если квадратные матрицы M и N порядка n таковы, что для любых вектор- столбцов x, y ∈ Rn выполняетсясоотношение xТNy = xТMy, то M = NПоэтому линейный оператор B определен однозначно, так как однозначно определена его матрица.2. Дайте определение матрицы Якоби и якобиана векторной ФНП.

Сформулируйте теорему о производнойсложной векторной ФНП. Напишите формулу для её вычисления используя матрицу Якоби.Матрицу называют матрицей Якоби функции ƒ в точке a, если функция ƒ: Rn → Rm в точке a ∈ Rn имеет частныепроизводные по всем независимым переменным x1, x2, . . . , xn, то из этих производных (а точнее, из частныхƒ ())производных координатных функций ƒ1(x), ƒ2(x), . . . , ƒm(x) векторной функции ƒ(x)) можно составить матрицу (типа m × n, где i соответствует номеру строки матрицы, а j — номеру столбца.ƒ′(x)ƒ1 () ƒ1 ()ƒ1 ()…12ƒ()ƒ()ƒ22ƒ()2 ()…==12…………ƒ () ƒ ()ƒ ()…( 12 )Якобианом называют определитель квадратной матрицы Якоби и (по части переменных или по всем переменным —неважно)Теорема: Если функция y = F(x) дифференцируема в точке x0 ∈ Rn, а функция x = G(t) дифференцируема вточке t0 ∈ Rk, и x0 = G(t0), то сложная ВФНП y = G(F(t)) дифференцируема в точке t0 иⱻ (0 ) = (0 ) (0 )Формула для вычисления производной112= …1( 11222…211122…=1… ……… ) ( 1…1222…211122…1… ……… ) ( 1…1222…212…… …… )….