Лекции УМФ (ММФ) 2008

УРАВНЕНИЯМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИКубраков Николай ФедоровичКафедра «Моделирование радиофизических процессов» (ИОФ РАН,Теоретический отдел). Зав. Кафедрой - Лубашевский Игорь АлексеевичПримеры задач математической физикиI. Колебания струныYF  f ( x, t ) lT( x   x )u ( x, t )T( x )0xl Xlxx  x1. Струна – бесконечно тонкая упругая нить длиной l .Колебания происходят в вертикальной плоскости.m const , l  0.2. Однородность: линейная плотность струны  l3. Струна абсолютно гибкая (не сопротивляется изгибу).  силанатяжения T направлена по касательной.x x4. Колебания малые: l xкак-бы не1  (u / x) 2 dx  xСтруна.растягивается.  | T |  T0  const(Закон Гука).5. Действует внешняя сила, которая направлена вверх. f ( x, t ) - линейнаяплотность силы (известная функция).Продольные колебания?Постановка смешанной задачи овынужденных колебанияхограниченной струныu ( x, t )0l xu2  u( x, t )  a( x, t )  g ( x, t ),22tx22u ( x,0)  u0 ( x),u( x,0)  u1 ( x),tu (0, t )  u (l , t )  0aT0Одномерное волновое уравнениедля вынужденных поперечныхколебаний струны (уравнение вчастных производных второгопорядка, неоднородное)Начальные условия (отклонение и скорость точки струны сu0 ( x), u1 (- xизвестные)координатой x [0, lприt ).0]функции определяющие каким образом струнавозбуждается.Граничные условия, g ( x, t ) f ( x, t ), [ a ]  м / с, [ g ]  м / с 2II.

Колебания мембраны1. Мембрана – бесконечноu ( x, y , t )тонкая пленка равномернонатянутая на плоскийконтур .В состоянии покоя онаXYпредставляетсобой областьвSy плоскости декартовой системыкоординат. 2. Мембранаоднородна: поверхностнаяплотностьmx const , S  0.F  p ( x, y, t )SS3. Мембрана абсолютно гибкая(не сопротивляется изгибу).M4. Колебания малые: нормаль к поверхности почти ортогональна плоскости.Линейная плотность силы натяжения T  const.5.

Внешняя сила направлена вверх. p( x, y, t )- давление (известная функция).u ( x, y , t )Постановка смешанной задачи овынужденных колебаниях мембраныxyF  p ( x, y, t )SДвумерное волновое уравнение описывающеевынужденные поперечные колебаниямембраны (уравнение в частных производныхвторого порядка, неоднородное)22u u2  u a  2  2   g ( x, y, t ), ( x, y )  S2ty  x2Начальные условия (отклонение и скорость точки мембраны с координатой ( x, y )при t  0). u0 ( x, y), u1 ( x, y- )известные функции возбуждения.u ( x, y,0)  u0 ( x, y ),Граничные условияu( x, y,0)  u1 ( x, y ), ( x, y )  Stu ( x, y, t )  0, ( x, y )  aT, g ( x, y , t ) p ( x, y , t ),[T ]  н / м, [a]  м / с, [ g ]  м / с2E ( x, t )X3xIII.

Электромагнитное поле в вакуумеУравнения Максвелла (в СИ)H (x, t )X1EHrotH   0, rotE   0,ttdivE  0, divH  0.X2x  ( x1 , x2 , x3 )2EEE2rotH   0 2 ,  rotrotE   0 2 , divE   E   0 0 20tttt2 221 0  8.85 1012 Ф / м, 0  4 107 Гн / м - оператор222x1 x2 x3 Лапласа222E2 2сE2tc2 3 10 м / с - скорость света 0 0в вакууме8Трехмерное волновое уравнениеE  exp(i t )   E  k E  0212Уравнение Гельмгольца(появляется в задачах дифракции).k   / c – волновое число.IV. Изменение температуры твердого телаSX3GX1X2Если некоторые области тела находятся при разнойтемперетуре в начальный момент времени, то современем температура становится одинаковой.

Чтобыопределить как меняется температура u (x, t ) в точке ,необходимыпредположения: (1) Тело однородное иxGизотропное, (2) Внутри него нет источников тепла, (3)Распределение температуры в начаьлный моментвремени известно, (4) Темперетура на поверхностиопределена.Уравнение теплопроводностиu2 2(x, t )  a  u (x, t ), x  Gta 2Начальное условиеu (x,0)   ( x), x  GГраничное условиеu (x, t )   ( x, t ), x  Sk - коэффиент температуропроводностиck - коэф. теплопроводностиc - теплоемкость - плотность телаV. Квантовая частица в потенциалином полеSX3GX1X2Частица массы m находятся в области G , котораяограничена гладкой поверхностью S .Потенциал поля V (x)  , x  (наS частицу действуетбесконечно большая сила, отталкивающая ее от ).

ВSобластипотенциал– некая гладкая функцияGкоординаты x .Состояние частицы описывается волновой функцией  .(x, t )Уравнение Шредингера 2i(x, t )    (x, t )  V ( x) ( x, t ), x  Gt2m34  1.054 10 Дж  с2Начальное условие (x,0)   0 ( x), x  GГраничное условие (x, t )  0, x  S- постоянная ПланкаVI. Экранирование поля статического зарядаSX3Точечный заряд Q находится вне бесконечно тонкойпроводящей поверхности S , которая являетсяграницей области G .

Каким будет потенциал u ( x) инапряженность электрического поля E(x) вне G ?GX1x QX20Внешяя задача ДирихлеУравнение Лапласа u (x)  0, x   \ G, x  x 023Граничное условиеu (x)  u0  const , x  SКлассификацияуравнений второго порядкаu (1 ,..., n ) удовлетворяет каноническому уравнению2uuu Ck 2  F  1 ,...,  n , u ,,...,  0,1 n  kk 1n()Ck  1,  1, 0, k  1,..., n (n  4)Уравнениеназывается уравнением()(a) Эллиптического типа, если все коэф-ты Ck одинаковы (1 или –1)(b) Гиперболического типа, если n  1 коэф-тов равны 1 и один –1.(c) Параболического типа, если один из коэф-тов равен нулю, аостальные равны 1.Приведение к каноническому виду осуществляется путем замены переменныхПримерыu2  ua g ( x, t ) 22tx22u u 2  F (1 , 2 )  0,21  22n  2, x  a1 , t   2u2 2(x, t )  a  u (x, t ), tуравнение колебаний струныгиперболического типа u u02 4k 1  k32n  4, xk  a k , k  1, 2,3, t   4u2 u ( x)  0   2  0k 1  k32n  3, xk   k , k  1, 2,32уравнениетеплопроводностипараболического типауравнение Лапласаэллиптического типаКлассификацияуравнений второго порядкаu (1 ,..., n ) удовлетворяет каноническому уравнению2uuu Ck 2  F  1 ,...,  n , u ,,...,  0,1 n  kk 1n()Ck  1,  1, 0, k  1,..., n (n  4)Уравнениеназывается уравнением()(a) Эллиптического типа, если все коэф-ты Ck одинаковы (1 или –1)(b) Гиперболического типа, если n  1 коэф-тов равны 1 и один –1.(c) Параболического типа, если один из коэф-тов равен нулю, аостальные равны 1.Приведение к каноническому виду осуществляется путем замены переменныхПримерыu2  ua g ( x, t ) 22tx22n  2, x  a1 , t   2u2 2( x, t )  a  u ( x, t ), tu u 2  F (1 , 2 )  0,21  22уравнение колебаний струныгиперболического типа u u02 4k 1  k32n  4, xk  a k , k  1, 2,3, t   4u2 u( x)  0   2  0k 1  k32n  3, xk   k , k  1, 2,32уравнениетеплопроводностипараболического типауравнение Лапласаэллиптического типаМетод Фурье (метод разделения переменных)Решение смешанной задачи для однородноговолнового уравненияX3u2 2(x,t)a u ( x , t ),2tu ( x ,0)  u0 ( x ),u( x ,0)  u1 ( x ),tu ( x , t )  0, x  S .2nSxGX1X2u ( x, t )  T (t ) X ( x ), T (t ) X ( x )  a 2T (t ) 2 X ( x ),2T (t )  X ( x )– константа разделения  ,2X ( x)a T (t )T (t )  a T (t )  0,2x GЗадача Штурма – Лиувилля (Sturm – Liouville) 2 X ( x )   X ( x )  0, x  G()X ( x )  0, x  SJacques Charles François Sturm1803 - 1855Joseph Liouville1809-1882Те значения  (1 , 2 , ...), при которых решение задачи (*)является нетривиальным, назавыются собственнымизначениями, а соответствующии им функции X1 ( x), X 2 ( x), -...собственными функциями.Свойства собственных значений и собственных функций1.

Существует бесконечное число собственных значений1 , 2 , ..., k ,...Каждому собственному значению k соответствует собственнаяфункция X k ( x ) - решение задачи (*).2. Собственные функции ортогональны в области G :Xk( x ) X m ( x )dx  0, k  m.G3. Собственные значения положительны:k  0 k  1, 2, ...4. (Теорема Стеклова) Любая функция f ( x )  C 2 (G, )удовлетворяющаяоднородным граничным условиям может быть разложена в абсолютнои равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциямf ( x )   f k X k ( x ),k 1f k   f ( x ) X k ( x )dx  0.GДоказательство свойства 2.Вторая формулы Гринаv  u22(vuuv)dxvuGS  n n  dS x . 2 X k ( x )  k X k ( x )  0, x  G  2 X m ( x )  m X m ( x )  0, x  GX(x)0,xSX m ( x )  0, x  Skv( x ), u ( x )  C 2 (G ) 22(XXX m k k X m )dx  (k  m )  X k X m dx  0GGX kX m XXS  m n k n  dS x  0  X k ( x ) X m ( x ) dx  0u ( x )  X m ( x ), v( x )  X k ( x ),k  mGСобственные функции удобно нормировать так, чтобы выполнялосьусловиеXk( x ) X m ( x )dx   km ,  kmG1, k  m0, k  m- символ КронекераДоказательство свойства 3.Первая формулы Гринаv( x ), u ( x )  C 2 (G ) 2v udx   vG 2 X k ( x )  k X k ( x )  0, x  GX k ( x )  0, x  S Xku ( x )  v( x )  X k ( x ),S X k ( x ) dxGXG2k( x )dx X k  X k dx  k  X k dx  02G2GX kdS x   (X k , X k )dx  k  X k2 dx  0nGG2 k SudS x   (v, u )dx.nG0Уравнение для функцииT (t )Tk(t )  a k Tk (t )  0, (k  1, 2, ...)Уравнение гармоническогоосциллятораTk (t )  Ak cos k t  Bk sin k tОбщее решение2k  a kЧастота колебанийРешение смешанной задачи представляется в виде ряда Фурье(суперпозиция нормальных мод)k 1k 1u ( x, t )   Tk (t ) X k ( x )   ( Ak cos k t  Bk sin k t ) X k ( x )ТеоремаСтекловаиAk находятсяиз начальных условий.Bku0 ( x )   Ak X k ( x ) k 1Ak   u0 ( x ) X k ( x ) dx,Gu1 ( x )   k Bk X k ( x )  Bk k 11k u ( x) X1Gk( x ) dx.u0 ( x )   Ak X k ( x ),k 1u0 ( x ) X m ( x )   Ak X k ( x )X m ( x ),k 1 u ( x) X0GXk( x )dx   Ak  X k ( x ) X m ( x )dx ,k 1G( x ) X m ( x )dx   km ,GAk 1mkkm A11m  A2 2 m  ...