Колебания в механических и электрических системах, страница 5

Центр этогоэллипса совпадает с началом координат, а оси несколько повернуты относительно осей x и y (рис. 6.6 а). Величины полуосей эллипса и их ориентация относительно координатных осей зависятот амплитуд складываемых колебаний A и B и разности фаз α .Рассмотрим некоторые характерные случаи:1. Разность фаз складываемых колебаний равна нулю. Положив в уравнении (6.16) α = 0, получимx 2 2 xy y 2−+ 2 =02ABABили2⎛ x y⎞⎜ − ⎟ =0⎝ A B⎠42Рис. 6.6Отсюдаy=BxA(6.17)Это уравнение прямой линии, проходящей через начало координат и образующей с осью x уголBϕ = arctgAРезультирующее движение (рис.

6.6, б) представляет собойгармоническое колебание вдоль этой прямой с той же частотой ω,что и складываемые колебания, и амплитудойA2 + B 2 .2. Разность фаз складываемых колебаний равна−π2). Подставив в уравнение (6.16) α = ±π2, получимπ2(или43x2A2+y2B2=1(6.18)Это уравнение эллипса, оси симметрии которого совпадаютс осями координат, а полуоси равны амплитудам A и B (рис.

6.6,ππв). Случаи α = + и α = − отличаются направлениями движе22ния по эллипсу. В первом случае движение происходит по часовой стрелке, во втором - против часовой стрелки. При равенствеамплитуд A и B эллипс превращается в окружность.3. Разность фаз складываемых колебаний равна π . Подставив в уравнение (6.16) α = π , получимx 2 2 xy y 2++=0A2 AB B 2или2⎛ x y⎞⎜ + ⎟ =0⎝ A B⎠ОткудаB(6.19)y=− xAЭто уравнение прямой, расположенной так, как показано нарис 6.6, г.Если частоты складываемых колебаний различны, замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложная.Траектории, описываемые точкой, участвующей одновременно вдвух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, называются фигурами Лиссажу.

Форма их зависит от отношениячастот, разности начальных фаз и от амплитуд обоих колебаний.Зависимость траектории результирующего колебания от разностифаз видна из рис. 6.6. Проведенный выше анализ показал, что фигура Лиссажу в простейшем случае равенства частот ω1 = ω 2обоих колебаний представляет собой эллипс (рис. 6.6, а), которыйпри разности фаз 0 или π вырождается в отрезки прямых (рис.446.6, б, г), а при равенстве амплитуд (А = В) превращается в окружность.Проследить зависимость фигур Лиссажу от соотношениямежду частотами колебаний можно по рис.

6.7. Для этих рисунπков разность фаз постоянна и равна .4ω1 1=ω2 1ω12=ω2 1ω11=ω2 2Рис.6.7ω13=ω2 1ω13=ω2 2Размер прямоугольников, в которые вписаны фигуры, определяется амплитудами колебаний, его стороны равны 2А и 2В. Почислу касаний, которое имеет кривая со сторонами прямоугольника, можно судить об отношении частот. Если вертикальнойстороны прямоугольника кривая касается три раза, а горизонтальной – два, то за время, пока произошло три колебания x(t) (вгоризонтальном направлении), величина у(t) совершила два колебания (в вертикальном направлении), то есть, частоты колебанийω1 и ω 2 относятся как 3:2. Ту же информацию можно получитьиз отношений числа пересечений фигуры Лиссажу произвольнойвертикальной линией к числу пересечений горизонтальной линией (линии проводятся внутри фигуры Лиссажу).Анализ фигур Лиссажу – широко используемый метод исследования складываемых колебаний.

По их виду можно определить: неизвестную частоту по известной, соотношение частот,фазовый сдвиг (разность фаз) колебаний.Любой как угодно сложный периодический процесс x(t) cпериодом T может быть представлен в виде суммы гармониче-45ских колебаний с частотами, кратными величине ω =2π, а именTноx (t ) = A0 + A1 cos (ω t + ϕ1 ) + A2 cos (2ω t + ϕ 2 ) + ... + An cos (n ω t + ϕ n )Такое представление периодических процессов называетсяразложением в ряд Фурье. Член, содержащий ω, называется 1-йгармоникой (в акустике - основным тоном), член, содержащий 2ω- 2-й гармоникой (1-м обертоном) и т.

д. Обычно амплитуды довольно быстро убывают с возрастанием номера гармоники (хотяне всегда монотонно). Поэтому на практике ограничиваютсялишь небольшим числом первых членов ряда Фурье.7. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯМЕХАНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРАПри действии на колебательную систему только упругой(или квазиупругой) силы, она будет совершать незатухающиегармонические колебания с постоянной амплитудой.

Но, как известно из опыта, колебания любой реальной системы в концеконцов прекращаются, как говорят, затухают. Это происходитпотому, что в природе всегда имеются силы трения (или сопротивления), благодаря которым энергия системы переходит в другие формы, например, в тепловую энергию, и рассеивается в окружающее пространство.Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии со временем уменьшается, называются затухающими. При небольшомзатухании, когда силы сопротивления меньше квазиупругих сил,затухающие колебания можно рассматривать как почти гармонические с убывающей амплитудой.Рассмотрим влияние силы трения на механическую колебательную систему. При малых скоростях движения тела сила трения обычно пропорциональна скорости и направлена противоположно ейrrFтр = − rV46илиFтр = − rx&,(7.1)где r - коэффициент трения, зависящий от свойств среды.Дополним учетом силы трения рассмотренный выше примерколебаний пружинного маятника (раздел 3).

Полная сила, действующая в этом случае на маятник, определяется как сумма упругой возвращающей силы и силы трения. С учетом этого уравнение (3.2) преобразуется такm&x& = −kx − rx&(7.2)илиm&x& + rx& + kx = 0Последнее соотношение перепишем в виде&x& + 2βx& + ω 02 x = 0 ,(7.3)гдеβ=r2m(7.4)Величина, характеризующая действие силы трения, называетсякоэффициентом затухания и имеет размерность частоты колерадбаний [ β ] = [ω ] =;сk- собственная частота, которую имел бы груз в отω0 =mсутствии силы трения (т.

е. при β = 0). Выражение (7.3) называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний.Решение уравнения (7.3), то есть нахождение функции х(t),удовлетворяющей уравнению в любой момент времени и являющейся законом движения груза, довольно громоздко. Запишемсразу готовое решение в случае малых затуханийx ( t ) = A 0 e − β t cos( ω t + ϕ ) ,(7.5)47где величинуA (t ) = A0 e − β t(7.6)можно рассматривать как амплитуду затухающих колебаний,которая уменьшается с течением времени по экспоненциальномузакону.

A0 – начальная амплитуда.Величинуω = ω 02 − β 2(7.7)можно принять за частоту затухающих колебаний.График функции (7.5) показан на рис. 7.1.а. Пунктирные линии отражают зависимость A(t) (7.6).Движение, описываемое формулой (7.5), строго говоря, неявляется периодическим. В нее входят два множителя по разномузависящие от времени: один – cos( ω t + ϕ ) – является перио−βt- убывает с течедической функцией времени, другой – eнием времени.

Однако при небольшом затухании можно условноввести понятие периода как промежутка времени между двумяпоследующими максимумами отклонения груза от положенияравновесия (рис. 7.1, а).Период затухающих колебанийT=2πω=2πω02−β2равен(7.8)Последняя формула дана для малых значений β ( β < ω 0 ) . Сростом коэффициента затухания период растет. На рисунках 7.1показано, как изменяется зависимость x(t) с увеличением затухания (последовательный переход от случая а) к случаю в)).

Приочень больших значениях коэффициента затухания ( β > ω 0 ) в48Рис. 7.1формуле (7.8) под корнем стоит отрицательная величина. В этомслучае частота колебаний (7.7) становится мнимой, и, несмотряна наличие сил, возвращающих систему в положение равновесия,колебания не возникают. Система возвращается в положение49равновесия, асимптотически к нему приближаясь. Такое движение называется апериодическим (рис.7.1, в). Быстрее всего система возвращается к положению равновесия при β = ω 0 . Период(7.8) при этом стремится к бесконечности. Это соответствует такназываемому предельному переходу к апериодическому движению (рис.7.1, кривая λ = 2π ). Это явление используется в технике, когда необходимо предотвратить появление колебаний системы.

Для этого в различных устройствах используют специальныеприспособления – демпферы, которые являются гасителями колебаний. При наличии их, колебательная система, выведенная изравновесия, через небольшой промежуток времени «замирает»вблизи положения равновесия. Демпфирование колебаний предусмотрено в конструкциях весов, в электроизмерительных устройствах, при проектировании автомобилей (пружины амортизаторов) и т.д.Количественной мерой затухания колебаний является величина, равная логарифму отношения амплитуд двух последовательных колебаний, отстоящих друг от друга на периодλ = lnA(t )= ln e βT = βTA(t + T )(7.9)Эта величина называется логарифмическим декрементом затуханий.

С введением λ закон убывания амплитуды со временем(7.6) можно переписать в видеλA = A0− te T(7.10)Промежуток времениτ=1β,(7.11)в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз,называется временем релаксации. За время τ система совершаетτколебаний. Сопоставляя формулы (7.9) и (7.11) можноNe =T50λτ= 1 .

Это равенство позволяет установить связь логаTрифмического декремента затухания λ с числом колебаний Ne ,совершаемых за время уменьшения амплитуды в «e» раз1λ=(7.12)NeполучитьНа рис. 7.1 показан характер движения груза при различныхзначениях логарифмического декремента затухания, начальноесмещение груза во всех случаях одинаково. Предельному случаюперехода от колебательного движения к апериодическому соответствует λ = 2π .Как мы отмечали выше, затухание колебаний связано с потерями энергии в системе. Величина, характеризующая этот факт,называется добротностью. Добротность пропорциональна относительному изменению энергии затухающих колебаний за времяодного периода колебанийE (t )(7.13)Q = 2πE (t ) − E (t + T )Чем больше добротность, тем меньше убывает энергия заодин период колебаний.