lecture_12 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 1 из 8Скалярные и векторные поля.1. Скалярные поля.1. Определение скалярного поля.В области V пространства задано скалярное поле, если любой точке P ∈V поставленв соответствие скаляр ϕ ( P )∀P ∈V → ϕ ( P )В декартовой системе координат задание скалярного поля ϕ ( P) соответствуетзаданию в области V функции трех переменных ϕ ( P) = ϕ ( x, y, z ) .ϕ ( P ) = ϕ ( x, y , z )Примеры скалярных полей:поле t T ( x, y, z ) , поле освещенности E ( x, y, z ) , поле электрических зарядов Q( x, y, z ) , полеплотности распределения масс ρ ( x, y, z ) .Будем предполагать, что ϕ ( x, y, z ) - непрерывная, с непрерывными частнымипроизводными.Поверхностью уровня скалярного поля ϕ ( P) называется геометрическое место точек,в которых значение поля равны одной и той же постоянной величине C , т.е.ϕ ( P ) = ϕ ( x, y , z ) = CПримеры:1) ϕ ( x, y, z ) = xy ; xy = C - гиперболический цилиндр(см.

рис. 1.1.1).2) ϕ ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2x 2 + y 2 + z 2 = C - концентрические сферы(см. рис. 1.1.2).рис 1.1.1рис. 1.1.22. Производная скалярного поля по направлению.ϕ ( P ) = ϕ ( x, y , z ) .Частные производные функции ϕ ( x, y, z ) :∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ;;∂x ∂y ∂z- определяют скоростьизменения скалярного поля по направлениям координатных осей.Рассмотрим произвольное направление l в пространстве,определяемое направляющим вектором τ единичной длиныτ = 1 (см. рис. 1.2.1). Определим скорость изменения скалярногополя ϕ ( P) в направлении l .

Пусть точки P и P′ ∈ l .Производной скалярного поля ϕ ( P ) в точкенаправлению прямой l назовем△ϕ ( P )ϕ ( P ′) − ϕ ( P ) ∂ϕ ( P )lim,= lim=′PпоP →P△lPP′∂lгде △l = PP′ берется со знаком «+», если направление PP′совпадает с направлением τ , и со знаком «-» в противоположном случае.

Пусть α , β , γ углы, образованные прямой l с осями координат x, y, z , тогда вектор τ имеет△l → 0рис. 1.2.1координаты:Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 2 из 8τ = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ kτ (cosα ,cos β ,cosγ)направляющие косинусы(cos 2 α + cos2 β + cos 2 γ =1)Пусть P имеет координаты P ( x, y, z ) , а P′ - координаты P′( x +△ x, y +△ y, z +△ z )△ϕ ( P) = ϕ ( P′) − ϕ ( P )Запишем приращение △ϕ ( P ) в виде:∂ϕ∂ϕ∂ϕ△ϕ ( P) =△x +△ y + △ z + ε (△l ) ⋅△l ,ϕxϕyϕzгде △l =(△x )2+ ( △ y ) + ( △ z ) ; ε → 0 при △l → 0 , т.к.

PP′ =△l , то22△ϕ ( P ) ∂ϕ △ x ∂ϕ △ y ∂ϕ △ z=+++ε△l∂x △l ∂y △l ∂z △llim△ l →0△ϕ ( P ) ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ ( P )cos α +cos β +cos γ ==∂x∂y∂z∂l△lПример:ϕ ( x, y, z ) = y 2 z − 2 xyz + z 2P1 (3,1,1)по направлению P1 P2P2 (4, −1, 0)∂ϕв P1 = ?∂l P1 P2 = (1, −2, −1) = i − 2 j − k =△lP1 P2 = 1 + 4 + 1 = 6 P1 P2  1 −2 −1 ,,τ = = P1 P2  6 6 6 ∂ϕ∂ϕ( P1 ) = −2 ⋅1 ⋅1 = −2= −2 yz ⇒∂x∂x∂ϕ∂ϕ( P1 ) = 2 ⋅1⋅1 − 2 ⋅ 3 ⋅1 = −4= 2 yz − 2 xz ⇒∂y∂y∂ϕ∂ϕ= y 2 − 2 xy + 2 z ⇒( P1 ) = 1 − 2 ⋅ 3 ⋅1 + 2 ⋅1 = −3∂z∂z839∂ϕ−2++=( P1 ) =∂l6666∂ϕ( P1 ) > 0 ⇒ в этом направлении скалярное поле возрастает.∂l2.

Градиент скалярного поля.1. Определение градиента.Рассмотрим формулу для вычисления производной по направлению∂ϕ ∂ϕ∂ϕ∂ϕcos α +cos β +cos γ=∂l∂x∂y∂zФормула имеет вид скалярного произведения вектора τ (cos α ,cos β ,cos γ ) и вектора с ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ координатами  ;;. ∂x ∂yОпределение.∂z Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 3 из 8Вектор с координатами∂ϕ ∂ϕ ∂ϕназывается градиентом функции ϕ ( P ) = ϕ ( x, y, z ) в;;∂x ∂y ∂zточке P и обозначается:∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ grad ϕ ( P) =i+j+k∂x ∂ϕ= τ ⋅ grad ϕ∂l(∂y∂z)2.

Свойства градиента:1. grad ( C1ϕ1 + C2ϕ2 ) = C1 grad ϕ1 + C2 grad ϕ22. grad (ϕ1ϕ2 ) = ϕ1 grad ϕ2 + ϕ2 grad ϕ1ϕ ϕ grad ϕ1 − ϕ1 grad ϕ23. grad 1 = 2ϕ2ϕ224. grad [ F (ϕ )] = Fϕ′ grad ϕВведем дифференциальный оператор «набла» ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∇= ; ; = i+j+ k∂y∂z ∂x ∂y ∂z  ∂x∇ϕ = grad ϕСвойства оператора набла повторяют свойства градиента.3.

Связь вектора градиента с производной по направлению.∂ϕ= τ ⋅ grad ϕ∂l()Если обозначить через θ угол между вектором-градиентом и единичным векторомτ , то ∂ϕ ( P )= grad ϕ ( P) ⋅1 ⋅ cos θ (по определению скалярного произведения a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosθ )∂l=τ( )Производная поля ϕ ( P ) по направлению l , определяющая скорость роста в этомнаправлении, будет максимальна, если cosθ = 1 ⇒ θ = 0 . Т.е. когда направление вектора τсовпадает с направлением вектора градиента.

Обозначим через n это направлениемаксимальной скорости изменения функции:∂ϕ ∂ϕmax== grad ϕ ( P ) > 0l∂l∂n(максимально по всем направлениям)4. Теорема об ортогональности вектора градиента поверхности уровня.Вектор градиент в каждой точке P скалярного поля направлен ортогональнокасательной плоскости, проведенной в данной точке P к поверхности уровня,проведенной через P (см. рис.

2.4.1).Доказательство:Проведем на касательной плоскости π произвольную прямую l , проходящую черезP . На поверхности уровня проведем линию α через P так, что l направлена покасательной к α . Кривую L в пространстве зададим вектор-функцией:r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )kМатематический анализ,семестр 2, лекция 12,стр.

4 из 8То, что L ∈ поверхности уровня ϕ ( x, y , z ) = C означает, что координаты кривой Lx(t ), y (t ), z (t ) удовлетворяют уравнению поверхности уровняϕ ( x(t ), y (t ), z (t ) ) ≡ C .Продифференцируем это тождество:∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz++= 0.∂x dt∂y dt∂z dtЭто равенство можно переписать как скалярноепроизведение векторов:∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ grad ϕ =i+j+k и∂x∂y∂zdr dxdydz= i+j+ kdt dtdtdtdr  grad ϕ ⋅  = 0dt d r ⇒ grad ϕ ⊥ направлен по касательной к кривой L (т.е. по l )dt рис. 2.4.1⇒ grad ϕ ⊥ L ⇒ grad ϕ ⊥ l ,т.к. l - произвольная прямая, то grad ϕ будет ортогонален любой прямой, проходящейчерез т. P и лежащей в касательной плоскости π , т.е.grad ϕ ⊥ π .5.

Нормаль к поверхности.Нормалью к поверхности называется вектор, ортогональный касательнойплоскости, проведенной к данной поверхности в данной точке. Теорема из п.4утверждает, что по нормали к поверхности ϕ ( x, y , z ) = C направлен вектор grad ϕ ( P ) .∂ϕ ( P ) ∂ϕ ( P ) ∂ϕ ( P ) n( P ) = grad ϕ ( P ) =i+j+k∂x∂y∂zЕдиничный вектор нормали к поверхности находится по формуле∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ i+j+k grad ϕ∂x∂y∂zn0 ==222grad ϕ ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ  ∂x  +  ∂y  +  ∂z  Пример:Найти единичный вектор нормали к поверхности (см.

рис. 1.6.1)z = x 2 + y 2 в точке P(1, 2,5)x2 + y 2 − z = 0ϕ ( x, y, z )∂ϕ ( P)∂ϕ ( P)∂ϕ ( P )= 2 x P = 2;= 2 y P = 4;= −1∂x∂y∂zgrad ϕ = (2; 4; −1)grad ϕ = 4 +16 + 1 = 212i + 4 j − k2 4 1 n0 ( P ) =i+j−k=21212121рис. 2.5.1Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 5 из 86. Инвариантность вектора градиента.Градиент скалярного поля есть вектор, направленный в любой точке поля в сторонуроста значений скалярного поля по направлению наибольшей скорости этого роста.Длина вектора градиента в любой точке равна наибольшей скорости изменения поля вэтой точке.Градиент – вектор, длина и направление которого определены для заданного поля ϕв заданной точке P , т.е. является характеристикой поля и не зависит от системыкоординат.Вывод: вектор grad ϕ скалярного поля, является характеристикой поля, инвариантенпо отношению к выбору системы координат.3.

Векторные поля.1. Определение векторного поля.В области V пространства задано векторное поле, если любой точке M ∈Vпоставлен в соответствие вектор a ( M ) .Примеры векторных полей:Поле тяготения, поле скоростей движения жидкости, поле электрической или магнитнойнапряженности, и т.п.В декартовой системе координат M ( x, y , z ) , а вектор a ( M ) в координатной формебудет иметь вид:a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) kТ.е.

задание векторного поля в пространстве эквивалентно заданию трех функцийP, Q, R от трех переменных в области V .Будем в дальнейшем предполагать, что все эти функции непрерывны в V вместе счастными производными. Так как каждый вектор характеризуется величиной инаправлением, то задание в V векторного поля означает задание в V поля длин и полянаправлений. В качестве характеристики векторного поля направлений можно ввестипонятие векторных линий поля.Определение.Векторной линией векторного поля a ( M ) назовем всякую линию, которая в каждойсвоей точке касается векторов векторного поля a ( M ) .Запишем уравнение векторных линий (см.

рис. 2.1.1):L : r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )kdr- вектор, направленный в каждой точке кривой поdtкасательной к ней.⇒ чтобы L была векторной линией векторного поляdra ( M ) = Pi + Q j + Rk нужно, чтобы векторы a ( M ) ибылиdtкомпланарны, т.е.рис. 3.1.1dr= λadtМатематический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 6 из 8или в координатной форме:dxdydz= λ P ( x, y, z );= λ Q( x, y , z );= λ R ( x, y , z );dtdtdtпосле исключения коэффициента λ :dx dy dz==P Q Rэта система дифференциальных уравнений после интегрирования дает уравнениявекторных линий поля. Отметим, что в силу условий, наложенных на функцииP, Q, R (непрерывные, с непрерывными частными производными) выполнена теоремасуществования и единственности решения, т.е.

через любую точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) области Vпроходит единственная векторная линия, являющаяся интегральной кривой системы.Пример: H (M ) = − yi + x j (плоское)PR=0QУравнение векторных линий (см. рис. 3.1.2):dx dy dz==−yx0 dx dy=−yx dz = 0{dzxdx=+0ydy = 0рис. 3.1.2 1 2 1 2dx + dy = 022 z = C = const d ( x 2 + y 2 ) = C2 − окружности в плоскостях ⊥ оси z z = C12. Дивергенция векторного поля.Определение.Дивергенцией векторного поляфункция∂P ∂Q ∂R ++= ∇ ⋅ a(M )div a( M ) =∂x ∂y ∂zскалярное(a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x , y , z ) k)произведениеСвойства дивергенции:1) линейность: div C1 a1 ( M ) + C2 a2 ( M ) = C1 div a1 ( M ) + C2 div a2 ( M )()()или ∇ C1 a1 + C2 a2 = C1 ∇ a1 + C2 ∇ a22) если a = const ⇒ div a = 0( = C1 i + C2 j + C3 k )()3) если ϕ ( M ) - скалярное поле, то div ϕ ( M ) ⋅ a( M )  = a ⋅ grad ϕ + ϕ div a или ∇ ϕ a = a ⋅ ∇ϕ + ϕ ⋅ ∇ a( ) ()Пример: a = xyz i + j + kP =Q = R = xyzdiv a = yz + xz + xy()называетсяМатематический анализ,семестр 2, лекция 12,стр.

7 из 83. Ротор векторного поля.Определение.Ротором векторного поля a назовем векторi ∂rot a ( M ) = ∇ ⋅ a  =∂xPj∂∂yQk∂  ∂R ∂Q   ∂R ∂P   ∂Q ∂P = i−−− − j+ k∂z ∂x ∂z  ∂y ∂z  ∂x ∂y R ∂R ∂Q   ∂R ∂P   ∂Q ∂P  −−−rot a ( M ) = ; ;  ∂y ∂z   ∂x ∂z   ∂x ∂y  Свойства ротора:() 1) rot c1 a1 + c2 a2 = c1 rot a1 + c2 rot a2 = c1 ∇ ⋅ a1  + c2 ∇ ⋅ a2  ;2) если a = const , то rot a = 0 ; 3) если ϕ ( M ) - скалярное поле, то rot ϕ a = grad ϕ ⋅ a  + ϕ ⋅ rot a( )Доказательство:ϕ ( M ) ⋅ a( M ) = ϕ ( M ) ⋅ P ( M ) ⋅ i + ϕ ( M ) ⋅ Q( M ) ⋅ j + ϕ ( M ) ⋅ R ( M ) ⋅ kijk ∂∂∂⇒ rot ϕ a = ∇ ⋅ ϕ a  ==∂x ∂y ∂zϕ P ϕQ ϕ R  ∂  ∂∂∂∂  ∂= i ⋅  ⋅ ϕ R − ⋅ ϕQ  − j ⋅  ⋅ ϕ R − ⋅ ϕ P  + k ⋅  ⋅ ϕQ − ⋅ ϕ P  =∂z∂z∂y ∂x ∂y ∂x  ∂ϕ∂R∂ϕ∂Q ∂R∂ϕ∂P  ∂ϕ= i ⋅⋅R+⋅ϕ −⋅Q −⋅ϕ  − j ⋅ ⋅R+⋅ϕ −⋅P−⋅ϕ  +∂y∂z∂z∂x∂z∂z ∂x ∂y  ∂ϕ∂Q∂ϕ∂P   ∂R ∂Q   ∂R ∂P   ∂Q ∂P ⋅ϕ −⋅P−⋅ ϕ  = iϕ ⋅ −−−+k ⋅ ⋅Q + − jϕ ⋅  + kϕ ⋅ +∂y∂y∂y ∂y ∂z  ∂y ∂y ∂z  ∂y ∂zϕ ⋅rot a  ∂ϕ  ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ  ∂ϕ+i⋅⋅R−⋅Q − j ⋅⋅R−⋅ P + k ⋅⋅Q −⋅ P =∂z∂z∂z ∂x  ∂y ∂yi ∂ϕ grad ϕ ⋅ a  = ∂xPjk∂ϕ∂yQ∂ϕ∂zR = ϕ ⋅ rot a +  grad ϕ ⋅ a  = ϕ ⋅ ∇ ⋅ a  + ∇ϕ ⋅ a Пример решения типового расчета №5: div  a ⋅ b  = b rot a − a rot ba = (a1 ; a2 ; a3 )b = (b1 ; b2 ; b3 ) ij k  a ⋅ b  = a1 a2 a3 = i ( a2 b3 − a3b2 ) + j ( a3b1 − a1b3 ) + k ( a1b2 − a2 b1 )PQRb1 b2 b3 ∂P ∂Q ∂R ∂a2∂b∂a∂b∂a∂bdiv c =++=b3 + 3 a2 − 3 b2 − 2 a3 + 3 b1 + 1 a3 −∂x ∂y ∂z∂x∂x∂x∂x∂y∂y∂a1∂b3∂a1∂b2∂a2∂b1−b3 −a1 +b2 +a1 −b1 −a2∂y∂y∂z∂z∂z∂zi∂rot a =∂xa1П.ч.: b1− a1j∂∂ya2k∂  ∂a3 ∂a2   ∂a1 ∂a3   ∂a2 ∂b1 = i−−+ j + k  ∂x − ∂y ∂z∂z  ∂z ∂x  ∂ya3∂a3∂a∂a∂a∂a∂a− b1 2 + b2 1 − b2 3 + b3 2 − b3 1 −∂y∂z∂z∂x∂x∂y∂b3∂b∂b∂b∂b∂b− a1 2 + a2 1 − a2 3 + a3 2 − a3 1 ⇒ Л .ч.

= П .ч.∂y∂z∂z∂x∂x∂yТ.р.№5, аналог 25 варианта:u = y 2 z − 4 xyz + zM 0 (1,10)α , β , γ − острыеα = π 3; β = π 4∂u= grad u ⋅τ∂lcos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 11 2 1τ  ;;  2 2 2 2∇u = −4 yzi + (2 yz − 4 xz ) j + ( y − 4 xy + 1)k∇u ( M 0 ) = −2k = (0; 0; − 2)∂u= −1∂l()Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр.

8 из 8.