lecture_11 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр. 1 из 4Поверхностные интегралы.1. Вычисление площади поверхности.Рассмотрим поверхность σ : z = z ( x, y ) (см. рис. 1.1).σ : а) однозначна;z ( x, y )обладаетнепрерывнойчастнойб)производной;в) проектируется в область D ∈ x0 y .Задача: S (σ ) = ?Разобьем о.о.ф. z ( x, y ) , область D , на куски ∆ i ⇒ на σбудет соответствующее разбиение ∆σ i .рис. 1.1В каждой ∆ i произвольно выберем M i ( xi , yi ) и Z ( M i ) → Pi .ВкаждойточкеPi : Pi ( xi , yi , zi ), zi = z ( xi , yi )проведемкасательную плоскость (см.

рис. 1.2). Найдем площадь того куска касательной плоскости,который проектируется (вместе с ∆σ i ) в ∆ i . Уравнение касательной плоскости в точке Piимеет вид:z − zi = z x′ ( xi , yi )( x − xi ) + z ′y ( xi , yi )( y − yi )А вектор nσ i = ( z x′ ( xi , yi ); z ′y ( xi , yi ); − 1) - векторнормали к поверхности в точке Pi . Через γ iобозначим угол между касательной плоскостьюи плоскостью x0 y . Он равен углу между ni иединичным вектором k оси 0 z ⊥ x0 y . Тогдаcos γ i =±11 + z ′ ( M i ) + z ′y2( M i )2xПлощадь куска касательной плоскостипримерно равна площади куска поверхности∆σ i , который проектируется в ∆ i . ТогдаS ( △σ i ) ≈рис.

1.2S (∆i ).cos γ iЭто равенство следует из прямоугольноготреугольника (см. рис. 1.3).Составим интегральную сумму:∑ S (△σ ) = ∑ii1 + z ′x2( M i ) + z ′y2( M i ) S (∆ i ) .iрис. 1.3Обозначимλ = max d (∆i ) → 0 ⇒ limλ →0∑( n →∞ ) i1 + z ′x2( M i ) + z ′y2( M i ) S (∆ i ) =1 + z ′ + z ′ dS = S (σ ) ,∫∫ 2xD2yгде dσ- элементdσповерхности σ , при условии, что предел существует и не зависит от разбиения.Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр.

2 из 4Пример:Вывести формулу для вычисления площади поверхности сферырадиуса R.Поверхность сферы задается уравнением σ : x 2 + y 2 = R 2 . Отсюдаσ+: z = R 2 − x 2 − y 2 , проекцией2полусферы на x0 y является область D , представляющая собой круг:уравнение верхней полусферы:рис. 1.4x 2 + y 2 ≤ R 2 (см. рис. 1.4).2x∂z−2 x==−2∂x 2 R 2 − x 2 − y 2R − x2 − y2x2 ∂z ⇒  = 2R − x2 − y2 ∂x 2 ∂z y2⇒  = 2R − x2 − y 2 ∂y ∂zy=−2∂yR − x2 − y2R2 − x2 − y2 + x2 + y2x2y2R2σ =S   = ∫∫ 1 + 2+dxdy=dxdy∫∫D∫∫D R 2 − x 2 − y 2 dxdy =R − x2 − y2 R2 − x2 − y 2R2 − x2 − y22 D= R ∫∫D2πdxdyR −(x + y222)R= R ∫ dϕ ∫00ρd ρR −ρ21 d (R2 − ρ 2 )= −π R2 ∫0 R 2 − ρ 2R2= −2π R(R2 − ρ 2)R⋅ 2 = 2π R 2 ; S (σ ) = 4π R 202.

Поверхностные интегралы II-го рода.1. Определение поверхностного интеграла II-го рода.Мерой фигуры σ (поверхности в пространстве) назовем ее площадь S (σ ) .Поверхность будем предполагать гладкой, т.е. в любой ее точке существует касательнаяплоскость к поверхности, непрерывно меняющаяся при переходе от точки к точке поповерхности. На σ зададим функцию f ( P ) , определенную в каждой точке Pi ∈ σ .Разобьем σ на произвольные части ∆1 ,..., ∆ n , на каждом из кусков поверхности ∆ iпроизвольно выберем точку Pi , вычислим значение функции в этих точках f ( Pi ) исоставим интегральную сумму следующего вида: ∑ f ( Pi ) S (∆ i ) .iОбозначим λ = max d (∆ i ) . Тогда предел, при условии, что он существует и не зависитiот разбиения, равныйlim ∑ f ( Pi ) S (∆ i ) = ∫∫ f ( P )dσλ →0in →∞- называется поверхностным интегралом от функцииDf ( P ) по площади поверхности σили интегралом II-го рода, где dσ- элементповерхности.Поверхностный интеграл II-го рода является частным случаем интеграла по фигуре.Следовательно, для него верны свойства: линейность, аддитивность, теорема об оценке,теорема о среднем, при f ( P ) = 1 равен S (σ ) .2.

Вычисление поверхностного интеграла.Пусть гладкая поверхность σ однозначно проектируется на какую-либокоординатную плоскость. Например, пусть σ задана уравнением z = z ( x, y ) ипроектируется в область D плоскости x0 y . Элемент поверхности dσ проектируется наплощадку dS области D , и если γ - угол между осью 0z и нормалью к σ , тоМатематический анализ,семестр 2, лекция 11,стр. 3 из 4dσ =dS= z ′x2 + z ′y2 + 1 dS иcos γ∫∫σ f(P)dσповерхностный интеграл= ∫∫ f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 + z ′x2 + z ′y2dxdyDдвойной интеграл по области Dпо поверхности σЗамечание: поверхностный интеграл II-го рода применяется в теории поля (см.таблицу интегралов по фигуре).Пример:Вычислитьdσ∫∫σ (1 + x + z )2, где σ- поверхность треугольника, образованногопересечением плоскости x + y + z = 1 с координатными плоскостями (см.

рис. 2.2.1).z = 1 − x − y ⇒ z 'x = −1; z ' y = −1; d σ = 3dxdydσ∫∫σ (1 + x + z )2= ∫∫σ3dxdy(1 + x + 1 − x − y )211− x00= 3 ∫ dx ∫dy(2 − y)2=1− x11x1 1 1= 3∫  dx = 3 ∫  1 + x − 2  dx = 3 ln (1 + x ) − 2  =0 2 − y0001= 3  ln 2 − 21рис. 2.2.1Пример (аналог задаче №6 Типового Расчета):Вычислить площадь части поверхности σ , заключенную внутрицилиндрической поверхности Ц (см. рис. 2.2.2).σ : z = 4 + 2 x − y;Ц : ( x 2 + y 2 ) = 4 xy;2(ρ )2 2= 4 ρ cos ϕρ sin ϕ⇒ ρ 2 = 4 cos ϕ sin ϕ⇒ρ = 2 sin 2ϕ - уравнение направляющей цилиндра.рис. 2.2.2.Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр.

4 из 4 ∂zπ 2 ∂x = 2 14126σ==++=ddxdy ∫∫∫∫σ∫0 dϕ ∂z = −1 D ∂yπ 2= 6∫02sin 2ϕ dϕ = 6 ( − cos 2ϕ )π 202 sin 2ϕ∫π 2ρd ρ = 60= − 6 ( −1 − 1) = 2 6.∫0 ρ22 sin 2ϕ0dϕ =.