lecture_10 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр. 1 из 4 Формула Грина.Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом покоординатам, вычисленному по замкнутому контуру γ, и двойным интегралом пообласти D, лежащей внутри этого контура.Теорема. Если в области D плоскости х0у определены функции P ( x, y ), Q( x, y ) непрерывные с непрерывными частными производными, то справедлива формулаГрина: ∂Q∂P ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy ,Lгде интеграл по координатам вычисляется поDконтуру L, проходимому против часовой стрелки.Доказательство.Рассмотрим область D – простую по отношению к координатным осям (см.

рис.2.2.1).Границы области D обозначим:⌢y1 ( x) : AIB, y2 ( x) : AIIBТогда:y2bb∂P∂Pdxdydxdydx==∫∫D ∂y∫a y∫ ∂y∫a  P( x; y)1b=y1 ( x ) y2 ( x )= ∫ [ P ( x, y2 ) − P ( x, y1 )] dx =abb= ∫ [ P ( x, y2 ( x)) ] dx − ∫ [ P ( x, y1 ( x))] dx =aa∫∫= ∫ P ( x, y )dx − ∫ P ( x, y )dx = ∫ Q( x, y)dx == −∫ P( x, y)dx=P ( x, y )dx +P ( x, y )dx =AIIB⌢BIAAIIBAIBрис. 2.2.1LLАналогично:∂Q∫∫ ∂x dxdy = − ∫ Q( x, y )dy = ∫ Q( x, y)dy ⇒∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y )dx =DLLLL ∂Q ∂P ∂P∂Q= − ∫∫−dxdy + ∫∫dxdy = ∫∫  dxdy∂y∂x∂x ∂y DDD Приизмененииобхода ∂Pформула∂Q ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + ∫ Qdy = ∫∫  ∂y − ∂x  dxdyLLLDрис. 2.2.2.Гринаприметвид:Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр.

2 из 4Эта формула остается справедливой для случая области D общего вида: и непростой, и не односвязной. При разбиении областей на простые (D1 и D2) отрезками [ AB ]и [ A1 B1 ] , [ A2 B2 ] получаем, что при обходе границ D1 и D2 эти отрезки проходят дважды впротивоположных направлениях и при суммировании интегралы по этим отрезкамуничтожаются.Пример (аналогично заданию № 4 из Типового Расчета):Вычислить интеграл непосредственно и по формуле Грина.22I =∫ − x ydx + xy dyLL : x2 + y2 = R2а ) по формуле Грина :P ( x, y ) = − x 2 yQ( x, y ) = xy 2∂Q∂P= y2 ;= −x2∂x∂y∂Q ∂P−= x2 + y2∂x ∂yR2πρ cos ϕ  x =ρ4I = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) dxdy =  y =ρ sin ϕ  = ∫∫ ρ 2 ρ d ρ dϕ = ∫ dϕ ∫ ρ 3 d ρ = 2π400D dxdy = ρ d ρ dϕ  Dб ) Непосредственно параметризацией кривойx = R cos t , dx = − R sin tdt , t ∈ [0, 2π ]y = R sin t  dy = R cos tdtR0=π2R4{2πJ=∫ −R02cos 2 t ⋅ R sin t ⋅ (− R sin tdt ) + R cos t ⋅ R 2 sin 2 t ⋅ R cos tdt =2π= 2 R 4 ∫ cos 2 t sin 2 tdt =0R4=⋅t42π02πR422π∫ sin20R4π−cos 4tdt = R 44 ∫02sin 4 t42π2tdt =R422π∫01 − cos 4tdt =2=003.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования(на плоскости).Рассмотрим в области D ∈ x0 y две фиксированные точки А и В. Пусть в Dопределены функции P ( x, y ) и Q( x, y ) - непрерывные, с непрерывными частнымиABпроизводными. Рассмотрим интеграл второго рода по B∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dyи выяснимAусловия, при которых он не зависит от формы пути из А в В, а зависит только отположения точек А и В.Теорема 1.BИнтеграл∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dyне зависит от формы пути из А в В тогда и толькоAтогда, когда интеграл по любому замкнутому контуру L ⊂ D и содержащему точки А и В,равен 0, т.е. ∫ Pdx + Qdy = 0 для любого контура L.LДоказательство:Возьмем два произвольных пути, соединяющих точки А и В, и лежащих в области D(см.

рис. 2.3.1):Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр. 3 из 4AIB и AIIB ⇒ ∫ = ∫ , т.е.III∫ Pdx + Qdy = ∫AIB∫AIBPdx + Qdy ⇒AIIB∫ Pdx + Qdy − ∫AIBPdx + Qdy = 0AIIBИзменим направление обхода второго интеграла, получим:Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = 0 ⇒ ∫ Pdx + Qdy = 0 . Получим интегралBIIALпо замкнутому контуру, который равен 0, ч.т.д.рис. 2.3.1Возьмем произвольный замкнутый контур L A I B II A,проходящийчерезточкиАиВ.Посвойствуаддитивностиимеем:∫ = ∫ + ∫ ⇒ ∫ = − ∫ = ∫ . В силу произвольности выбора L следует независимостьLAIBAIIBAIBBIIAAIIBBинтеграла∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dyот формы пути из А в В.AТеорема 2.Если в области D определены две непрерывные функции P ( x, y ) ; Q( x, y ) снепрерывными частными производными и точки А и В – произвольные фиксированныеBточки в D, то интеграл ∫ P ( x, y ) dx + Q( x, y )dy не зависит от формы пути тогда и только тогда,Aкогда выражение P ( x, y )dx + Q( x, y ) dyесть полный дифференциал функции G ( x, y ) ,определенной в D, т.е.

P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = dG ( x, y ) , что равносильно тому∂G ( x, y )∂x∂G ( x, y )Q ( x, y ) =∂yP ( x, y ) =Теорема 3 (следствие из формулы Грина).Если в односвязной области D ⊂ x0 y определены непрерывные функции P ( x, y ) ;Q( x, y ) с непрерывными частными производными, и точки A, B ∈ D , то интеграл независит от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда∂P ∂Q=∂y ∂xПример:Показать, что интеграл не зависит от формы пути и вычислить егоB (2,3)∫( x + y )dx + ( x − y )dyA (0,1)∂P= 1;∂y∂QQ = x− y ⇒= 1;∂x∂P ∂Q=∂y ∂xP = x+ y ⇒Следовательно, выполняется условие теоремы 3.32∫ = ∫ + ∫ =∫ (− y )dy + ∫ ( x + 3)dx = −ABACBC102 3y2+1( x + 3)2рис. 2.3.222=40Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр. 4 из 4Приложение криволинейных интегралов.С помощью приложений криволинейных интегралов I-го рода можно измерятькоординаты центра масс линии L с переменной плотностью µ .µ ( x0 , y0 , z0 )∫ xµ ( x, y, z )dLx0 =µ ( x, y, z )dL∫массаy0 =∫ y µ dL) U = ∫ ( Fd L ) - циркуляция.A=∫(∫ z µ dL, z0 =MD Fd L = C ( L ) - вектор-функция, задающая дугу L.ABLВычисление площади поверхностис помощью двойного интегралаG : z = 6 − 2x + 3 yU : ( x 2 + y 2 )2 = 28 xy0 + 2π k < 2ϕ ≤ π + 2π kπk ≤ϕ ≤π 2+πkx2 + y 2 = ρ 2ρ 4 = 25ϕ cos ϕ sin ϕρ 2 = 25ϕ sin ϕ cos ϕ25ρ 2 = sin 2ϕ2sin 2ϕ ≥ 0ϕ=π; 2ϕ =π⇒ sin 2ϕ = 1422ππ⇒ρ=ρ2 =42 ∂z   ∂z S = ∫∫ l    dxdy ∂x   ∂y DD – проекция поверхности l на плоскость X0YS = ∫∫ 1 + 4 + 9dxdy = 14 ∫∫ dxdy = 144 S = 4 14D= 4 14D25cos 2ϕ=−42π 4012π 4∫025 π 25 14=  − cos + cos0  =2 22=1 =025sin 2ϕ dϕ =2.