lecture_08 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 1 из 7Двойной интеграл(продолжение лекции 7)1. Двойной интеграл в криволинейных координатах.1. ЯкобианРассмотрим n различных функций от n переменных x1 ,..., xn : y1 = f1 ( x1 ,..., xn )............................ y = f ( x ,..., x )nn1 n(1)которые определены в некоторой n-мерной области D и имеют в D непрерывные частныепроизводные по всем переменным. Составим определитель n-го порядка из частныхпроизводных:∂y1 ∂y1∂y... 1∂x1 ∂x2 ∂xnD ( y1 ,..., yn )J = ..............=D ( x1 ,..., xn )∂yn ∂yn ∂yn...∂x1 ∂x2 ∂xn(2)Этот определитель называется якобианом для системы функций (1). Якобиан (2)обладает рядом свойств, сходных со свойствами производных.1. Если переменные x1 ,..., xn сами являются функциями аргументов t1 ,..., tn , т.е. x1 = ϕ1 (t1 ,..., tn )(3)..................... x = ϕ (t ,..., t )n1 1 nD ( x1 ,..., xn ), тоD (t1 ,..., tn )D ( y1 ,..., yn ) D ( x1 ,..., xn ) D( y1 ,..., yn )⋅=D ( x1 ,..., xn ) D (t1 ,..., tn )D (t1 ,..., tn )и якобиан суммы (3)(4)Ранее для функции одной переменной: y = f ( x) и x = y (t ) это свойство записывалось:dy dx dy⋅ =.dx dt dt2.

Если система (3) есть обращение системы (1), т.е. yi = ti , то свойство (4) примет вид:D ( y1 ,..., yn ) D( x1 ,..., xn )⋅=1D ( x1 ,..., xn ) D ( y1 ,..., yn )D ( y1 ,..., yn )1=,илиD ( x1 ,..., xn ) D ( x1 ,..., xn )D ( y1 ,..., yn )(5)что есть обобщение формулы для производной обратной функции.

Отметим еще, что изравенства (5) следует, что ни один из якобианов не обращается в нуль.Это свойство аналогично теореме о производной обратной функции:y = f ( x), x =1.f ( y)dy1=, гдеdxdxdyМатематический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 2 из 72. Переход от декартовой системы координат к криволинейным координатам наплоскости.Пусть на плоскости х0у введены криволинейные координаты u и v так, чтоu = u ( x; y ), v = v( x; y )(6)Пусть эти функции определены на всей плоскости х0у или в некоторой ее областиD и обладают непрерывными частными производными. Кроме того, допустим, чтоуравнения (6) разрешимы однозначно относительно x и y, т.е.{xy == xy((uu,,vv))(7)Любой точке M ( x; y ) ∈ D однозначно соответствуетпара чисел (u , v) - криволинейные координаты точки М.ВсяобластьDпокрываетсякриволинейнойкоординатной сеткой (см.

рис. 1.2.1).Якобиан системы (7) запишется так:∂xD( x; y ) ∂uJ==D (u; v) ∂y∂u∂x∂v∂y∂vПри этом, т.к.(8)D ( x; y ) D(u; v)= 1 , то якобиан (8)D (u; v) D ( x; y )отличен от нуля.Определим элемент площади dS в криволинейныхкоординатах u, v . Рассмотрим элемент площади dS = M 1M 2 M 3 M 4 (см. рис. 1.2.2).Координаты вершин четырехугольника M 1M 2 M 3 M 4 с точностью до б/м первогопорядка относительно △u = du и △v = dv запишутся:рис. 1.2.1M 1 : x1 = x(u; v);y1 = y (u; v)∂x△u∂u∂yy2 = y (u +△u; v) = y (u; v) + △u∂u∂xM 3 : x3 = x(u; v +△v) = x(u; v) + △v∂v∂yy3 = y (u; v +△v) = y (u; v) + △v∂v∂x∂xM 4 : x4 = x(u +△u; v +△v) = x(u; v) + △u + △v∂u∂v∂y∂yy4 = y (u +△u; v +△v) = y (u; v) + △u + △v∂u∂vM 2 : x2 = x(u +△u; v) = x(u; v) +рис.

1.2.2.Из полученных выражений нетрудно видеть, что x2 − x1 = x4 − x3 , y2 − y1 = y4 − y3 , т.е.векторы M 1M 2 и M 3 M 4 равны по длине и одинаково направлены. То же самое можно сказать и о векторах M 1M 3 и M 2 M 4 . Из этого можно сделать вывод, что с точностью до б/мвысшего порядка, чем △u и △v , четырехугольник M 1M 2 M 3 M 4 есть параллелограмм, и егоплощадь вычисляется по известной формуле:∂xx2 − x1 x3 − x1dS == ∂uy2 − y1 y3 − y1∂y∂u∂x∂v dudv = J dudv ,∂y∂v(9)т.е.

dS = J dudv . Отсюда следует, что якобиан в любой точке M ∈ D есть коэффициентизменения площади при деформации области D, определяемой отображением (6), т.е.площадь в области D равна:Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 3 из 7S ( D) = ∫∫ dS = ∫∫ J dudv ,D′Dгде D’ – область, в которую переходит область D при деформации.Тогда замена переменных в двойном интеграле (( x; y ) на (u; v)) осуществляется поформуле:(10)∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [ x(u, v), y(u, v)] J dudvDD'Замечание: При любой замене переменных в n-мерном пространстве якобиан имеетсмысл отношения меры преобразованной фигуры Ф’ к мере исходной фигуры Ф, т.е.J =mФ′.mФ3.

Двойной интеграл в полярных координатах.Введем на плоскости ( x, y ) полярные координаты ( ρ , ϕ )(см. рис. 1.3.1) по известным формуламx = ρ cos ϕy = ρ sin ϕЯкобиан этого преобразования равен:{∂xD ( x, y ) ∂ρ=J =x , y → ρ ,ϕD ( ρ ,ϕ ) ∂y∂ρ∂x∂ϕ = cos ϕ − ρ sin ϕ = ρ cos 2 ϕ + ρ sin 2 ϕ = ρ∂ysin ϕ ρ cos ϕ∂ϕТогда формула (10) примет вид:рис.

1.3.1∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρ d ρ dϕ(11)D′DПереход в двойном интеграле к полярным координатамчасто позволяет не только упростить подынтегральнуюфункцию, но и упростить область D интегрирования.Если область D′ в полярных координатах имеет вид,показанный на рис. 1.3.2, т.е. является простой (заключена междудвумялучамиилиниями,задаваемымиформуламиρ = ρ1 (ϕ ); ρ = ρ 2 (ϕ ) ), то двойной интеграл в формуле (11) сводитсяк повторному интегралу:βρ 2 (ϕ )∫∫ f ( ρ ,ϕ ) ρ d ρ dϕ = α∫ dϕ ρ ∫ϕD′рис.

1.3.2.1(f ( ρ ,ϕ ) ρ d ρ(12))Пример:Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 3z = x 2 + y 2 и z = 3(см. рис. 1.3.3).Искомый объем найдется как разность объемов прямого круговогоцилиндра радиуса R=3 и объема, лежащего под поверхностьюx2 + y2и ограниченного плоскостью z=0.параболоида z =3рис. 1.3.3.Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 4 из 7() x2 + y2 1x = ρ cos ϕ , 0 ≤ ρ ≤ 322V = VЦ − VП = 9π ⋅ 3 − ∫∫  dxdy = 27π − ∫∫ ( x + y )dxdy = y = ρ sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π =33D D2π3112π ρ 4 32π 81 2723= 27π −= 27π − ∫ dϕ ∫ ρ d ρ = 27π −= 27π −⋅ = πρ d ρ dϕ∫∫3 D'30343 4200в полярной системе координатρ 2 = x2 + y 2Иногда оказываются удобными так называемыеобобщенные полярные координаты (см.

рис. 1.3.4.):x = a ρ cos ϕ .y = b ρ sin ϕЗдесь линии ρ = const есть эллипсы, а линии ϕ = const лучи из начала координат. Обобщенными полярнымикоординатамиудобнопользоваться,еслиобластьинтегрирования есть эллипс или его сектор.{D ( x, y )= ab ρD (u , v)J =рис. 1.3.4Пример:x2 y2+= 1 (см. рис. 1.3.5).a2 b2В полярных координатах уравнение эллипса имеет вид:Вычислить площадь эллипсаx2 y 2+=1 ⇒a2 b2a 2 ρ 2 cos 2 ϕa2+b 2 ρ 2 sin 2 ϕb2=1 ⇔ρ2 =1тогда получим:2π100S = ∫∫ dxdy = ∫∫ ab ρ d ρ dϕ = ab ∫ dϕ ∫ ρ d ρ = π abрис. 1.3.5D′DТройной интеграл.1. Тройной интеграл: определение, свойства.Рассмотрим фигуру, представляющую собой пространственное тело V. Мерой этоготела будет являться его объем, который обозначим также буквой V.

В теле V определенафункция f ( P ) . Введем понятие тройного интеграла по этому телу. Для этого разобьемтело V произвольным образом на части ∆1 , ∆ 2 ,..., ∆ n . В каждом из полученных объемов ∆ iпроизвольно выберем точку Pi , вычислим значение функции в этих точках f ( Pi ) исоставим интегральную сумму ∑ f ( Pi )V (∆ i ) . Обозначим через λ = max V (∆ i ) и перейдем кiпределу в интегральной сумме при λ → 0, n → ∞ . Предел данной интегральной суммыназовем тройным интегралом от функции f ( P ) по телу V:lim ∑ f ( Pi )V (∆ i ) = ∫∫∫ f ( P )dV(1)λ →0iVДля тройного интеграла остаются справедливыми все свойства интеграла пофигуре: линейность, аддитивность, теорема об оценке, теорема о среднем, и т.д.Так, например, при f ( P ) = 1 , ∫∫∫ dv = V - объем тела(2)VМатематический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 5 из 7Если рассматривать тело V с неоднородным распределением массы и функцию f ( P )как плотность распределения массы в теле V, то масса тела M (V ) = ∫∫∫ f ( P )dV .V2.

Тройной интеграл в декартовых координатах.Введем декартову систему координат xyz, тогда каждая точка имеет координатыP ( x, y, z ) , а f ( P ) = f ( x, y, z ) . Если при этом разбиение тела V на части ∆ i производитьплоскостями, параллельными координатным, то элемент объема dV = dxdydz и интеграл(1) примет вид:∫∫∫ f ( P)dV = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydzVVОпределение.ПространственноетелоVназовемпростымотносительно плоскости х0у, если любая прямая,параллельнаяоси0z,пересекаетповерхность,ограничивающую объем V, не более чем в двух точках.Более подробно: простое тело V, заключенное междудвумя поверхностями z1 ( xy ), z2 ( xy ) и боковой цилиндрическойповерхностью с образующей, параллельной оси 0z,проектируется на плоскость x0y в область D.В случае простого тела V тройной интеграл сводится кповторным по следующим формулам:рис.

2.2.1∫∫∫Vz2 ( x , y ) z2 ( x , y )f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dz  dxdy = ∫∫ dxdy ∫ f ( x, y, z )dz ,D Dz1 ( x , y ) z1 ( x , y )(3)где интеграл, стоящий в квадратных скобках, вычисляется при фиксированныхзначениях x и y.Если область D также проста относительно, например, оси 0х, то тройной интегралсводится к трем определенным интегралам:by2 ( x )ay1 ( x )∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dx ∫Vz2 ( x , y )dy∫(4)f ( x, y , z )dzz1 ( x , y )Пример:Вычислить ∫∫∫ zdxdydz ,гдеVограниченоплоскостямиVx + y + z = 1 , x = 0, y = 0, z = 0 .11− x1− x − y000∫∫∫ zdxdydx = ∫ dx ∫ dyV11− x∫11− x z2zdz = ∫ dx ∫ 00  21− x − y01= ∫ dx ∫ (1 + x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 2 xy ) dy =2001 1− xy31 dx == ∫  y + x2 y +− 2 xy − y 2 + xy 2 203 011 11  x x 2 x3 x 4 x3 = ∫  − x + x 2 −  dx =  − + − 2 033 23 23 12  dy =10=124рис.